Calcolatrice della convoluzione

(a * b)[k] = Σᵢ a[i] × b[k − i] lunghezza = m + n − 1

a, b

Le due successioni, digitate come numeri separati da punti e virgola. Il loro ordine non conta — la convoluzione è commutativa, quindi scambiare le due caselle restituisce un risultato identico. Non devono avere la stessa lunghezza, e l'una o l'altra può contenere decimali o valori negativi. Ogni casella accetta fino a duecento voci.

k

L'indice della voce che viene prodotta, e va da 0 alla lunghezza del risultato meno uno. Non è stampato accanto a ciascun valore, perché una riga separata da virgole ha già un ordine: il primo numero è k = 0, il secondo è k = 1. La tabella di riferimento qui sotto esplicita gli indici per la coppia predefinita, una riga ciascuno, ed è lì che conviene guardare se sono le posizioni quelle che stai controllando.

a[i] × b[k − i]

Un prodotto della somma. Per ogni k l'indice i percorre tutte le posizioni in cui entrambe le successioni hanno una voce, quindi il numero di prodotti sommati sale da uno agli estremi fino alla lunghezza della successione più corta nel mezzo. Lo schema di sovrapposizione è tutta l'idea: una successione scorre davanti all'altra e i prodotti vengono raccolti colonna per colonna.

Σᵢ

La somma su quei prodotti, che è una voce del risultato. Ogni voce è arrotondata a sei cifre decimali, e il totale riportato accanto alla successione è la somma di quelle voci arrotondate e non di quelle non arrotondate — quindi sommando i numeri stampati sul pannello si ottiene esattamente il totale stampato.

m + n − 1

La lunghezza del risultato, riportata come lettura a sé. Due successioni di tre danno cinque voci; un singolo numero convoluto con una successione di tre termini ne dà tre. Le voci in più rispetto alla più lunga delle due sono ciò che rende questa la convoluzione completa e non quella che conserva solo la parte in cui le successioni si sovrappongono per intero.

Usa questa pagina quando due successioni devono essere combinate in una distribuzione: il numero di modi in cui due dadi possono dare ciascun totale, l'effetto di una finestra di media mobile su una serie, i coefficienti del prodotto di due polinomi. Quando la domanda riguarda una successione da sola — i suoi termini, la sua somma, il suo andamento — è la calcolatrice delle successioni a coprirla, e quando quello che stai scegliendo è proprio l'ampiezza della finestra di una media mobile, la pagina che le dà un nome è la calcolatrice della media.

1. Uno, due, tre contro quattro, cinque, sei

   1. k = 0: si sovrappongono solo le prime voci, quindi 1 × 4 = 4
   2. k = 1: 1 × 5 + 2 × 4 = 5 + 8 = 13
   3. k = 2: 1 × 6 + 2 × 5 + 3 × 4 = 6 + 10 + 12 = 28
   4. k = 3: 2 × 6 + 3 × 5 = 12 + 15 = 27
   5. k = 4: si sovrappongono solo le ultime voci, 3 × 6 = 18
   6. Il risultato è 4, 13, 28, 27, 18 e il suo totale è 90, che è anche 6 × 15

   L'ultima riga è il controllo che rende questa pagina facile da fidarsi: la somma di una convoluzione è sempre il prodotto delle due somme delle successioni, qui 1 + 2 + 3 = 6 contro 4 + 5 + 6 = 15. Cade fuori dall'algebra, perché ogni prodotto del risultato è il prodotto di una voce presa da ciascuna successione e ogni coppia di quel tipo vi compare esattamente una volta.

2. Due dadi e la forma dei loro totali

   1. Un dado ha un solo modo di mostrare ciascuna delle sue sei facce, quindi ogni successione è fatta di sei uni
   2. Convolverle conta le coppie che sommano a ciascun totale: k = 0 dà 1 × 1 = 1 modo di ottenere un totale di 2
   3. k = 1 dà 1 + 1 = 2 modi di ottenere un totale di 3, e il conteggio continua a salire
   4. Il picco è 6, nella voce centrale, che è il totale 7
   5. Il risultato è 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 e il suo totale è 36

   Questa è l'illustrazione classica del teorema del limite centrale in miniatura: due distribuzioni piatte convolute ne danno una triangolare, e convolvere dentro un terzo dado la arrotonderebbe ancora verso la campana. Il totale di 36 è anche il controllo: il prodotto delle due somme è 6 × 6, che sono tutte le coppie ordinate di facce, un esito per ciascuna.

3. Un singolo numero riscala l'intera successione

   1. Una successione di una sola voce non ha nulla con cui sovrapporsi, quindi ogni voce del risultato è quella voce moltiplicata per una voce dell'altra successione
   2. k = 0: 2 × 1 = 2
   3. k = 1: 2 × 2 = 4
   4. k = 2: 2 × 3 = 6
   5. Il risultato è 2, 4, 6 e il totale è 12, che è 2 × 6

   Vale la pena eseguire una volta il caso degenere, perché mostra che l'immagine dello scorrimento ha una fine: con una successione lunga uno non c'è mai più di un prodotto da sommare, e la convoluzione si riduce a una moltiplicazione. È la stessa ragione per cui la formula della lunghezza m + n − 1 dà 1 + 3 − 1 = 3 e non qualcosa di più grande.

Questa pagina calcola la convoluzione completa e soltanto quella. Le due varianti che conservano solo una parte del risultato non sono offerte: quella che restituisce una successione lunga quanto l'ingresso più lungo, e quella che restituisce solo le posizioni in cui le successioni si sovrappongono per intero. Nessuna delle due è ben definita per due successioni di lunghezza pari, e il risultato completo è quello che le contiene entrambe — le varianti più corte sono sue fette, non calcoli diversi. Ogni successione può contenere al massimo duecento voci, e ogni valore è limitato a 1000000 in modulo, che è un limite di visualizzazione: una convoluzione moltiplica e poi somma, quindi voci grandi fanno uscire dall'intervallo leggibile molto prima di far uscire un double. Ogni voce del risultato è arrotondata a sei cifre decimali, e il totale riportato è la somma delle voci arrotondate, quindi sommando a mano i numeri stampati si riproduce il totale stampato e non uno leggermente diverso. Il risultato è una riga di numeri separati da virgole e non è localizzato, quindi il separatore decimale resta il punto in qualunque lingua si legga la pagina. Le posizioni portano gli indici e non sono etichettate singolarmente; la tabella di riferimento dà gli indici esplicitamente per la coppia predefinita.

Come si convolvono a mano due successioni?

Fai scorrere una successione davanti all'altra e somma i prodotti a ogni posizione. Con 1, 2, 3 e 4, 5, 6 la prima voce è 1 × 4 = 4, la seconda è 1 × 5 + 2 × 4 = 13, e così via fino a 3 × 6 = 18 all'altro capo. Il risultato ha cinque voci, dato che due successioni di tre si convolvono in una lunghezza di 3 + 3 − 1.

Come faccio a verificare che una convoluzione sia giusta?

Somma il risultato e confrontalo con il prodotto delle due somme delle successioni. Per 1, 2, 3 contro 4, 5, 6 sono 90 contro 6 × 15, e i due valori devono coincidere. La ragione è che ogni voce del risultato è una somma di prodotti a coppie, e ogni coppia possibile presa dalle due successioni compare in esattamente una di quelle somme.

Perché il risultato ha più voci di ciascuna delle due successioni?

Perché la convoluzione completa conserva anche le posizioni in cui le successioni si sovrappongono solo in parte. Con 1, 2, 3 contro 4, 5, 6 quelle posizioni sono cinque: una a ciascun estremo, dove si incontra una sola coppia, e tre nel mezzo, dove se ne incontrano diverse. Le due varianti più corte dell'operazione — quella che mantiene la lunghezza dell'ingresso più lungo e quella che conserva solo le sovrapposizioni complete — sono entrambe fette di questo risultato.

Che cosa c'entra convolvere due dadi con la probabilità?

Conta gli esiti. Un singolo dado è una successione di sei uni, uno per faccia, e convolvere quella successione con sé stessa conta le coppie ordinate che sommano a ciascun totale: un modo di fare 2, due modi di fare 3, fino a sei modi di fare 7 e poi di nuovo in discesa. Il totale del risultato, 36, è il numero delle coppie ordinate, ed è per questo che dividendo ogni voce per esso si ottiene la probabilità.

Una media mobile è una convoluzione?

Sì. Una media mobile prende una finestra di pesi uguali — per esempio cinque giorni da un quinto ciascuno — e la fa scorrere lungo la serie, che è esattamente una convoluzione con quella finestra come una delle due successioni. È per questo che l'operazione salta fuori nei lisciamenti, nei filtri e nell'elaborazione delle immagini: la cosa che viene fatta scorrere è un insieme di pesi, e la cosa che viene lisciata è la successione.

• Convolution — the definition, the sum over overlapping products, and the length of the result — Wolfram MathWorld (United States)
• Cauchy Product — the same rule applied to the coefficients of two power series, which is what convolving two polynomial coefficient lists computes — Wolfram MathWorld (United States)
• Convolution Theorem — why the transform of a convolution is the product of the transforms, and where the operation is met in signal processing — Wolfram MathWorld (United States)