Calcolatrice dell'impedenza RLC

X_L = 2πfL, X_C = 1/(2πfC), Z = √(R² + (X_L − X_C)²), φ = arctan((X_L − X_C)/R), f₀ = 1/(2π√(LC))

R

La resistenza, in ohm, ed è l'unica parte dell'impedenza che non cambia con la frequenza. È ciò che fissa il pavimento sotto Z: per quanto si muovano le reattanze, l'impedenza non può mai scendere sotto R, e alla risonanza vale esattamente R. Il suo secondo compito è fissare la scala dell'angolo di fase: una R grande accanto a una reattanza netta piccola significa che il circuito si comporta quasi come un resistore puro (Ω)

L

L'induttanza, inserita in millihenry perché è quello che c'è stampato sul componente. La sua reattanza induttiva cresce in proporzione alla frequenza, quindi un induttore blocca le alte frequenze e lascia passare quelle basse. Il campo è in millihenry e non in henry: un 10 inserito sono 10 mH e viene convertito in 0,01 H prima che la formula lo veda (mH)

C

La capacità, inserita in microfarad per lo stesso motivo. La sua reattanza cala quando la frequenza sale, all'opposto dell'induttore, quindi un condensatore lascia passare le alte frequenze e blocca quelle basse. Anche qui c'è una conversione prima dell'uso: un 100 inserito sono 100 µF e diventano 0,0001 F. Le due reattanze sono sempre in opposizione, ed è per questo che la formula sottrae l'una dall'altra invece di sommarle (µF)

f

La frequenza della tensione che pilota il circuito, in hertz. È l'ingresso che rende questa pagina diversa da quella della legge di Ohm: compare due volte nell'aritmetica e le due comparse spingono in direzioni opposte, quindi l'impedenza prima cala e poi risale. Cambiarla cambia la risposta senza toccare alcun componente, e non esiste una frequenza alla quale le due reattanze siano entrambe nulle (Hz)

X_L − X_C

La reattanza netta, che è ciò che determina davvero l'angolo di fase. Quando il termine induttivo è il più grande la corrente è in ritardo sulla tensione e φ è positivo; quando è il termine capacitivo a prevalere la corrente è in anticipo e φ è negativo; quando i due sono uguali la reattanza netta è nulla, φ è zero e il circuito è in risonanza. Nessuna delle due reattanze viene sottratta alla resistenza: si combinano ad angolo retto, ed è per questo che la formula usa una radice di quadrati e non una somma (Ω)

f₀

La frequenza di risonanza, 1/(2π√(LC)), cioè la frequenza alla quale le due reattanze si annullano. Dipende solo da L e da C — non da R e non dalla frequenza inserita in questo momento — quindi resta ferma mentre il resto della pagina si muove, cosa che si scambia facilmente per un difetto. A f₀ un circuito serie presenta la sua impedenza minima, e quell'impedenza è esattamente R (Hz)

Usala ogni volta che nel circuito c'è un induttore o un condensatore e la tensione è alternata, perché è lì che la legge di Ohm smette di essere vera e non soltanto approssimata. Risponde a che aspetto ha un componente o un ramo a una particolare frequenza: l'impedenza d'ingresso di un filtro, la reattanza di una bobina di blocco alla frequenza di rete, il punto in cui una coppia LC entra in risonanza. L'angolo di fase è il motivo per usarla anche quando l'ampiezza la conosci già, perché un carico che assorbe corrente sfasata rispetto alla tensione non è lo stesso carico di una resistenza dello stesso valore ohmico. Ricorri invece alla legge di Ohm quando il carico è davvero resistivo — resistenze di riscaldamento, lampade a filamento, una lunga tratta di cavo — e considera questa pagina superflua in quel caso, non una sua versione più precisa.

1. I valori predefiniti: 50 Hz su 10 Ω, 10 mH e 100 µF

   1. Prima le conversioni: L = 10 mH = 0,01 H, C = 100 µF = 0,0001 F
   2. X_L = 2π × 50 × 0,01 = 3,142 Ω
   3. X_C = 1 / (2π × 50 × 0,0001) = 31,831 Ω
   4. La reattanza netta è 3,142 − 31,831 = −28,689 Ω, quindi il circuito è capacitivo
   5. Z = √(10² + 28,689²) = 30,382 Ω, φ = arctan(−28,689 / 10) = −70,783°
   6. f₀ = 1 / (2π√(0,01 × 0,0001)) = 159,155 Hz

   Il terzo e il quarto risultato vanno letti insieme: la reattanza capacitiva è più di dieci volte quella induttiva, quindi a 50 Hz questo circuito è un condensatore che si ritrova un resistore in serie, e la corrente è in anticipo sulla tensione di quasi 71 gradi. Nota anche quanto pesa poco la resistenza da 10 Ω: è solo un terzo dell'impedenza e l'angolo di fase è vicino a −90°, che è quello che darebbe un condensatore puro.

2. Gli stessi componenti pilotati a 1 kHz

   1. X_L = 2π × 1000 × 0,01 = 62,832 Ω — venti volte il valore che aveva a 50 Hz
   2. X_C = 1 / (2π × 1000 × 0,0001) = 1,592 Ω — un ventesimo del valore che aveva a 50 Hz
   3. La reattanza netta è 62,832 − 1,592 = +61,240 Ω, quindi ora il circuito è induttivo
   4. Z = √(10² + 61,240²) = 62,051 Ω, φ = arctan(61,240 / 10) = +80,726°
   5. f₀ è ancora 159,155 Hz, invariata

   Metti questo esempio accanto al primo: non è stato toccato un solo componente e l'angolo di fase è passato da −70,783° a +80,726°. Il circuito che alla frequenza di rete sembrava un condensatore a 1 kHz sembra un induttore, ed è la cosa più importante che questa pagina ha da dire, oltre che quella che una resistenza fissa non riesce a esprimere. La frequenza di risonanza dell'ultima riga non si è mossa, perché non dipende mai dalla frequenza con cui stai pilotando: se ti sembra che cambi, è stato modificato qualcos'altro.

3. Alla risonanza, 159,155 Hz

   1. Inserisci la frequenza di risonanza stessa: 159,155 Hz
   2. X_L = 2π × 159,155 × 0,01 = 10 Ω
   3. X_C = 1 / (2π × 159,155 × 0,0001) = 10 Ω
   4. Le due si annullano esattamente: Z = √(10² + 0²) = 10 Ω, che è R stesso
   5. φ = arctan(0 / 10) = 0°, quindi tensione e corrente sono in fase

   Questa è la riga che dà la forma alla pagina: alla risonanza un circuito serie presenta la sua impedenza minima, e quel minimo è esattamente la resistenza. È anche l'unica frequenza alla quale la corrente è in fase con la tensione. Un dettaglio da sapere prima di rifare il conto a mano: 159,155 è f₀ arrotondata a tre decimali, quindi ogni reattanza dista da 10 circa quattro milionesimi di ohm (e le due differiscono fra loro di circa sette milionesimi), il che lascia l'angolo di fase a 0,000041° invece che esattamente zero: il pannello arrotonda via entrambi. La risonanza esatta è a 159,1549431… Hz.

4. Un resistore da 1 kΩ nello stesso circuito

   1. Le reattanze sono invariate rispetto al primo esempio: 3,142 Ω e 31,831 Ω
   2. La reattanza netta è sempre −28,689 Ω, ma ora R vale 1000 Ω
   3. Z = √(1000² + 28,689²) = 1000,411 Ω
   4. φ = arctan(−28,689 / 1000) = −1,643°
   5. f₀ è sempre 159,155 Hz: R non ha alcun effetto su di essa

   Qui la pagina incontra la legge di Ohm. Alzare R da 10 Ω a 1 kΩ lascia le reattanze intatte — sono proprietà di L, C e della frequenza, non di R — ma fa scendere l'angolo di fase da −70,783° a −1,643°, e l'impedenza da 30,382 Ω a 1000,411 Ω, di cui 1000 è soltanto R. Con questo rapporto il circuito è un resistore con una traccia di capacità appena misurabile, e V = I × R è una buona approssimazione invece che un errore. È il confine fra questa pagina e quella della legge di Ohm, ed è un confine morbido: non c'è una soglia, solo un errore che si riduce man mano che R cresce.

Questa pagina modella soltanto circuiti serie — un resistore, un induttore e un condensatore in un unico anello. Non c'è di proposito un selettore per il parallelo, perché una rete RLC parallela non è questa formula con un interruttore girato: usa un'espressione diversa e alla risonanza fa la cosa opposta, dove un circuito serie raggiunge la sua impedenza minima e uno parallelo la sua massima. Inserire gli stessi quattro numeri e ottenere una risposta diversa significherebbe leggere un fatto su un circuito che non hai descritto, quindi quella variante merita una pagina sua invece di un interruttore qui. Si assumono inoltre componenti ideali: nessuna resistenza di avvolgimento nell'induttore, nessuna perdita o resistenza serie equivalente nel condensatore, e nessuna frequenza alla quale i componenti smettono di comportarsi come elementi concentrati. La frequenza in ingresso è fissa e non viene spazzolata, quindi la pagina ti dà un punto della curva di impedenza e la frequenza di risonanza, non la curva intera.

Perché non posso usare semplicemente la legge di Ohm?

Perché con un induttore o un condensatore nel circuito il rapporto fra tensione e corrente non è una costante: dipende dalla frequenza, e la corrente smette di restare in fase con la tensione. La legge di Ohm qui restituisce comunque un numero, e quel numero è sbagliato, il che è peggio che non dare alcun numero. È la calcolatrice della legge di Ohm stessa a dirlo e a mandarti qui; V = I × R resta una buona approssimazione solo finché la resistenza è grande rispetto alla reattanza netta, come mostra il quarto esempio, dove 1 kΩ accanto a 28,689 Ω lasciano l'angolo di fase sotto i 2 gradi.

E un circuito RLC in parallelo?

È un calcolo diverso e una pagina diversa, ed è per questo che qui non c'è un interruttore. Una rete parallela usa un'espressione propria e alla risonanza si comporta in modo opposto: un circuito serie raggiunge lì la sua impedenza minima, uno parallelo la sua massima. Peggio ancora, questa pagina accetterebbe quegli stessi quattro numeri e restituirebbe una cifra di impedenza sbagliata di un fattore enorme senza alcun segno visibile di problemi: esattamente il tipo di errore silenzioso che un selettore dovrebbe impedire, non causare.

Perché la frequenza di risonanza non cambia quando cambio la frequenza?

Perché la frequenza di risonanza è una proprietà dell'induttore e del condensatore, mentre il campo della frequenza è la frequenza con cui stai pilotando il circuito: due cose diverse che per sfortuna si chiamano allo stesso modo. f₀ = 1/(2π√(LC)) non contiene né R né f, quindi resta ferma mentre spazzi la frequenza di pilotaggio oltre quel punto. Si muove solo se cambi L o C. È proprio questa indipendenza a renderla utile: ti dice dove il circuito entrerà in risonanza prima che tu vada a cercarlo.

Che cosa significa un angolo di fase negativo?

Significa che la corrente è in anticipo sulla tensione, cosa che accade ogni volta che la reattanza capacitiva è la maggiore delle due. Positivo significa che la corrente è in ritardo, con l'induttanza al comando, e zero significa che le due sono uguali e il circuito è in risonanza. Il segno è quindi lo sfasamento riassunto in un carattere: −70,783° dice che a 50 Hz è il condensatore da 100 µF a comandare questo circuito, e +80,726° a 1 kHz dice che ha preso il sopravvento l'induttore da 10 mH.

Perché alla risonanza l'impedenza è solo di 10 ohm?

Perché le due reattanze si annullano e lasciano soltanto la resistenza. X_L e X_C sono uguali e di effetto opposto, quindi la reattanza netta è zero e Z = √(R² + 0²) = R. Quella è l'impedenza minima di un circuito serie, ed è anche la frequenza alla quale la corrente è massima e in fase con la tensione. È il motivo per cui una coppia LC in serie si usa per selezionare una frequenza: tutto il resto viene attenuato e quella scelta passa avendo in mezzo soltanto R.

Le reattanze si sommano alla resistenza?

No, si combinano ad angolo retto, ed è per questo che la formula prende la radice della somma dei quadrati invece di una somma semplice. Sui valori predefiniti la differenza è grande: sommandole aritmeticamente si otterrebbe 10 + 3,142 + 31,831 = 44,973 ohm, mentre l'impedenza corretta è 30,382 ohm. La ragione fisica è lo sfasamento: la tensione ai capi di una reattanza è spostata di un quarto di ciclo rispetto a quella ai capi di una resistenza, e grandezze sfasate non si sommano semplicemente.

• NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI), §6.5 — the hertz, the henry and the farad, and the derived unit for reactance — NIST
• Series RLC circuit — impedance as a vector sum of resistance and net reactance, the phase angle, and resonance as the point where the two reactances cancel — Wikipedia
• Electrical reactance — why an inductor and a capacitor react in opposite directions as frequency rises, and how each behaves at the two extremes — Wikipedia