Kalkulator Perkalian Bersusun

a × b: tulis angka b sebagai b₀ + 10·b₁ + …, ambil a × b_k pada barisnya sendiri, geser k tempat, lalu jumlahkan baris-barisnya hasil kali = (a × b) dengan tanda desimal diletakkan sejauh jumlah angka desimal dari kanan

a

Bilangan yang dikali, yaitu bilangan yang sedang diperkalikan. Seluruh bilangannya dikalikan dengan tiap angka bilangan yang lain secara bergantian, jadi ia tetap utuh sementara bilangan pasangannya dibongkar angka demi angka

b

Pengali, yaitu bilangan yang angkanya diambil satu per satu dari kanan. Setiap angkanya menghasilkan satu baris, termasuk angka nol, karena baris itu mencatat nilai tempat yang diduduki angka tersebut — tempat yang isinya kosong tetap merupakan keterangan

pergeseran

Berapa tempat ke kiri baris itu dituliskan, yang sama dengan posisi angka pengalinya. Inilah nilai tempat yang sedang bekerja: angka 4 pada 45 bernilai empat puluh, jadi hasil kali parsialnya sepuluh kali lebih besar daripada yang dihasilkan angka satuannya. Di kertas pergeseran ditunjukkan dengan memulai barisnya lebih ke kiri; di dalam tabel, hal itu harus menjadi sebuah angka

angka desimal

Banyaknya angka di belakang tanda desimal, yang dijumlahkan dari kedua faktor alih-alih dihitung pada salah satunya. 2,3 punya satu dan 4,5 punya satu, jadi hasil kalinya membawa dua, dan 1.035 menjadi 10,35. Tidak ada satu pun bagian pekerjaan angkanya yang bergantung pada hal ini: perkaliannya berjalan sepenuhnya pada bilangan bulat dan tanda desimalnya diletakkan setelahnya

Pakai cara ini untuk mengalikan dua bilangan dengan tangan sambil menyimpan pekerjaannya: memeriksa hasil kali yang dihitung di kertas, mengajarkan langkah pergeserannya, atau menangani bilangan desimal ketika letak tanda desimalnya justru bagian yang sering salah. Perkalian berulang sebuah bilangan dengan dirinya sendiri adalah halaman eksponen; perkalian pecahan mengikuti aturannya sendiri, atas dengan atas dan bawah dengan bawah.

1. 23 × 45

   1. Kalikan dengan angka satuan: 23 × 5 = 115, ditulis tanpa pergeseran
   2. Kalikan dengan angka puluhan: 23 × 4 = 92
   3. Angka puluhan bernilai sepuluh kali lebih besar, jadi baris itu bergeser satu tempat ke kiri dan terbaca 920
   4. Jumlahkan baris-barisnya: 115 + 920 = 1.035
   5. Tidak ada faktor yang punya angka desimal, jadi hasil kalinya juga tidak punya
   6. Hasil kalinya 1.035

   Kasus bawaannya. Angka 0 di ujung 920 adalah pergeseran yang menjadi terlihat — di kertas baris itu sekadar dimulai satu kolom lebih ke kiri, sedangkan di bacaan ini ia menjadi angka yang harus dituliskan. Kedua baris yang dijumlahkan itu adalah penjumlahan bersusun biasa, yaitu halaman berikutnya.

2. Angka yang sama dengan tanda desimal

   1. Abaikan tanda desimalnya dan kalikan angkanya: 23 × 45 adalah contoh sebelumnya
   2. Hasil kali parsialnya 115 dan 920, tidak berubah
   3. Hitung angka desimalnya: 2,3 punya satu dan 4,5 punya satu, jadi hasil kalinya punya dua
   4. Letakkan tanda desimal dua angka masuk dari kanan 1.035
   5. Hasil kalinya 10,35

   Pernyataan paling jelas tentang cara kerja bilangan desimal di sini: pekerjaan angkanya identik dengan mengalikan 23 dengan 45, dan seluruh perbedaannya hanya tempat tanda desimalnya mendarat. Itulah juga sebabnya angka desimalnya dilaporkan sebagai jumlah, bukan dihitung dari salah satu faktornya.

3. Angka nol pada pengali

   1. Kalikan dengan angka satuan: 23 × 0 = 0, ditulis tanpa pergeseran
   2. Kalikan dengan angka puluhan: 23 × 4 = 92, bergeser satu tempat ke kiri, jadi 920
   3. Jumlahkan baris-barisnya: 0 + 920 = 920
   4. Hasil kalinya 920

   Baris nolnya tetap disimpan alih-alih dilewati. Kalau dikerjakan dengan tangan, baris itu biasanya memang dihilangkan, tetapi posisinyalah yang sedang dicatat — ia mengatakan bahwa angka satuan pada 40 tidak menyumbang apa pun — dan pemeriksaan bahwa baris-barisnya berjumlah sama dengan hasil kalinya hanya berlaku kalau baris itu ada. Ini pilihan yang berlawanan dengan halaman FOIL, yang membuang suku yang hasilnya nol: di sana suku kosongnya memang tidak ada, sedangkan di sini satu baris benar-benar dituliskan.

Kedua faktor bersama-sama paling banyak membawa enam angka desimal, dan yang dibatasi adalah jumlahnya, bukan salah satu bilangannya. Itu batas tampilan, bukan batas aritmetika: panel mencetak hasil kalinya sampai enam angka desimal, sehingga hasil kali yang membutuhkan delapan angka akan tercetak sebagai 0,000000 — jawaban salah yang berpakaian jawaban benar. Setiap faktor dibatasi pada besaran satu juta, dan bentuk bilangan bulat dari hasil kalinya dibatasi pada bilangan bulat terbesar yang bisa dinyatakan dengan tepat, karena angkanya dibaca satu tempat demi satu tempat dan di luar batas itu hasil kali parsialnya berhenti berjumlah sama dengan jawabannya. Faktor negatif diterima, dan hasil kali parsialnya dicetak tanpa tanda; tandanya hanya muncul pada hasil kali akhirnya. Nol adalah faktor yang sah, dan hasil kali antara bilangan negatif dan nol dicetak sebagai 0, bukan sebagai negatif nol. Halaman ini mengalikan; pembagian adalah prosedur terpisah dengan aturan kolomnya sendiri.

Apa itu perkalian bersusun?

Mengalikan dua bilangan dengan membongkar angka salah satunya: setiap angka pengali menghasilkan satu baris, baris-baris itu digeser ke kiri sesuai nilai tempat yang diduduki angka tersebut, lalu dijumlahkan. Hasilnya sama dengan yang diberikan kalkulator, hanya saja baris antaranya ikut disimpan.

Mengapa hasil kali parsialnya digeser?

Karena nilai sebuah angka bergantung pada tempatnya. Angka 4 pada 45 bernilai empat puluh, jadi segala hal yang dikalikannya harus keluar sepuluh kali lebih besar daripada yang dihasilkan angka 5, dan menuliskan barisnya satu tempat lebih ke kiri adalah cara mencatatnya. Aturannya sama dengan aturan yang membuat kolom pada penjumlahan bersusun menjadi lurus.

Bagaimana cara mengetahui letak tanda desimalnya?

Hitung angka desimal pada kedua faktor lalu jumlahkan. 2,3 punya satu dan 4,5 punya satu, jadi hasil kalinya punya dua dan 1.035 menjadi 10,35. Angka-angkanya sendiri tidak pernah melihat tanda itu — seluruh perkaliannya berjalan pada bilangan bulat dan tanda desimalnya diletakkan di akhir.

Mengapa baris yang berisi nol tetap disimpan?

Karena posisi baris itulah keterangannya. Ketika angka satuan pengalinya nol, baris tersebut mengatakan bahwa tempat satuan tidak menyumbang apa pun, dan membuangnya akan menghilangkan kenyataan bahwa baris yang tersisa sedang bergeser. Menyimpannya juga membuat baris-barisnya selalu berjumlah sama dengan hasil kalinya, dan itulah pemeriksaan yang hendak ditopang halaman ini.

Apa yang terjadi pada faktor negatif?

Hasil kalinya negatif ketika tepat satu di antara kedua faktornya negatif, dan positif ketika keduanya negatif. Hasil kali parsialnya tetap dicetak tanpa tanda, sama seperti hitungan di kertas yang menyimpan tanda minus di luar pekerjaannya — dan itulah yang menjaga baris-barisnya tetap berjumlah sama dengan hasil kalinya.

Mengapa hasil kali bilangan bulat tercetak dengan deretan nol?

Karena panel mencetak hasil kalinya dengan enam angka desimal yang tetap, sehingga 1.035 keluar sebagai 1.035,000000. Pilihan lainnya adalah mencetak hasil kalinya sebagai teks, dan itu akan menaruh tanda titik dari ASCII di dalam jawabannya — keliru di negara yang tanda desimalnya koma, dan lebih buruk daripada beberapa angka nol di belakang.

• Base — why shifting a partial product one place left multiplies it by ten, which is what the shift column records — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponentiation — multiplication applied to a number and itself, the case where both factors are the same — Wolfram MathWorld (United States)
• Division — the inverse operation, and the reason it needs a different column procedure rather than a variation on this one — Wolfram MathWorld (United States)