A che cosa serve la funzione errore?

A misurare quanta parte di una curva gaussiana sta fra il centro e un punto dato, che è la stessa cosa di una probabilità in una distribuzione normale standard. Il valore in x = 1 è 0,842701, e aggiungendo uno e dividendo per due si ottiene 0,921351, la probabilità che una variabile normale standard cada entro una deviazione standard dalla media, da tutti e due i lati.

Che cos'è erfc e come si lega a erf?

È la funzione errore complementare, definita come uno meno la funzione errore, quindi le due letture di questa pagina sommano sempre esattamente a 1. Esiste come funzione a sé e non come ripensamento perché è quella che serve per ingressi grandi: in x = 4 la funzione errore si è appiattita su 1 e solo il complementare porta ancora informazione.

Perché non posso inserire un valore maggiore di sei?

Perché oltre sei non resta niente da misurare. Il valore vero in x = 6 è 1 meno circa 2 × 10⁻¹⁷, e un double non lo distingue da 1, quindi la colonna della funzione errore stamperebbe 1 e il complementare stamperebbe esattamente zero. Il limite riguarda ciò che è rappresentabile, non quanto è faticoso il calcolo: lì la serie converge in circa duecento termini.

Perché il complementare smette di essere accurato per ingressi grandi?

Perché viene ricavato per sottrazione. Quando la funzione errore vale 0,99999999999846256, sottraendola da uno restano solo poche cifre significative e tutto ciò che sta prima è rumore di cancellazione. Il complementare vero in x = 5 è 1,5374598 × 10⁻¹² e questa pagina restituisce 1,5364 × 10⁻¹². La funzione errore non soffre di questo problema, ed è per questo che è la lettura principale.

Posso ottenere qui la probabilità della distribuzione normale?

Non direttamente, e la pagina di proposito non la offre. La funzione di ripartizione della normale standard si costruisce da quella errore aggiungendo uno e dividendo per due, ma la calcolatrice della distribuzione normale accetta anche una media e una deviazione standard oltre al valore e riporta la probabilità direttamente, che è una risposta migliore a quella domanda di quanto lo sarebbe un dato standardizzato.

Calcolatrice della funzione errore

Risultato

0,842701

erf(x)

erfc(x): 0,157299

Una calcolatrice della funzione errore restituisce erf(x) e il suo complementare erfc(x) per lo stesso ingresso, così le due letture sommano sempre a uno. La funzione errore è l'integrale della curva a campana da zero fino a x, ed è per questo che compare ovunque si debba misurare una distribuzione normale: erf(1) vale 0,842701 e, dato che erfc(1) vale 0,157299, la funzione errore complementare è semplicemente uno meno la prima lettura. La pagina calcola i valori partendo dalla definizione in serie, perché il linguaggio in cui è scritta non ha una funzione errore incorporata, e accetta ingressi negativi oltre che positivi. Gli ingressi sono limitati a sei in entrambe le direzioni, che è il punto oltre il quale la curva non ha più nulla da distinguere.

La funzione errore e il suo complementare nei valori che si cercano più spesso

x	erf(x)	erfc(x)
0	0	1
0.25	0.276326	0.7236736
0.5	0.5205	0.4795001
0.75	0.711156	0.2888444
1	0.842701	0.1572992
1.5	0.966105	0.03389485
2	0.995322	0.004677735
2.5	0.999593	0.000406952
3	0.999978	0.0000220905

Ogni riga somma a uno nelle ultime due colonne, che è la definizione di complementare e il modo più rapido di controllare a occhio qualunque cifra di qui. È la metà superiore della tabella quella in cui il complementare si assottiglia: in x = 2 porta ancora quattro cifre, e già in x = 3 è sceso a cinque zeri decimali prima che compaia qualcosa. Scorrendo la colonna centrale si vede la curva che si appiattisce: i passi da 0 a 0,5 coprono metà dell'intervallo, e tutto ciò che viene dopo 2 è l'ultimo mezzo punto percentuale. I numeri dentro le celle sono stampati senza localizzazione, quindi lì il separatore decimale resta il punto anche in italiano: è la stessa quantità scritta in due modi diversi, e non un errore.

Formula

erf x = (2 ÷ √π) ∫₀ˣ e^(−t²) dt erfc x = 1 − erf x

x: Il valore che viene misurato, un numero puro senza unità. Può essere negativo, e in quel caso la funzione errore è dispari e restituisce l'opposto della risposta positiva: erf(-1) è -0,842701. L'intervallo pratico va da -6 a 6, fuori dal quale la curva si è appiattita così completamente che un double non distingue più il valore da 1.
e^(−t²): La campana gaussiana, la curva che viene integrata. È la sua forma a rendere importante la funzione errore: l'area sotto di essa fra due valori è una probabilità, ed è per questo che lo stesso integrale compare in ogni domanda sulla distribuzione normale e che la compagna naturale di questa pagina è la calcolatrice della distribuzione normale.
√π: Il fattore di normalizzazione davanti all'integrale, circa 1,772454. Senza di esso l'intera curva avrebbe integrale √π invece che 1, e la funzione errore non andrebbe da -1 a 1. Qui è una costante e non una variabile, e vale la pena dirlo perché ha l'aria di essere una variabile.
erf x: La funzione errore vera e propria, stampata con sei cifre decimali. Va da -1 a 1, attraversa lo zero nell'origine e raggiunge 0,842701 in x = 1. Il valore è un'area autentica e non una probabilità: per trasformarlo in una probabilità si aggiunge uno e si divide per due, ed è così che da esso si costruisce la funzione di ripartizione della normale standard.
erfc x: La funzione errore complementare, uno meno erf, che parte da 1 per ingressi molto negativi e scende verso zero. È riportata in notazione scientifica perché copre un intervallo enorme. Non è tanto una seconda misura quanto la stessa misura letta dall'altro capo: erfc è l'area della coda, e la coda è esattamente ciò che serve quando x è lontano da zero.

Usa questa pagina quando la risposta che ti serve è la funzione errore o il suo complementare così come sono scritti. Se invece quello che vuoi è la probabilità che una variabile normale cada sotto un valore dato, la calcolatrice della distribuzione normale accetta una media e una deviazione standard e restituisce direttamente quella probabilità, che è lo stesso numero raggiunto per una strada più corta. La funzione errore è la primitiva che sta sotto, e questa pagina è il posto dove la primitiva si legge da sola.

Esempi svolti

Il valore che si incontra per primo: x = 1
1. La serie viene valutata in x = 1, dove converge in qualche decina di termini
2. erf(1) risulta 0,842701
3. Il complementare è uno meno quel valore: 1 - 0,842701 = 0,157299
4. Sommando le due letture si ottiene 1,000000, che è il controllo da fare su qualsiasi riga di questa pagina
Che le due letture sommino a uno non è una coincidenza di arrotondamento, è la definizione della parola complementare. Letta come area, dice che tutto ciò che sta sotto la campana o è entro un'unità dal centro oppure è oltre. È anche la riga che si converte più direttamente nel dato familiare del circa 68 per cento entro una deviazione standard.
Due, dove la coda si assottiglia
1. erf(2) è 0,995322, quindi la curva ha quasi finito la sua salita
2. Il complementare è 1 - 0,995322 = 0,0046777, ormai sotto il mezzo punto percentuale
3. In notazione scientifica quella coda si scrive 4,677735 × 10⁻³
4. Le due letture sommano ancora a uno, con il complementare ridotto a quattro cifre significative
Guarda la precisione sul complementare più che sulla funzione errore. Calcolare uno meno un numero molto vicino a uno butta via le cifre iniziali, e a questa riga il complementare le ha già perse quasi tutte: è per questo che la pagina lo riporta in notazione scientifica con una gestione propria delle cifre significative, invece che con un numero fisso di decimali.
Quattro, dove il complementare comincia a esaurirsi
1. Il valore vero di erf(4) è uno meno circa 1,54 × 10⁻⁸
2. Come double è indistinguibile da 1, quindi la colonna della funzione errore stampa esattamente 1
3. Il complementare viene poi calcolato come 1 - erf e restituisce 1,541726 × 10⁻⁸
4. È nella sottrazione che si perde l'accuratezza: alla risposta restano solo poche cifre buone
Questo è il limite onesto della pagina e la ragione per cui l'intervallo di ingresso si ferma a sei. Qui il complementare è la differenza fra due numeri che coincidono fino all'ottava decimale, quindi è il piccolo resto di una cancellazione; il valore vero è 1,5417 × 10⁻⁸ e ne sono affidabili alcune cifre iniziali. Arrivati a x = 6 i due double sono uguali e la sottrazione restituisce esattamente zero dove la verità vale circa 2 × 10⁻¹⁷.

Limiti

L'ingresso è limitato a sei in entrambe le direzioni. È un limite di precisione e non di prestazioni: oltre quel punto la funzione errore è così vicina a 1 che un double non rappresenta la differenza, e la pagina stamperebbe rumore. Anche dentro l'intervallo c'è un limite che vale la pena conoscere: il complementare viene calcolato per sottrazione, e una volta che x supera circa 4,5 quella sottrazione cancella la maggior parte delle cifre significative, quindi i valori di erfc lì portano con sé solo poche cifre buone. La cosa non viene corretta qui, e correggerla significherebbe una seconda implementazione del complementare invece di una correzione di questa. La funzione errore in sé è accurata entro una o due unità nell'ultima posizione su tutto l'intervallo. Vengono dati soltanto i due valori: la funzione di ripartizione della normale standard non è fra le uscite, perché è la stessa informazione per una strada diversa e la calcolatrice della distribuzione normale la riporta come probabilità, avendo una media e una deviazione standard con cui lavorare. Su questa pagina non entra nessuna unità di misura: l'ingresso è un numero puro. I valori sono calcolati da una serie scritta per questa pagina e non da una libreria di piattaforma, perché il linguaggio non ne fornisce alcuna.

Domande frequenti

A che cosa serve la funzione errore?: A misurare quanta parte di una curva gaussiana sta fra il centro e un punto dato, che è la stessa cosa di una probabilità in una distribuzione normale standard. Il valore in x = 1 è 0,842701, e aggiungendo uno e dividendo per due si ottiene 0,921351, la probabilità che una variabile normale standard cada entro una deviazione standard dalla media, da tutti e due i lati.
Che cos'è erfc e come si lega a erf?: È la funzione errore complementare, definita come uno meno la funzione errore, quindi le due letture di questa pagina sommano sempre esattamente a 1. Esiste come funzione a sé e non come ripensamento perché è quella che serve per ingressi grandi: in x = 4 la funzione errore si è appiattita su 1 e solo il complementare porta ancora informazione.
Perché non posso inserire un valore maggiore di sei?: Perché oltre sei non resta niente da misurare. Il valore vero in x = 6 è 1 meno circa 2 × 10⁻¹⁷, e un double non lo distingue da 1, quindi la colonna della funzione errore stamperebbe 1 e il complementare stamperebbe esattamente zero. Il limite riguarda ciò che è rappresentabile, non quanto è faticoso il calcolo: lì la serie converge in circa duecento termini.
Perché il complementare smette di essere accurato per ingressi grandi?: Perché viene ricavato per sottrazione. Quando la funzione errore vale 0,99999999999846256, sottraendola da uno restano solo poche cifre significative e tutto ciò che sta prima è rumore di cancellazione. Il complementare vero in x = 5 è 1,5374598 × 10⁻¹² e questa pagina restituisce 1,5364 × 10⁻¹². La funzione errore non soffre di questo problema, ed è per questo che è la lettura principale.
Posso ottenere qui la probabilità della distribuzione normale?: Non direttamente, e la pagina di proposito non la offre. La funzione di ripartizione della normale standard si costruisce da quella errore aggiungendo uno e dividendo per due, ma la calcolatrice della distribuzione normale accetta anche una media e una deviazione standard oltre al valore e riporta la probabilità direttamente, che è una risposta migliore a quella domanda di quanto lo sarebbe un dato standardizzato.

Riferimenti

Erf — the definition as an integral of the gaussian, the series expansion, and the values at small arguments — Wolfram MathWorld (United States)
DLMF §7.2: Error Functions — the definition, the symmetry relation, and the series used to evaluate them — National Institute of Standards and Technology (NIST), Digital Library of Mathematical Functions
DLMF §7.12: Asymptotic Expansions for Error Functions — why the complement loses accuracy and how it is recovered — National Institute of Standards and Technology (NIST), Digital Library of Mathematical Functions

Calcolatrici correlate

Calcolatrice della distribuzione normaleProbabilità normali e punteggi z per ogni distribuzione.Calcolatrice del punteggio zPunteggio z da un valore, la media e la deviazione standard.Calcolatrice delle potenzeEleva un numero a qualsiasi esponente, anche negativo.