Che cos'è la moltiplicazione in colonna?

È moltiplicare due numeri smontando le cifre di uno: ogni cifra del moltiplicatore produce una riga, le righe si spostano a sinistra secondo la posizione che quella cifra occupava, e le righe si sommano. Dà lo stesso prodotto di una calcolatrice, con le righe intermedie conservate.

Perché i prodotti parziali vengono spostati?

Perché il valore di una cifra dipende da dove sta. Il 4 di 45 vale quaranta, quindi tutto ciò che moltiplica deve uscire dieci volte più grande di quello che ha prodotto il 5, e scrivere la riga una posizione più a sinistra è il modo di registrarlo. È la stessa regola che fa allineare le colonne di un'addizione.

Come faccio a sapere dove va la virgola?

Si contano le cifre decimali dei due fattori e si sommano. 2,3 ne ha una e 4,5 ne ha una, quindi il prodotto ne ha due e 1035 diventa 10,35. Le cifre non vedono mai la virgola: tutta la moltiplicazione gira su numeri interi e la virgola si colloca alla fine.

Perché una riga di zeri viene conservata?

Perché l'informazione è la posizione della riga. Quando la cifra delle unità del moltiplicatore è zero, quella riga dice che il posto delle unità non ha contribuito a nulla, e toglierla perderebbe il fatto che la riga rimasta è spostata. Conservarla fa anche sì che le righe sommino sempre al prodotto, che è il controllo che la pagina è costruita per sostenere.

Che cosa succede con i fattori negativi?

Il prodotto è negativo quando esattamente uno dei due fattori lo è, e positivo quando lo sono entrambi. In tutti e due i casi i prodotti parziali vengono stampati senza segno, come fa un calcolo scritto che tiene il meno fuori dal procedimento: ed è proprio questo che li mantiene in grado di sommare al prodotto.

Perché un prodotto intero viene stampato con una fila di zeri?

Perché il pannello stampa il prodotto con un numero fisso di sei cifre decimali, quindi 1035 esce come 1035,000000. L'alternativa sarebbe stampare il prodotto come testo, e quel testo porterebbe un punto dove l'italiano si aspetta una virgola: lo stesso numero comparirebbe scritto in due modi diversi nella stessa schermata. Una fila di zeri in fondo è un prezzo più basso.

Calcolatrice delle moltiplicazioni

Risultato

1035,000000

Prodotto

Prodotti parziali: 115, 920
Cifre decimali del prodotto: 0

La moltiplicazione in colonna moltiplica due numeri una cifra alla volta e tiene in vista ogni prodotto parziale, insieme allo spostamento che lo mette al posto giusto e alla posizione finale della virgola. Moltiplicare due numeri su questa pagina significa moltiplicare le cifre di uno per ciascuna cifra dell'altro, scrivere ogni risultato su una riga a parte e sommare le righe: è la stessa addizione che esegue la pagina dell'addizione in colonna, una riga alla volta. L'esempio predefinito calcola 23 × 45 = 1035 come i prodotti parziali 115 e 920, il secondo spostato di una posizione verso sinistra. Le cifre decimali non cambiano nulla del lavoro sulle cifre: 2,3 × 4,5 usa esattamente gli stessi due prodotti parziali, e si sposta soltanto la virgola, di due posti da destra perché i due fattori portano una cifra decimale ciascuno. I fattori negativi sono accettati, e i prodotti parziali vengono comunque stampati senza segno, come fa un calcolo scritto a mano che tiene il meno fuori dal procedimento.

23 × 45, una cifra del moltiplicatore alla volta

Spostamento	Cifra del moltiplicatore	Prodotto parziale	Valore dopo lo spostamento
0	5	115	115
1	4	92	920

Una riga per cifra del moltiplicatore, a partire da quella delle unità. La colonna dello spostamento è il motivo per cui la tabella esiste: sul quaderno lo spostamento si mostra lasciando uno spazio in testa alla riga, e una riga scritta dentro una tabella non ha spazi da lasciare, quindi l'allineamento deve diventare un numero. Leggendo l'ultima colonna dall'alto verso il basso si ottengono le due righe che vengono poi sommate, e sommarle è un'ordinaria addizione in colonna: lo spostamento di 1 è esattamente lo zero in fondo a 920. Ogni cella è un numero intero, quindi la tabella è identica nelle dieci lingue servite dal sito.

Formula

a × b: scrivi le cifre di b come b₀ + 10·b₁ + …, calcola a × b_k su una riga a parte, spostala di k posizioni, poi somma le righe prodotto = (a × b) con la virgola a tante cifre da destra quante sono le cifre decimali in totale

a: Il moltiplicando, cioè il numero che viene moltiplicato. Tutto intero viene moltiplicato per ciascuna cifra dell'altro numero, quindi resta in un pezzo solo mentre l'altro numero viene smontato.
b: Il moltiplicatore, il numero le cui cifre vengono prese una alla volta da destra. Ogni sua cifra produce una riga, compresa una cifra che vale zero, perché quella riga registra quale posizione occupava la cifra: una posizione vuota è comunque un'informazione.
spostamento: Di quante posizioni verso sinistra viene scritta la riga, pari alla posizione della cifra del moltiplicatore. È il valore posizionale al lavoro: il 4 di 45 vale quaranta, quindi il suo prodotto parziale è dieci volte più grande di quello che produce la cifra delle unità. Sul quaderno lo spostamento si mostra iniziando la riga più a sinistra; in una tabella deve diventare un numero.
cifre decimali: Il numero di cifre dopo la virgola, sommate sui due fattori invece che contate su uno dei due. 2,3 ne ha una e 4,5 ne ha una, quindi il prodotto ne porta due, e 1035 diventa 10,35. Nulla del lavoro sulle cifre dipende da questo: la moltiplicazione gira interamente su numeri interi e la virgola si colloca dopo.

Usa questa pagina per moltiplicare due numeri a mano e conservare il procedimento: per controllare un prodotto calcolato su un foglio, per insegnare il passo dello spostamento, o per affrontare i decimali quando è proprio la posizione della virgola la parte che va storta. Il valore posizionale è ciò che rende conto di tutto il metodo. Moltiplicare ripetutamente un numero per se stesso è la pagina delle potenze; la moltiplicazione fra frazioni segue invece una regola sua, numeratore per numeratore e denominatore per denominatore.

Esempi svolti

23 × 45
1. Si moltiplica per la cifra delle unità: 23 × 5 = 115, scritto senza spostamento
2. Si moltiplica per la cifra delle decine: 23 × 4 = 92
3. La cifra delle decine vale dieci volte tanto, quindi quella riga si sposta di una posizione a sinistra e si legge 920
4. Si sommano le righe: 115 + 920 = 1035
5. Nessuno dei due fattori ha cifre decimali, quindi il prodotto non ne ha
6. Il prodotto è 1035
Il caso predefinito. Lo 0 in fondo a 920 è lo spostamento reso visibile: sul quaderno quella riga comincia semplicemente una colonna più a sinistra, e nella lettura diventa una cifra che va scritta. Le due righe sommate insieme sono un'ordinaria addizione in colonna, cioè la pagina accanto.
Le stesse cifre con la virgola
1. Si ignorano le virgole e si moltiplicano le cifre: 23 × 45 è l'esempio precedente
2. I prodotti parziali sono 115 e 920, invariati
3. Si contano le cifre decimali: 2,3 ne ha una e 4,5 ne ha una, quindi il prodotto ne ha due
4. Si colloca la virgola due cifre dentro da destra rispetto a 1035
5. Il prodotto è 10,35
La dichiarazione più chiara di come funzionano qui i decimali: il lavoro sulle cifre è identico a quello di 23 per 45, e tutta la differenza sta in dove atterra la virgola. È anche il motivo per cui le cifre decimali vengono riportate come somma invece che contate su uno dei due fattori.
Una cifra zero nel moltiplicatore
1. Si moltiplica per la cifra delle unità: 23 × 0 = 0, scritto senza spostamento
2. Si moltiplica per la cifra delle decine: 23 × 4 = 92, spostato di una posizione a sinistra, cioè 920
3. Si sommano le righe: 0 + 920 = 920
4. Il prodotto è 920
La riga dello zero viene conservata invece che saltata. Scritta a mano di solito si omette, ma la sua posizione è proprio l'informazione che si sta registrando: dice che la cifra delle unità di 40 non ha contribuito a nulla. Ed è anche ciò che fa tornare il controllo: le righe sommate danno il prodotto solo se la riga c'è. È la scelta opposta a quella della pagina FOIL, dove un termine che risulta zero viene tolto: là il termine vuoto non esiste, qui invece una riga viene davvero scritta.

Limiti

I due fattori possono portare insieme al massimo sei cifre decimali, ed è la somma a essere limitata, non uno dei due numeri. È un limite di visualizzazione, non di aritmetica: il pannello stampa il prodotto con sei cifre decimali, quindi un prodotto che ne richiedesse otto verrebbe stampato come 0,000000, cioè una risposta sbagliata con i panni di una giusta. Ogni fattore è limitato a un valore assoluto di un milione, e la forma intera del prodotto al più grande intero rappresentabile esattamente, perché le cifre si leggono una posizione alla volta e oltre quel limite i prodotti parziali smettono di sommare al prodotto. I fattori negativi sono accettati, e i prodotti parziali vengono stampati senza segno; il segno compare soltanto sul prodotto finale. Lo zero è un fattore legittimo, e il prodotto di un negativo per zero viene stampato come 0 e non come zero negativo. Questa pagina moltiplica; la divisione è un procedimento a parte, con regole proprie per le colonne.

Domande frequenti

Che cos'è la moltiplicazione in colonna?: È moltiplicare due numeri smontando le cifre di uno: ogni cifra del moltiplicatore produce una riga, le righe si spostano a sinistra secondo la posizione che quella cifra occupava, e le righe si sommano. Dà lo stesso prodotto di una calcolatrice, con le righe intermedie conservate.
Perché i prodotti parziali vengono spostati?: Perché il valore di una cifra dipende da dove sta. Il 4 di 45 vale quaranta, quindi tutto ciò che moltiplica deve uscire dieci volte più grande di quello che ha prodotto il 5, e scrivere la riga una posizione più a sinistra è il modo di registrarlo. È la stessa regola che fa allineare le colonne di un'addizione.
Come faccio a sapere dove va la virgola?: Si contano le cifre decimali dei due fattori e si sommano. 2,3 ne ha una e 4,5 ne ha una, quindi il prodotto ne ha due e 1035 diventa 10,35. Le cifre non vedono mai la virgola: tutta la moltiplicazione gira su numeri interi e la virgola si colloca alla fine.
Perché una riga di zeri viene conservata?: Perché l'informazione è la posizione della riga. Quando la cifra delle unità del moltiplicatore è zero, quella riga dice che il posto delle unità non ha contribuito a nulla, e toglierla perderebbe il fatto che la riga rimasta è spostata. Conservarla fa anche sì che le righe sommino sempre al prodotto, che è il controllo che la pagina è costruita per sostenere.
Che cosa succede con i fattori negativi?: Il prodotto è negativo quando esattamente uno dei due fattori lo è, e positivo quando lo sono entrambi. In tutti e due i casi i prodotti parziali vengono stampati senza segno, come fa un calcolo scritto che tiene il meno fuori dal procedimento: ed è proprio questo che li mantiene in grado di sommare al prodotto.
Perché un prodotto intero viene stampato con una fila di zeri?: Perché il pannello stampa il prodotto con un numero fisso di sei cifre decimali, quindi 1035 esce come 1035,000000. L'alternativa sarebbe stampare il prodotto come testo, e quel testo porterebbe un punto dove l'italiano si aspetta una virgola: lo stesso numero comparirebbe scritto in due modi diversi nella stessa schermata. Una fila di zeri in fondo è un prezzo più basso.

Riferimenti

Base — why shifting a partial product one place left multiplies it by ten, which is what the shift column records — Wolfram MathWorld (United States)
Exponentiation — multiplication applied to a number and itself, the case where both factors are the same — Wolfram MathWorld (United States)
Division — the inverse operation, and the reason it needs a different column procedure rather than a variation on this one — Wolfram MathWorld (United States)

Calcolatrici correlate

Calcolatrice delle addizioni in colonnaSomma numeri interi in colonna, con tutti i riporti.Calcolatrice delle potenzeEleva un numero a qualsiasi esponente, anche negativo.Calcolatrice per moltiplicare frazioniMoltiplica frazioni e semplifica il risultato finale.