Generatore di lanci di monete

teste = quanti H compaiono nella sequenza · croci = lanci − teste · striscia più lunga = il blocco più lungo di risultati identici · probabilità di questa ripartizione = C(n, teste) / 2ⁿ

lanci

Quante volte lanciare la moneta. La sequenza contiene una H o una T per lancio, e ogni altro output è contato esattamente su questo numero di lanci

seme

Quale sequenza estrarre dal generatore. Lo stesso seme produce sempre le stesse teste e le stesse croci, quindi una serie si può ripetere identica; non rende più probabile nessuno dei due lati

H

Testa, uno dei due lati ugualmente probabili. La sequenza stampa H e T invece delle parole, perché queste lettere sono la notazione usata nel resto della pagina e restano le stesse in ogni lingua

T

Croce, l'altro lato. Una moneta equa non ha memoria, quindi una striscia di un lato è una coincidenza della sequenza e non una moneta che pende da qualche parte

probabilità di questa ripartizione

La probabilità che una moneta equa dia esattamente questo numero di teste in questo numero di lanci — la probabilità di questa particolare ripartizione, che è una domanda diversa dalla quota che è effettivamente uscita

Usalo quando vuoi vedere una serie di lanci senza dover lanciare una moneta, o quando una sequenza di teste e croci va contata invece che guardata a occhio. La striscia più lunga è la parte che non si legge dalla sequenza a occhio, ed è anche quella che viene giudicata male più spesso: una striscia di sette su duecento lanci è ordinaria, non la prova che la moneta è truccata. La probabilità della ripartizione risponde alla domanda compagna — non quale quota è uscita questa volta, ma quanto era probabile che una moneta equa producesse una ripartizione simile. La pagina non verifica se una moneta è equa; dà per scontato che lo sia e mostra come si comporta una moneta equa.

1. Dieci lanci: sette teste, tre croci, striscia più lunga di tre

   1. Estrai dieci risultati dal generatore: H, T, H, H, H, T, H, H, T, H
   2. Conta le H: sono 7, quindi le croci sono 10 − 7 = 3
   3. La quota è 7 / 10 = 70%
   4. Scorri la sequenza una volta per il blocco più lungo di un lato: HHH nelle posizioni da 3 a 5, e di nuovo HH da 7 a 8 — il più lungo è 3
   5. La probabilità di esattamente 7 teste in 10 lanci equi è C(10,7) / 2¹⁰ = 120 / 1024 = 11,72%

   Leggi gli ultimi due numeri uno accanto all'altro, perché sono la coppia su cui questa pagina viene fraintesa più spesso. 70% è quello che è successo questa volta; 11,72% è quanto spesso una moneta equa produce una ripartizione 7–3. Nessuno dei due contraddice l'altro, e 70% non è una riformulazione di 11,72%: il primo descrive questa serie, il secondo descrive l'intera famiglia di serie da dieci lanci che contengono sette teste.

2. Gli stessi dieci lanci con un seme diverso: cinque e cinque

   1. Il seme 7 estrae una sequenza diversa: T, T, H, H, H, T, T, T, H, H
   2. Cinque teste e cinque croci, quindi la quota è 50%
   3. Il blocco più lungo è di nuovo 3 — TTT nelle posizioni da 6 a 8, e HHH da 3 a 5
   4. Una ripartizione 5–5 ha probabilità C(10,5) / 2¹⁰ = 252 / 1024 = 24,61%

   Entrambe le serie sono atterrate su un blocco più lungo di 3, e a dieci lanci questo è l'esito ordinario, non una coincidenza su cui leggere qualcosa. Quello che si è spostato è la probabilità della ripartizione: 5–5 è più che due volte probabile di 7–3, perché ci sono molti più modi di disporre cinque teste in dieci posizioni che sette. È anche il motivo per cui il seme è un campo e non un dettaglio nascosto: premere due volte la stessa pagina non deve dare in silenzio una risposta diversa, e una serie di cui vale la pena parlare deve poter essere ripetuta.

3. Un solo lancio, il limite inferiore

   1. Estrai un singolo risultato: H
   2. Una testa, nessuna croce, quindi la quota è 1 / 1 = 100%
   3. Il blocco più lungo di risultati identici è il lancio stesso, quindi 1
   4. La probabilità di una testa in un lancio equo è C(1,1) / 2¹ = 1/2, cioè 50%

   Un lancio è l'input più piccolo che la pagina accetta, e mostra perché la quota e la probabilità devono essere due righe separate. Un singolo lancio cade da un lato, quindi la quota è 100% — un numero che non dice nulla sulla moneta. La probabilità della ripartizione è 50%, ed è il numero che invece dice qualcosa. Con un lancio le due righe sembrano quasi contraddirsi; con duecento convergono, e il divario fra loro sui conteggi piccoli è tutto il tema del campionamento.

4. Duecento lanci e una striscia di nove

   1. Estrai duecento risultati dal generatore — la riga della sequenza li contiene tutti
   2. Conta le teste: 95, quindi le croci sono 200 − 95 = 105
   3. La quota è 95 / 200 = 47,5%, cioè 2,5 punti lontano dalla parità
   4. Il blocco più lungo di un lato è 9 — nove risultati identici di fila
   5. La probabilità di esattamente 95 teste in 200 lanci equi è circa 4,39%

   La striscia di nove è il numero su cui vale la pena fermarsi. La gente legge una striscia di nove come la prova che qualcosa non va nella moneta, e in duecento lanci equi non ha niente di straordinario: il blocco più lungo cresce con la lunghezza della sequenza, lentamente ma senza tetto. Nota anche in quale direzione tirano le due righe: la quota è un comodo 47,5%, abbastanza vicino alla parità da sembrare giusto, mentre la probabilità della ripartizione è solo 4,39%, perché atterrare esattamente su 95 è un esito specifico fra tanti che si assomigliano tutti.

I lanci non sono fisici. Ognuno è estratto da un generatore casuale con seme, quindi quello che la pagina mostra è una sequenza che si comporta come una moneta equa, non il verbale di una moneta vera — e lo stesso seme estrae sempre la stessa sequenza, che è il senso di quel campo e insieme il suo limite. Vale la pena dichiarare altri tre limiti. Primo, la pagina non verifica mai se una moneta è equa: assume una probabilità di un mezzo a ogni lancio e riporta quello che ne segue, quindi una moneta davvero truccata produrrebbe una sequenza che la pagina continuerebbe a descrivere come se fosse equa. Secondo, 200 lanci è il tetto, ereditato dal limite di estrazione del kernel casuale condiviso e non scelto per questa pagina; a 200 la riga della sequenza è lunga abbastanza da andare a capo parecchie volte. Terzo, la pagina mostra un risultato ma non lo giudica: una striscia più lunga di nove, o una quota di teste del 70%, vengono stampate senza alcun commento sul fatto che siano sorprendenti, e leggere la probabilità della ripartizione accanto è il modo in cui quel giudizio va dato.

Perché lo stesso seme mi dà sempre la stessa sequenza?

Perché i lanci vengono da un generatore casuale con seme e non da una moneta vera, e il seme decide quale sequenza viene estratta dal flusso di quel generatore. Inserisci il seme 1 due volte e ottieni le stesse dieci teste e croci; cambialo in 7 e ottieni una serie diversa della stessa lunghezza. È una scelta deliberata: una pagina che ridisegnasse la risposta a ogni visita non sarebbe verificabile, un risultato non si potrebbe citare, e i test automatici dietro questa pagina non avrebbero niente con cui confrontarsi. Fa anche del seme l'unico input che non è una quantità: seleziona una sequenza, non pesa nessuno dei due lati, quindi nessun seme rende le teste più probabili.

Che differenza c'è fra la percentuale di teste e la probabilità della ripartizione?

La percentuale descrive la serie che hai davanti; la probabilità della ripartizione descrive tutte le serie di questa lunghezza che atterrano su questa divisione. Dieci lanci che danno sette teste danno una percentuale del 70%, e la probabilità che una moneta equa produca esattamente sette teste in dieci lanci è 11,72%. Non sono due modi di dire la stessa cosa e possono muoversi in direzioni opposte: a 200 lanci la percentuale può stare comodamente vicino al 50% mentre la probabilità della ripartizione è sotto il 5%, perché atterrare su un conteggio esatto è un bersaglio stretto anche quando il vicinato è affollato. Leggi la percentuale come il risultato e la probabilità della ripartizione come il budget di sorpresa.

Una striscia di nove teste di fila è il segno che la moneta non è equa?

No, e a 200 lanci non è nemmeno insolito. Il blocco più lungo di risultati identici cresce con la lunghezza della sequenza — lentamente, ma senza alcun tetto — quindi una striscia lunga è quello che una moneta equa prima o poi deve produrre. Quello che una moneta equa non fa è ricordare: dopo otto teste la nona è ancora un mezzo, ed è esattamente per questo che strisce di questa lunghezza compaiono in sequenze così lunghe. Leggere una striscia come prova di un trucco significa leggere l'unica parte della sequenza che cresce con la lunghezza come se fosse una costante, e la riga della striscia più lunga è stampata proprio perché quell'intuizione si possa verificare invece che dare per buona.

Perché non posso lanciare più di 200 volte?

Perché 200 è il limite di estrazione del kernel casuale condiviso che questa pagina, il generatore di dadi e il generatore di numeri casuali usano tutti — è ereditato, non scelto qui, e tenerlo significa che un seme vuol dire la stessa cosa su tutte e tre le pagine. La conseguenza è visibile: a 200 lanci la riga della sequenza è lunga abbastanza da andare a capo più volte, il che è un effetto diretto del tetto e non un difetto di resa. Se ti serve una sequenza più lunga, la risposta onesta è che la pagina non è lo strumento giusto: ti serve un programma, non una sequenza stampata che dovresti contare a occhio.

Perché non c'è una tabella di risultati sotto il generatore?

Perché la tabella che varrebbe la pena avere qui è la tua sequenza, e il codice che costruisce le tabelle di riferimento non può vedere quello che hai scritto: gira al momento della compilazione sulla sola struttura dello strumento, senza accesso agli input. Una tabella di probabilità generiche starebbe sotto il pannello sembrando la risposta alla tua domanda mentre ne risponde a un'altra. Così la pagina stampa la sequenza stessa, nell'ultima riga del pannello, e lascia le tabelle alle pagine il cui tema è davvero un insieme fisso di numeri invece di una singola serie.

Che cosa significano le lettere H e T, e perché non parole?

H sta per testa e T per croce, stampate una per lancio nell'ordine in cui sono state estratte. Restano lettere in ogni lingua perché la sequenza è un pezzo di notazione e non un testo: la stessa serie di lanci deve essere leggibile come la stessa stringa in qualunque lingua sia la pagina, e una sequenza tradotta sarebbe anche impossibile da confrontare con i numeri che le stanno accanto. La riga esiste perché il conteggio, la percentuale e soprattutto la striscia più lunga si possano verificare a mano: la striscia più lunga, in particolare, non si può leggere da una sequenza in nessun altro modo.

• Coin Tossing — from Wolfram MathWorld (the idealised coin: two sides with equal probability, written H and T) — Wolfram MathWorld
• Run — from Wolfram MathWorld (a run as a sequence of consecutive identical outcomes, and the probability that a run of a given length appears in a given number of tosses) — Wolfram MathWorld
• 3.1 Terminology — Introductory Statistics 2e (the law of large numbers: the relative frequency of heads on a fair coin approaches one half as the number of tosses grows) — OpenStax (Rice University)