Generatore di lanci di dadi

modi(totale) = il coefficiente di x^totale in (x + x² + … + x^facce)^numero di dadi → probabilità = modi(totale) / facce^numero di dadi

numero di dadi

Quanti dadi vengono lanciati, fino a 20. Un dado solo dà una distribuzione piatta in cui ogni faccia è ugualmente probabile; due o più accumulano i totali centrali, che è tutta la ragione per cui vale la pena riportare la probabilità di un totale

facce

Quante facce ha ogni dado, da 2 a 100. Ci abita il familiare d6, ma anche il dado a venti facce e quello a cento

modi(totale)

Quanti degli esiti possibili sommano a quel totale. Il numero di modi è l'unità onesta per i dadi — un totale di 7 ha sei modi su 36 con due dadi a sei facce, e quel rapporto è la probabilità

seme

Il punto di partenza del lancio, un numero intero qualsiasi da 0 a 4294967295. Lo stesso seme con lo stesso insieme dà le stesse facce, il che rende un lancio qualcosa che si può rifare e verificare

totale

La somma delle facce. Va da numero di dadi (tutti uno) a numero di dadi × facce (tutte le facce massime), quindi il numero di totali che un insieme può fare è numero di dadi × facce − numero di dadi + 1

Ricorri a questo generatore quando conta il totale e le singole facce sono un dettaglio: capire se un tiro di 3d6 ha buone probabilità di battere un numero bersaglio, controllare le probabilità di una somma di 2d6 prima di una partita, o produrre un lancio con seme perché una sessione si possa rigiocare identica. Il lancio con seme è la parte che lo rende più di una curiosità: programmi che generano livelli, gruppi che rigiocano uno scenario e persone che provano una regola hanno tutti bisogno di un lancio riproducibile, e il seme è ciò che trasforma un lancio in un lancio che chiunque può riprodurre. Non è un simulatore di dadi equi nel senso della casualità fisica: i numeri vengono da una piccola sequenza deterministica, quindi qualunque caso in cui un giocatore non debba poter prevedere le facce resta fuori portata.

1. Due dadi a sei facce, seme 1: 4 e 1, per un totale di 5

   1. L'insieme è di due dadi a sei facce, quindi ci sono 6 × 6 = 36 coppie di facce ugualmente probabili
   2. Il seme 1 fissa la coppia su 4 e 1, e il totale è 4 + 1 = 5
   3. Un totale di 5 esce come 1+4, 2+3, 3+2 e 4+1 — quattro modi su 36
   4. 4 / 36 = 0,1111…, quindi la probabilità è 11,11%

   L'11,11% è il motivo per cui il lancio sta accanto alla probabilità: un totale di 5 sembra banale, ed è il terzo totale più probabile a pari merito, ma capita comunque circa un lancio su nove. I totali 2 e 12 sono i più rari con 2,78% ciascuno, perché c'è esattamente un modo di fare l'uno e l'altro, mentre 7 ne ha sei e il 16,67%. Con un dado solo niente di questa struttura esiste — ogni faccia è 1/facce — ed è per questo che la dimensione dell'insieme è la prima cosa da guardare quando la probabilità ti sorprende.

2. Tre dadi a sei facce, seme 5: 5, 5 e 2, per un totale di 12

   1. Tre dadi a sei facce danno 6 × 6 × 6 = 216 esiti ugualmente probabili
   2. Il seme 5 dà le facce 5, 5 e 2, che sommate fanno 12
   3. L'insieme può fare 3 × 6 − 3 + 1 = 16 totali diversi, da 3 a 18
   4. Un totale di 12 ha 25 modi su 216, quindi la probabilità è 11,57%

   Tre dadi rendono il centro dell'intervallo molto più affollato di due: 10 e 11 sono i totali più probabili con 12,5% ciascuno, e 12 è un terzo posto vicino con l'11,57%. Lo stesso totale di 12 è una cosa molto diversa con due dadi, dove è il risultato più raro di tutti con 2,78% — quindi una probabilità citata per un totale non significa nulla se non si cita insieme l'insieme. I 16 totali possibili mostrano anche perché il conteggio non è semplicemente il numero di facce: con tre dadi i totali vanno da 3 a 18 e sono 16, non 18 e non 6.

3. Un solo dado a venti facce, seme 7

   1. Un dado solo non ha modo di combinare facce, quindi ogni faccia è ugualmente probabile
   2. Il seme 7 dà la faccia 1
   3. Una faccia su 20 è 1 / 20 = 5%

   È il caso in cui la distribuzione è piatta: non si accumula niente al centro perché c'è un dado solo, quindi un 1 e un 20 sono esattamente probabili come qualunque altra faccia. È il modo più chiaro di vedere cosa fanno i dadi in più — con 2d6 i totali estremi sono rari, con 1d20 non è raro niente, e il meccanismo è interamente il numero di modi in cui un totale si può fare. Il generatore di numeri casuali qui accanto fa lo stesso punto dalla parte opposta: un'unica estrazione uniforme non è la stessa cosa della somma di più estrazioni.

4. Il seme al suo limite superiore

   1. Il seme può arrivare a 4294967295, che è 2³² − 1 — il valore più grande che lo stato del generatore può contenere
   2. Gli stessi due dadi del primo esempio, ma un seme diverso, quindi una mano diversa
   3. 6 e 2 fanno 8, e un totale di 8 ha cinque modi su 36
   4. 5 / 36 = 13,89%

   Un seme di 4294967295 vale la pena di provarlo perché è l'unico valore di seme in cui un'implementazione distratta dello stato del generatore si rompe in un modo difficile da vedere: lo stato è tenuto come intero senza segno a 32 bit, e il valore più grande è esattamente il punto in cui un errore di uno in quel passaggio smette di essere invisibile. Il risultato visibile qui è una mano ordinaria di 6 e 2 — il pannello non deve sembrare diverso — ed è proprio per questo che il confine è un test e non una funzione rivolta all'utente.

Le facce non sono imprevedibili. Vengono da una piccola sequenza deterministica con seme, del tipo che usa il software comune, quindi chi conosce il seme può riprodurre la mano e chi vede qualche mano può risalire al seme. Questo lo esclude da qualunque caso in cui un giocatore non debba poter prevedere o ricostruire il lancio — un'estrazione con soldi in gioco, una chiave, un token, un codice usa e getta — e per quelli l'unica risposta corretta è una sorgente casuale crittografica. I lanci con seme servono a rigiocare, generare e provare, dove essere riproducibili è il punto. Vale la pena dichiarare con chiarezza altri due limiti. La tabella di riferimento sotto il generatore descrive due dadi a sei facce e non segue i dadi che scrivi: la tabella è un riferimento fisso, e la probabilità che conta è quella sul pannello dei risultati, che corrisponde al tuo insieme. E la probabilità di un totale presuppone dadi equi — un dado fisico con una distorsione non corrisponderà a questi numeri, qualunque sia l'insieme.

Perché la tabella sotto il generatore non corrisponde ai dadi che ho inserito?

Perché la tabella di riferimento è fissa su due dadi a sei facce. È calcolata da una costante e non dagli input, quindi resta ferma mentre cambi l'insieme: la probabilità mostrata sul pannello dei risultati è quella che segue i tuoi dadi, ed è il numero da leggere quando i due non coincidono. La tabella c'è perché 2d6 è la distribuzione che la gente intende davvero quando chiede le probabilità dei dadi: 7 al centro, 2 e 12 ai bordi. Se ti servono le probabilità per un insieme diverso, il pannello dà la probabilità del totale che hai ottenuto, e puoi rifare lo stesso seme per controllare qualunque altro totale ti interessi.

A cosa serve il seme, e perché esce sempre la stessa mano?

Il seme è lo stato da cui parte il lancio, quindi lo stesso seme con lo stesso insieme dà sempre le stesse facce. È la funzione, non una scorciatoia: un lancio con seme è il modo in cui una sessione si rigioca identica, in cui un livello generato resta uguale fra un'esecuzione e l'altra e in cui una regola si può provare contro una mano fissa. Cambia il seme e ottieni una mano diversa dallo stesso insieme. Se vuoi che ogni lancio sia diverso, cambia il seme fra un lancio e l'altro: nel pannello non c'è niente che lo faccia avanzare di nascosto al posto tuo.

Questi lanci vanno bene per un gioco in cui nessuno deve poter prevedere il risultato?

No, e la distinzione conta. Le facce vengono da una piccola sequenza deterministica, quindi dal seme si può riprodurre l'intera mano e da qualche mano si può risalire al seme. Qualunque caso in cui un partecipante non debba poter prevedere o ricostruire il lancio ha bisogno di una sorgente casuale crittografica. Rigiocare un gioco da tavolo, generare livelli, provare regole e campionare in modo riproducibile vanno benissimo: sono esattamente i casi in cui poter riprodurre il lancio è il motivo per usarlo.

Perché con due dadi il totale più probabile è 7, e con tre no?

Perché quello che si accumula al centro è il numero di modi in cui un totale si può fare, e dipende dall'insieme. Con due dadi a sei facce ci sono 36 coppie e 7 ne ha sei (da 1+6 a 6+1), più di qualunque altro totale. Con tre dadi i totali più probabili sono 10 e 11 con 12,5% ciascuno, e 7 scende parecchio nella lista. Lo stesso totale significa quindi cose diverse per insiemi diversi, ed è per questo che il pannello riporta sempre il totale insieme alla probabilità per l'insieme che hai davvero impostato.

Quanti totali può fare un insieme?

Dal totale più piccolo possibile, che è tutti uno, al più grande, che è ogni dado sulla sua faccia massima: con un numero di dadi e un numero di facce per dado si ottengono numero di dadi × facce − numero di dadi + 1 totali diversi. Per 2d6 sono 11 totali che vanno da 2 a 12; per 3d6 sono 16 che vanno da 3 a 18; per 20d100 sono 1981. Il conteggio non è il numero di facce, e gli estremi dell'intervallo sono sempre i totali più rari, perché ciascuno di essi si può fare in un modo solo.

La probabilità sul pannello è quella del totale o delle facce esatte?

Del totale. Due dadi che mostrano 4 e 1 e due dadi che mostrano 1 e 4 sono lo stesso totale di 5, e la probabilità riportata è quella di quel totale, contando ogni combinazione che vi somma — quattro modi su 36 per un 5. La mano ordinata esatta è una probabilità diversa e molto più piccola (1/36 per qualunque coppia specifica), e non è quella che il pannello riporta, perché il totale è il numero che decide se un lancio batte un bersaglio.

• Dice — from Wolfram MathWorld (the generating-function form of the sum of dice, and the coefficient that counts the ways each total can be made) — Wolfram MathWorld
• Uniform Sum Distribution — from Wolfram MathWorld (the distribution of a sum of uniform draws, which is what the total of several dice is) — Wolfram MathWorld
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the frequency distribution of a variable, and how a probability is read off the outcomes it counts) — National Institute of Standards and Technology (NIST)