Che cos'è il valore assoluto di un numero?

È la distanza da quel numero allo zero sulla retta dei numeri, ed è per questo che non è mai negativo. Il valore assoluto di −9 è 9 e il valore assoluto di 9 è ancora 9: entrambi i numeri stanno a nove unità da zero, solo da lati opposti. Le due barre attorno al numero sono la notazione di quella distanza, non una parentesi.

Perché la calcolatrice stampa due volte lo stesso numero quando l'ingresso è negativo?

Perché su un numero negativo il valore assoluto e l'opposto sono la stessa espressione. La definizione dice che |x| = −x quando x è negativo, e l'opposto è −x per definizione, quindi le due colonne devono per forza coincidere. −9 ha come opposto 9 e come valore assoluto 9. Lungi dall'essere un calcolo duplicato, quell'accordo ti dice qualcosa: ti dice che il numero inserito era negativo o nullo.

Qual è la differenza fra il valore assoluto e l'opposto?

Il valore assoluto elimina il segno, l'opposto lo cambia. Su un numero positivo sono due istruzioni diverse — il valore assoluto di 7 è 7 e il suo opposto è −7. Su un numero negativo portano nello stesso punto, e sullo zero danno entrambi zero. La pagina mostra due colonne proprio perché la distinzione si veda, invece di doverla prendere per buona.

Il valore assoluto può essere negativo?

No. È una distanza, e le distanze non sono negative. Vale per ogni numero reale, compresi quelli negativi molto grandi: il valore assoluto di −1000000 è 1000000. Se un calcolo produce un valore assoluto negativo, uno dei passaggi ha applicato male la definizione, quasi sempre negando un numero che era già positivo.

Il valore assoluto di zero ha un segno?

Vale zero, e lo zero è l'unico numero uguale al proprio opposto. In aritmetica JavaScript negare lo zero può produrre uno zero negativo, che si stampa come 0 ma risulta diverso da 0 nei confronti di identità stretta. La pagina normalizza entrambe le colonne, così un ingresso pari a zero dà uno zero semplice in ciascuna, senza segni meno nascosti nel valore.

Questa pagina trova la distanza fra due punti?

No. Prende un numero solo, mentre la distanza fra due punti ne richiede due: l'intervallo fra a e b è |a − b|. La tabella di riferimento qui sotto mostra quel calcolo svolto sulla retta dei numeri, e la calcolatrice delle distanze collegata in fondo alla pagina lo affronta nel piano, dove la risposta passa per la radice quadrata della somma di due quadrati invece che per una sola sottrazione.

Calcolatrice del valore assoluto

Risultato

7,000000

Valore assoluto

Opposto: -7,000000

Una calcolatrice del valore assoluto toglie il segno a un numero: il valore assoluto di −9 è 9, e il valore assoluto di 9 è 9. Questa pagina stampa accanto a quel risultato un secondo numero, l'opposto, cioè quello che si ottiene cambiando il segno invece di eliminarlo; i due concetti vengono insegnati insieme e chi legge vuole giustamente vedere dove differiscono. Su un numero positivo differiscono davvero — il valore assoluto di 7 è 7 mentre il suo opposto è −7 — e su un numero negativo finiscono invece nello stesso punto, perché per un x negativo il valore assoluto è esattamente −x. Quella coincidenza è la cosa più utile della pagina: la seconda colonna che ripete la prima non è un errore di calcolo, è un'informazione, e dice che il numero inserito era negativo o nullo. Il valore assoluto si legge come una distanza sulla retta dei numeri: è la distanza da zero, quindi non è mai negativo, e non dipende dal lato in cui il numero si trova. Inserisci un numero qualsiasi — positivo, negativo, zero, intero o con la virgola — e le due letture tornano indietro insieme: la pagina non restringe nulla, perché il valore assoluto è definito per ogni numero reale ed è l'unica operazione di questo sito che non ha un dominio da dichiarare.

Distanze sulla retta dei numeri

a	b	Distanza
-3	2	5
-5	-1	4
0	7	7
-4	4	8
-10	-2	8
3	-6	9
-1	1	2
12	5	7
-8	-8	0

Ogni riga è il valore assoluto di una sottrazione: la distanza fra a e b è |a − b|, che toglie il segno prodotto dalla sottrazione e lascia la lunghezza dell'intervallo. La riga con a e b entrambi uguali a −8 restituisce 0, il caso in cui i due punti coincidono; la riga da −4 a 4 restituisce 8, il doppio della distanza di ciascuno dei due punti da zero. I numeri sono interi di proposito: una tabella di distanze decimali andrebbe localizzata, perché 1,5 si scrive così in diverse lingue e 1.5 in altre, mentre i numeri interi si scrivono allo stesso modo dappertutto. Nota che questa tabella mostra un calcolo che la calcolatrice qui sopra non sa fare: lei prende un numero solo, non due. I numeri dentro le celle sono stampati senza localizzazione, quindi lì il separatore decimale resta il punto anche in italiano: è la stessa quantità scritta in due modi diversi, e non un errore.

Formula

|x| = x (x ≥ 0) |x| = −x (x < 0) opposto = −x

x: Il numero che inserisci. È accettato qualsiasi numero reale all'interno dell'intervallo della pagina: positivo, negativo, zero, intero o con la virgola. Non c'è alcuna restrizione sull'ingresso, perché il valore assoluto è definito per ogni numero reale: è l'unica operazione di questo sito che non ha un dominio da dichiarare.
|x|: Il valore assoluto, la lettura principale: la distanza da zero al numero sulla retta dei numeri, che non è mai negativa. È scritto come due regole invece che come una sola, perché la regola cambia allo zero — su un numero non negativo non si toglie nulla, mentre su un numero negativo se ne prende la negazione, ed è proprio questo che rende positivo il risultato.
−x: L'opposto, il numero dall'altra parte dello zero alla stessa distanza. Non è la stessa istruzione del valore assoluto: l'opposto di 7 è −7 mentre il valore assoluto di 7 è 7, e i due coincidono solo quando l'ingresso è zero o negativo. Leggere il segno dalla seconda colonna non è un difetto della calcolatrice, è la definizione dell'operazione applicata a un numero negativo.

Esempi svolti

Il valore assoluto di un numero positivo
1. 7 non è negativo, quindi si applica la prima regola: |7| = 7
2. Il valore assoluto è 7, invariato
3. L'opposto è −7, la stessa distanza dall'altra parte dello zero
4. Le due letture differiscono, che è il caso normale per un ingresso positivo
Il caso da cui la pagina parte, e il modo più chiaro di vedere che le due colonne rispondono a domande diverse. Togliere un segno e cambiare un segno sulla carta si assomigliano, ma su un numero positivo danno risposte diverse, e chi ha visto questa riga non le confonderà più.
Il valore assoluto di un numero negativo
1. −9 è negativo, quindi si applica la seconda regola: |−9| = −(−9)
2. Il risultato è 9, la distanza da zero a −9
3. Anche l'opposto di −9 è 9
4. Entrambe le colonne stampano 9 — lo stesso numero due volte, e non è un errore
La riga che viene segnalata come difetto più spesso di tutte. Quando l'ingresso è negativo le due operazioni coincidono, perché togliere il segno e cambiarlo portano nello stesso posto: −x è esattamente il valore assoluto di un x negativo. Che le colonne siano d'accordo è un'informazione, non un calcolo duplicato — dice che il numero inserito era negativo.
Il valore assoluto di un numero compreso fra 1 e −1
1. 0,125 è positivo, quindi il valore assoluto è 0,125
2. L'opposto è −0,125
3. Entrambi i numeri sono minori di 1, il che non cambia nessuna delle due regole
4. Il valore assoluto resta comunque la distanza da zero
Le frazioni si comportano qui esattamente come i numeri interi: le regole riguardano il segno e nient'altro, quindi la grandezza non entra mai in gioco. Un numero fra 0 e 1 ha un valore assoluto piccolo e un opposto altrettanto piccolo, e la coppia resta simmetrica rispetto allo zero sulla retta dei numeri.

Limiti

La pagina prende un solo numero e ne restituisce il valore assoluto e l'opposto. Non calcola la distanza fra due punti, anche se quella distanza si scrive proprio con le barre del valore assoluto: la lunghezza dell'intervallo fra a e b è |a − b|, che ha bisogno di due numeri per cominciare, e la calcolatrice delle distanze collegata in fondo alla pagina prende entrambe le coordinate. Quando l'ingresso è negativo le due colonne stampano lo stesso numero, e questo è una conseguenza della definizione e non un artefatto di arrotondamento: per un x negativo il valore assoluto e l'opposto sono la stessa espressione, −x. Lo zero è l'unico numero uguale al proprio opposto, e anche il suo valore assoluto è zero. Gli ingressi sono limitati a quindici cifre di grandezza, oltre le quali la pagina dovrebbe passare alla notazione scientifica invece di stampare il numero per esteso. Il risultato è arrotondato a sei cifre decimali per la visualizzazione, mentre l'aritmetica che sta dietro gira a precisione piena. Su questa pagina non c'è nessun badge di classificazione, perché se l'ingresso era positivo, negativo o nullo si vede già dai due numeri che compaiono nel pannello.

Domande frequenti

Che cos'è il valore assoluto di un numero?: È la distanza da quel numero allo zero sulla retta dei numeri, ed è per questo che non è mai negativo. Il valore assoluto di −9 è 9 e il valore assoluto di 9 è ancora 9: entrambi i numeri stanno a nove unità da zero, solo da lati opposti. Le due barre attorno al numero sono la notazione di quella distanza, non una parentesi.
Perché la calcolatrice stampa due volte lo stesso numero quando l'ingresso è negativo?: Perché su un numero negativo il valore assoluto e l'opposto sono la stessa espressione. La definizione dice che |x| = −x quando x è negativo, e l'opposto è −x per definizione, quindi le due colonne devono per forza coincidere. −9 ha come opposto 9 e come valore assoluto 9. Lungi dall'essere un calcolo duplicato, quell'accordo ti dice qualcosa: ti dice che il numero inserito era negativo o nullo.
Qual è la differenza fra il valore assoluto e l'opposto?: Il valore assoluto elimina il segno, l'opposto lo cambia. Su un numero positivo sono due istruzioni diverse — il valore assoluto di 7 è 7 e il suo opposto è −7. Su un numero negativo portano nello stesso punto, e sullo zero danno entrambi zero. La pagina mostra due colonne proprio perché la distinzione si veda, invece di doverla prendere per buona.
Il valore assoluto può essere negativo?: No. È una distanza, e le distanze non sono negative. Vale per ogni numero reale, compresi quelli negativi molto grandi: il valore assoluto di −1000000 è 1000000. Se un calcolo produce un valore assoluto negativo, uno dei passaggi ha applicato male la definizione, quasi sempre negando un numero che era già positivo.
Il valore assoluto di zero ha un segno?: Vale zero, e lo zero è l'unico numero uguale al proprio opposto. In aritmetica JavaScript negare lo zero può produrre uno zero negativo, che si stampa come 0 ma risulta diverso da 0 nei confronti di identità stretta. La pagina normalizza entrambe le colonne, così un ingresso pari a zero dà uno zero semplice in ciascuna, senza segni meno nascosti nel valore.
Questa pagina trova la distanza fra due punti?: No. Prende un numero solo, mentre la distanza fra due punti ne richiede due: l'intervallo fra a e b è |a − b|. La tabella di riferimento qui sotto mostra quel calcolo svolto sulla retta dei numeri, e la calcolatrice delle distanze collegata in fondo alla pagina lo affronta nel piano, dove la risposta passa per la radice quadrata della somma di due quadrati invece che per una sola sottrazione.

Riferimenti

Absolute Value — the two-case definition, the number-line reading as distance from zero, and the notation — Wolfram MathWorld (United States)
Additive Inverse — the opposite of a number, the operation behind the page's second column — Wolfram MathWorld (United States)
Real Line — the axis whose every point is a real number: the picture the absolute value is a distance on, and where the opposite sits — Wolfram MathWorld (United States)

Calcolatrici correlate

Calcolatrice della distanzaDistanza tra due punti, con il calcolo mostrato.Calcolatrice del punto medioIl punto medio di un segmento tra due coordinate.Calcolatrice dell'intervalloIntervallo, e il minimo e il massimo da cui nasce.