Calcolatrice dei radicali

c√r → (c × m)√(r ÷ m²), dove m² è il quadrato più grande che divide r termini simili: k₁√r + k₂√r = (k₁ + k₂)√r

√r

Il radicale: la radice quadrata di un numero intero r. Ogni termine di questa pagina è un multiplo di uno di questi, e due termini sono simili esattamente quando il loro r coincide — quello che si somma è il coefficiente che sta davanti.

c

Il coefficiente: il numero intero che moltiplica il radicale, pari a 1 quando non è scritto nulla. Conta quante copie di √r vengono sommate, quindi 3√2 più 2√2 ne fa cinque, e 3√2 meno 3√2 non ne lascia nessuna.

r

Il radicando: il numero sotto la radice. Semplificare un singolo radicale significa trovare il quadrato più grande m² che divide r e portare m fuori, il che lascia dietro di sé un radicando più piccolo. Il radicando più piccolo a cui un termine può arrivare è 1, e √1 è semplicemente 1.

m²

Il quadrato più grande che divide il radicando: 36 per 72, 25 per 50, 4 per 8. Prendere il più grande è ciò che rende la risposta la forma radicale più semplice invece che solo una forma più piccola: 72 diviso 4 dà 18, e dentro 18 è rimasto ancora un fattore quadrato.

termini simili

I termini i cui radicandi coincidono dopo la semplificazione. Sommare radicali è sempre e solo sommare termini simili: il radicando è l'unità che si conta e non cambia mai quando se ne sommano due. È per questo che unire 6√2 e 3√2 dà 9√2 e non 9√4.

Usa questa pagina quando un'espressione con radicali — una somma di radici quadrate — deve essere scritta nella sua forma radicale più semplice: per controllare un compito, per sistemare un risultato prima di inserirlo in una formula, oppure per vedere se due radicali che sembrano diversi sono in realtà lo stesso numero sotto. La forma esatta è quella che serve ai passaggi successivi, perché un decimale è sempre solo un'approssimazione: 7√2 è il valore vero, 9,899495 è lo stesso numero arrotondato a sei cifre ed è già sbagliato alla settima. Il controllo che va fatto insieme alla semplificazione è elevare al quadrato il coefficiente e moltiplicarlo di nuovo dentro la radice: 6√2 è 36 × 2 = 72, quindi 6√2 e √72 sono davvero la stessa cosa.

1. √72 + 3√2 - √8

   1. √72: 72 = 36 × 2, quindi il fattore quadrato più grande, 36, esce come 6 e resta 6√2
   2. 3√2: il radicando 2 non ha fattori quadrati, quindi questo termine è già nella forma più semplice
   3. √8: 8 = 4 × 2, quindi il 4 esce come 2 e resta -2√2
   4. I tre termini sono ora 6√2 + 3√2 - 2√2 — tutti multipli di √2, quindi il radicando resta e i coefficienti si sommano
   5. 6 + 3 - 2 = 7, quindi la somma è 7√2
   6. 7√2 vale 9,899495 a sei cifre decimali

   Il caso predefinito, e la ragione per cui questa pagina esiste invece di tre semplificazioni separate: i tre radicali partono con l'aria di non avere niente in comune (72, 2 e 8) e si scoprono lo stesso radicale contato 6, 3 e 2 volte. Il radicando non cambia mai mentre vengono sommati — cambia solo il numero che sta davanti.

2. √50 + 5 - √18

   1. √50: 50 = 25 × 2, quindi il 25 esce come 5 e resta 5√2
   2. √18: 18 = 9 × 2, quindi il 9 esce come 3 e resta -3√2
   3. 5 è già un numero intero — sotto nessuna radice c'è qualcosa da semplificare
   4. I termini con radicale sono 5√2 - 3√2 = 2√2
   5. Il numero intero resta dove sta, quindi la risposta è 5 + 2√2
   6. 5 + 2√2 vale 7,828427 a sei cifre decimali

   Un numero intero e un radicale non sono termini simili, quindi restano uno accanto all'altro invece di fondersi in un solo numero. Vengono comunque stampati in un ordine fisso, prima il numero intero, ed è questo che rende 5 + 2√2 la risposta di qui e 2√2 + 5 la risposta della stessa somma scritta al contrario.

3. √2 + √3, dove non si combina niente

   1. √2: il radicando 2 non ha fattori quadrati oltre a 1, quindi non esce nulla
   2. √3: anche 3 non ha fattori quadrati, quindi non esce nulla
   3. I due radicandi sono 2 e 3 — diversi, quindi i termini non sono simili
   4. La somma resta scritta così com'è, √2 + √3
   5. √2 + √3 vale 3,146264 a sei cifre decimali

   Qui non viene fatto niente, e proprio quello è il risultato: radicali con radicandi diversi non si possono sommare in un radicale unico, perché non esiste un numero il cui quadrato sia 5 che possa sostituire √2 + √3. Il decimale viene comunque dato, perché il valore è perfettamente definito — è solo che non ha una forma esatta più corta.

Solo radici quadrate. Le radici cubiche e quelle di indice superiore si combinano con la stessa identica regola — si confrontano i radicandi e si sommano i coefficienti — ma scriverle richiede un simbolo che porti l'indice, e la notazione di questa pagina non ha spazio per ospitarlo; la calcolatrice delle radici si occupa degli indici superiori, un termine alla volta. Sono accettati solo numeri interi, sia nel coefficiente sia sotto la radice: 2,5√2 ha come forma esatta (5√2)/2, che richiede una frazione, e √2,5 è √10 ÷ 2 per la stessa ragione. I radicandi negativi vengono rifiutati perché nessun numero reale al quadrato dà un risultato negativo. Vengono presi fino a otto termini, e sia il coefficiente sia il radicando sono limitati a un milione. I decimali nella risposta sono arrotondati a sei cifre, quindi sono approssimazioni di un valore esatto e non il valore stesso. La pagina non tiene memoria fra un calcolo e l'altro: ogni espressione viene rivalutata da capo, e i termini che scrivi devono avere tutti la stessa forma — sommare un radicale già semplificato a uno non semplificato funziona, perché la semplificazione avviene prima del confronto.

Che cosa significa semplificare un radicale?

Portare fuori da sotto la radice ogni fattore quadrato e metterlo davanti come coefficiente. √72 diventa 6√2 perché 72 = 36 × 2 e 36 è un quadrato perfetto. Il valore non cambia — 6√2 è 8,485281 e lo stesso vale per √72 — ma la forma è quella che un calcolo successivo può usare.

Quando due radicali sono termini simili?

Quando i numeri sotto le radici sono uguali dopo la semplificazione. 6√2 e 3√2 sono termini simili e si sommano in 9√2; √2 e √3 non lo sono, e la loro somma non si può scrivere come un radicale unico. Si sommano soltanto i coefficienti — il radicando è l'unità che si conta, quindi resta fermo.

Perché la risposta è data come forma esatta invece che come decimale?

Perché la maggior parte dei radicali è irrazionale, e un decimale può solo approssimarli. 7√2 è il valore esatto; 9,899495 è lo stesso numero arrotondato a sei cifre ed è sbagliato alla settima. Conservare la forma esatta è ciò che permette di usare la risposta in un passaggio successivo senza che gli arrotondamenti si accumulino.

Posso inserire una radice cubica?

Non su questa pagina. ∛8 + ∛2 si combina con la stessa identica regola delle radici quadrate, ma la notazione richiede un indice scritto dentro il segno di radice, e questa pagina stampa un √ nudo. Per un termine alla volta con qualsiasi indice da 2 a 12 usa la calcolatrice delle radici.

Perché accanto ai radicali è ammesso un numero intero?

Perché un numero intero è un radicale il cui radicando è sceso a 1 — √25 è 5, e 5 è 5√1. Trattarlo così fa sì che numeri interi e radicali si combinino con un'unica regola, e dà l'ordine fisso in cui la risposta viene stampata: 5 + √2, con il numero intero per primo.

Come faccio a controllare la risposta?

Eleva al quadrato il coefficiente e moltiplicalo di nuovo sotto la radice. 7√2 si controlla come 49 × 2 = 98, che non è la somma di partenza — quindi conviene controllare termine per termine: 6√2 è 36 × 2 = 72, 3√2 è 18 e 2√2 è 8, e 72 + 18 - 8 = 82. Quella è la somma dei radicandi così come erano scritti, ed è per questo che il controllo va fatto prima di unire i termini.

• Quadratic Surd — the canonical form a√b with b square-free, which is exactly what the simplified radicand column is — Wolfram MathWorld (United States)
• Radical — the radical sign and the operation it names, including why two radicals can only be added when their radicands agree — Wolfram MathWorld (United States)
• Like terms — what makes two terms addable, which for radicals is decided by the number under the root — SplashLearn (United States)