Calcolatrice della dilatazione termica

ΔL = α · L · ΔT e, per un solido isotropo, ΔV / V = 3 · α · ΔT

α

Il coefficiente di dilatazione termica lineare, in parti per milione per grado: una costante del materiale misurata guardando crescere una barra sotto una variazione di temperatura nota. È un numero piccolo detto a voce alta: il 23,1×10⁻⁶ dell'alluminio significa che un metro di alluminio guadagna 23,1 micrometri per kelvin, ed è per questo che niente nella vita quotidiana sembra dilatarsi. I coefficienti coprono più di un fattore trenta fra i materiali comuni, da circa 1,5×10⁻⁶ dell'Invar — una lega progettata per essere immune a questo effetto, usata per le aste dei pendoli e gli strumenti di precisione che ne avevano bisogno — fino a 55×10⁻⁶ e oltre del PVC e delle altre materie plastiche. Scegliere la riga giusta è quindi gran parte del lavoro; l'aritmetica che segue è una moltiplicazione

L

La lunghezza alla temperatura di partenza, in millimetri, nell'unità che scegli. È la lunghezza originale, non quella finale e nemmeno la media: una distinzione che salta fuori solo quando provi a tornare indietro da una lunghezza finale nota a un coefficiente, ed è lì che un numero sorprendente di calcoli a mano sbaglia in silenzio. L'unità di base qui è il millimetro perché è quella che tiene leggibile il risultato: un metro di alluminio scaldato di 40 K cresce di 0,924 mm, e stamparlo come 0,000924 m non aiuta nessuno. Lo zero è un ingresso legale — una barra di lunghezza nulla non si dilata — ma un valore negativo no, ed è per questo che il limite inferiore del campo è chiuso a zero e che il controllo più avanti rifiuta qualunque cosa stia sotto

ΔT

La variazione di temperatura in kelvin (o in gradi Celsius: le due ampiezze coincidono, e qui si tratta di una variazione e non di una temperatura, quindi vanno bene entrambe). I valori negativi sono normali e significano raffreddamento: l'acciaio che si raffredda di 40 K si contrae, e la dilatazione esce negativa, che è esattamente quello che l'aritmetica deve dire. I limiti di ±500 K coprono l'intervallo dall'azoto liquido al forno e lasciano il campo spalancato per chi lavora sulle decine di gradi, dove cadono quasi tutti i casi reali

ΔL

La variazione di lunghezza, in millimetri, stampata accanto alla nuova lunghezza così si vedono insieme sia quanto vale sia il risultato della somma. Il numero è piccolo in termini assoluti e la trappola è proprio questa: 0,9 mm sembra trascurabile finché la barra non ha dove andare. Una barra vincolata non può semplicemente non dilatarsi — la dilatazione si trasforma in tensione, e siccome il modulo elastico è grande la forza non è affatto piccola. È la ragione per cui le rotaie si posano in tensione con degli intervalli fra loro, e per cui un ponte lungo ha un giunto a un'estremità invece di un impalcato continuo. Questa pagina dà la dilatazione libera; la tensione che nasce quando la dilatazione viene impedita è un secondo calcolo, ed è lì che sta il danno vero

3 · α · ΔT

La parte volumetrica, mostrata come deformazione in percentuale invece che come volume, perché è quello che la stessa misura ti regala: ciascuna delle tre dimensioni cresce di α · ΔT, quindi il volume di un cubo pieno cresce di circa 3 · α · ΔT. Il fattore tre porta con sé due avvertenze. Vale per i materiali isotropi — metalli, vetri e materie plastiche trattate come uniformi — ma non per il legno, che si dilata diversamente lungo la fibra e attraverso di essa, né per i compositi a strati, né per i monocristalli. Ed è un'approssimazione di piccola deformazione: il fattore esatto è (1 + α·ΔT)³ − 1, che a queste grandezze coincide con 3αΔT fino a molte cifre decimali e non coinciderebbe più a una variazione di temperatura abbastanza grande da contare

Usala prima di fissare due estremità di qualcosa a un telaio rigido: posare una rotaia, appendere una tubazione fra due ancoraggi, mettere in opera un vetro che entra stretto, imbullonare un pezzo di alluminio su un pezzo d'acciaio, o scegliere la luce di un giunto su un impalcato. Vale anche per la versione domestica della stessa domanda — un coperchio di metallo che si svita dopo una sciacquata calda, o un barattolo che si rifiuta di aprirsi finché non lo scaldi — dove il meccanismo è che il coperchio si dilata per primo perché ha un coefficiente più grande o una massa minore. Risponde solo a una domanda sulla dilatazione libera, non impedita. Se il pezzo è vincolato alle due estremità, questa pagina ti dice la lunghezza che vorrebbe raggiungere, mentre il numero molto più utile — la tensione che vi si accumula al posto della dilatazione — viene dal modulo elastico del materiale, non da qui.

1. Prima schermata: un metro di alluminio, 40 K più caldo

   1. ΔL = α · L · ΔT = 23,1×10⁻⁶ · 1000 mm · 40 K
   2. 23,1×10⁻⁶ · 1000 = 0,0231 mm per kelvin
   3. 0,0231 · 40 = 0,924 mm
   4. Nuova lunghezza: 1000 + 0,924 = 1000,924 mm
   5. Deformazione volumetrica: 3 · 23,1×10⁻⁶ · 40 = 0,2772%

   Poco meno di un millimetro su un metro, per una variazione di temperatura che un pomeriggio assolato può produrre: è per questo che la pagina esiste e che il risultato è stampato con tre decimali. La riga della deformazione è lo stesso risultato visto dall'altro lato: lo 0,28% di volume è poco, ma non è zero, e un pezzo vincolato in tutte e tre le direzioni non riesce ad assorbirlo. Nota anche che il pannello ti restituisce il coefficiente: quella riga è il materiale che hai scelto, e sta lì perché tu possa controllare il menu a tendina prima di fidarti del resto.

2. Il caso classico: una rotaia d'acciaio da 25 m, 60 K di sole

   1. ΔL = 12×10⁻⁶ · 25.000 mm · 60 K
   2. 12×10⁻⁶ · 25.000 = 0,3 mm per kelvin
   3. 0,3 · 60 = 18 mm
   4. Nuova lunghezza: 25.000 + 18 = 25.018 mm

   Diciotto millimetri su una singola barra, passando da una notte d'inverno a un pomeriggio d'estate. È il numero che decide quanto deve essere largo l'intervallo fra due rotaie, ed è il motivo per cui i binari si posano con gli intervalli che hanno invece che come un nastro continuo saldato — e per cui il binario continuo moderno viene piuttosto tesato e ancorato sotto tensione controllata, così che gli stessi 18 mm diventino una tensione gestibile distribuita su tutta la rotaia invece di 18 mm di instabilità in una giunzione. La scelta non riguarda il se l'acciaio si dilati: si dilata sempre.

3. Raffreddamento, e una risposta negativa: acciaio inossidabile, 40 K più freddo

   1. ΔL = 17,3×10⁻⁶ · 500 mm · (−40 K)
   2. 17,3×10⁻⁶ · 500 = 0,00865 mm per kelvin
   3. 0,00865 · (−40) = −0,346 mm
   4. Nuova lunghezza: 500 − 0,346 = 499,654 mm

   Non cambia nulla tranne il segno della variazione di temperatura, e la calcolatrice riporta la contrazione come dilatazione negativa e una lunghezza finale più corta. È la convenzione onesta ed è quella da mantenere quando i pezzi vengono montati: una bussola di acciaio inossidabile raffreddata nell'azoto liquido entra in un albero sul quale a temperatura ambiente non andrebbe, e la sua nuova lunghezza è quella 499,654 mm qui sopra, non i 500 mm con cui era stata lavorata. Entrambe le righe sono stampate perché servono entrambe: l'entità del ritiro per l'accoppiamento, la lunghezza finale per il disegno di montaggio.

4. L'estremo superiore della tabella: ghisa, 100 m, +500 K

   1. ΔL = 10,8×10⁻⁶ · 100.000 mm · 500 K
   2. 10,8×10⁻⁶ · 100.000 = 1,08 mm per kelvin
   3. 1,08 · 500 = 540 mm
   4. Nuova lunghezza: 100.000 + 540 = 100.540 mm
   5. Deformazione volumetrica: 3 · 10,8×10⁻⁶ · 500 = 1,62%

   Mezzo metro, su cento metri, per un passaggio dalla temperatura ambiente a quella di un forno. Il basso coefficiente della ghisa è il motivo per cui è stata il materiale dei monoblocchi dei motori e delle bancali delle macchine utensili — fra i metalli comuni è quello che si muove di meno — e l'esempio è qui per mostrare la scala alla quale l'effetto smette di essere trascurabile: 540 mm non è una tolleranza, è una scelta progettuale. Mostra anche perché i limiti del campo sono larghi come sono: la pagina deve sopravvivere a un lettore che ha davvero una tubazione di 100 m che va dal freddo al caldo, e preferisce rispondergli piuttosto che rifiutarlo.

La riga volumetrica presuppone che il materiale si dilati allo stesso modo in ogni direzione, cosa vera per i metalli e per i vetri e falsa per il legno, i monocristalli e i compositi a strati: per quelli ogni asse ha bisogno del proprio coefficiente e il fattore tre non significa nulla. I coefficienti stessi sono quotati a una temperatura di riferimento vicina ai 20 °C, e α cresce lentamente con la temperatura, quindi una risposta per un salto di 500 K è un'estrapolazione da una misura a temperatura ambiente, non una misura a quella temperatura. I valori pubblicati sono anche in disaccordo fra loro: l'alluminio è 23×10⁻⁶ in una delle fonti qui sotto e 25×10⁻⁶ nell'altra, una differenza di qualche punto percentuale, quindi tratta la terza cifra decimale di qualunque risposta come decorazione e la prima come l'informazione vera. Questa pagina dà la dilatazione libera e non dice nulla su che cosa succede quando il pezzo è tenuto alle due estremità: la stessa dilatazione, contrastata, diventa una tensione dell'ordine di E·α·ΔT, che per l'acciaio su 60 K è ben oltre cento megapascal, abbastanza da far sbandare una rotaia o da fessurare una saldatura, e niente di tutto ciò compare nei numeri qui sopra. Non dice nulla nemmeno sul tempo: un getto spesso si scalda in modo non uniforme, quindi la dilatazione arriva come gradiente e come imbarcamento invece che come variazione uniforme di lunghezza. E presuppone che il cambiamento avvenga sotto il punto di rammollimento del materiale — una plastica vicino alla sua transizione vetrosa, o qualunque cosa vicino alla fusione, è fuori da ciò che un singolo coefficiente sa descrivere.

Qual è la formula della dilatazione termica?

ΔL = α · L · ΔT: la variazione di lunghezza è uguale al coefficiente di dilatazione termica lineare del materiale per la lunghezza originale per la variazione di temperatura. Per un solido che si dilata allo stesso modo in tutte le direzioni, il volume cresce in termini frazionari tre volte tanto, quindi la deformazione volumetrica è 3 · α · ΔT: la stessa relazione con un fattore che viene dall'esistenza di tre dimensioni, non da fisica aggiuntiva. Entrambe sono mostrate su questa pagina, e la seconda è riportata come deformazione in percentuale invece che come volume, perché è la forma che il coefficiente ti dà direttamente.

Quanto si dilata l'acciaio per grado?

Circa 12×10⁻⁶ per kelvin, quindi un metro di acciaio cresce di 0,012 mm per ogni grado — dodici micrometri, all'incirca un ottavo dello spessore di un foglio di carta, che sta intorno a 0,1 mm. Sui 60 K che separano una notte d'inverno da un pomeriggio d'estate, una rotaia da 25 m cresce di 18 mm: è per questo che esistono gli intervalli fra i binari e che il binario continuo saldato deve essere tesato e ancorato invece che semplicemente posato. L'alluminio risponde circa il doppio, a 23×10⁻⁶, e il PVC più di quattro volte l'acciaio, a 55×10⁻⁶: è per questo che le tubazioni di plastica hanno bisogno di interassi di sostegno maggiori e di lire di dilatazione più generose di quelle metalliche dello stesso percorso.

Perché la variazione di volume è tre volte quella di lunghezza?

Perché un solido cresce in tre direzioni contemporaneamente. Ogni dimensione cresce della frazione α·ΔT, quindi il volume di un cubo cresce di (1 + α·ΔT)³ − 1, che per i numeri piccoli in gioco vale 3·α·ΔT fino a molte più cifre decimali di quante ne servano a chiunque. Il fattore tre è però una conseguenza dell'isotropia: presuppone che il materiale si dilati in modo identico lungo ogni asse. Il legno no (si muove molto più attraverso la fibra che lungo di essa), e nemmeno i monocristalli o i compositi a strati, quindi per quelli la riga volumetrica di questa pagina non è un'approssimazione della risposta giusta ma la risposta a un'altra domanda.

La lunghezza che inserisco è quella originale o quella finale?

Quella originale: la lunghezza alla temperatura di partenza, prima che qualcosa si scaldi. La cosa conta più di quanto sembri: andare all'indietro da una lunghezza finale misurata a un coefficiente significa dividere per la lunghezza originale, e usare quella finale introduce un errore relativo di circa α·ΔT, trascurabile per l'acciaio e non trascurabile per una plastica su una grande variazione di temperatura. La pagina stampa sia la variazione sia la nuova lunghezza, così vedi qual è quale, e la variazione è sempre riferita a quello che hai digitato.

Dove entrano in gioco i giunti di dilatazione?

Sono quello che si costruisce quando non puoi lasciare libera la dilatazione. Un pezzo tenuto alle due estremità non resta della lunghezza che vorrebbe: la dilatazione viene contrastata e si trasforma in tensione, dell'ordine del modulo elastico del materiale per α·ΔT — per l'acciaio su 60 K sono ben oltre cento megapascal, abbastanza da far sbandare una rotaia, inarcare una tubazione o fessurare una saldatura. I giunti di dilatazione, le lire, i fori asolati e gli appoggi scorrevoli sono tutti modi di dare al materiale un posto dove andare, ed esistono perché il calcolo di questa pagina va pagato in un modo o nell'altro.

Perché tabelle diverse danno coefficienti diversi?

Perché il coefficiente non è perfettamente costante né perfettamente concordato. α varia con la temperatura, quindi un valore quotato a 20 °C e un valore mediato su 0–100 °C sono numeri diversi per lo stesso materiale, e manuali diversi quotano leghe diverse sotto lo stesso nome: l'alluminio in una delle fonti qui sotto è 23×10⁻⁶ e nell'altra 25×10⁻⁶, e acciaio inossidabile copre una famiglia i cui coefficienti vanno da circa 10 a 18×10⁻⁶. Per la maggior parte degli usi il disaccordo è di qualche punto percentuale e non cambia la decisione. Quando conta davvero — strumenti di precisione, percorsi lunghi, accoppiamenti stretti — è una ragione per misurare il lotto reale invece che per cercare un'altra tabella.

• 13.2 Thermal expansion of solids and liquids — ΔL = αLΔT with the definition of the coefficient, the β ≈ 3α relation for volume, and a table of coefficients for common metals — OpenStax (Rice University)
• Linear thermal expansion coefficients of materials — the handbook values this page's table is drawn against, including cast iron, brass, stainless and PVC — The Engineering ToolBox