Apa itu penjumlahan bersusun dengan teknik menyimpan?

Menjumlahkan bilangan seperti cara menuliskannya di kertas: luruskan angkanya menurut nilai tempat, kerjakan dari kolom satuan ke kiri, lalu simpan sisanya ke kolom berikutnya. Hasilnya sama dengan yang diberikan kalkulator biasa, hanya saja langkah antaranya ikut disimpan alih-alih dibuang.

Mengapa harus mulai dari kolom satuan?

Karena simpanannya berjalan ke kiri. Setiap kolom membutuhkan simpanan yang masuk ke dalamnya, dan simpanan itu datang dari kolom di sebelah kanannya, jadi kolom satuan harus diselesaikan sebelum kolom puluhan bisa dikerjakan. Memulai dari tempat lain berarti harus kembali lagi begitu simpanannya tiba.

Apa yang diberitahukan rantai simpanan?

Rantai itu mendaftar berapa yang disimpan setiap kolom ke kolom berikutnya, dimulai dari kolom satuan. Panjangnya sama dengan banyaknya angka pada hasil, jadi ia sekaligus berfungsi sebagai pemeriksaan: kalau ada simpanan yang hilang atau ada kolom yang terlewat, kedua panjang itu berhenti cocok.

Mengapa jawabannya bisa lebih panjang daripada bilangan terpanjang?

Karena kolom terakhir masih bisa menyimpan. Menjumlahkan 9 dan 9 memenuhi kolom satuan dan meninggalkan simpanan yang tidak punya tempat tujuan, sehingga satu kolom baru terbuka untuk menampungnya, dan 9 + 9 menjadi 18 alih-alih 8. Kolom tambahan itulah sebabnya rantai simpanan bisa satu entri lebih panjang daripada bilangan terpanjang.

Bisakah saya menjumlahkan bilangan desimal?

Tidak di halaman ini. Bilangan desimal juga bisa dijumlahkan bersusun, tetapi hanya setelah disejajarkan pada tanda desimalnya dan ditambahi angka nol, dan hal itu mengubah arti sebuah kolom — dari nilai tempat menjadi posisi setelah tanda desimal. Halaman ini menolak masukannya alih-alih memperlakukan 1,5 sebagai 15.

Apakah urutan bilangannya berpengaruh?

Jumlahnya sama dalam urutan apa pun. Rantai simpanannya tidak: urutan yang berbeda mengubah angka yang diterima tiap kolom, dan kolom yang angka-angkanya kebetulan berjumlah 9 akan menyimpan sedangkan susunan lain tidak. Pekerjaan antaranya bergantung pada urutan walaupun jawabannya tidak.

Kalkulator Penjumlahan Bersusun

Hasil

1.890

Total

Simpanan: 2, 1, 0, 0

Kalkulator penjumlahan bersusun menjumlahkan sekumpulan bilangan bulat seperti cara menuliskannya di kertas, satu kolom demi satu kolom, dan mencetak simpanan yang bergerak ke kiri pada setiap langkah. Inilah versi penjumlahan yang memperlihatkan pekerjaannya: hasilnya kembali bersama angka yang ditulis pada setiap nilai tempat beserta rantai simpanan yang berisi satu entri untuk tiap kolom, sehingga jawabannya bisa diperiksa terhadap hitungannya alih-alih dipercaya begitu saja. Nilai bawaannya menjumlahkan 1.234; 567; 89 menjadi 1.890, dengan simpanan 2; 1; 0; 0 yang berjalan dari kolom satuan ke kiri. Hanya bilangan bulat yang diterima — tanda desimal menuntut bilangannya disejajarkan lebih dulu pada tanda itu, dan itu prosedur yang berbeda, sedangkan tanda minus butuh kolomnya sendiri. Panjang rantai simpanan selalu sama dengan banyaknya angka pada hasil, dan itulah cara tercepat memeriksa bahwa tidak ada langkah yang hilang ketika beberapa bilangan dijumlahkan bersusun ke bawah.

1.234 + 567 + 89 dikerjakan satu kolom demi satu kolom

Kolom	Angka	Simpanan masuk	Jumlah	Angka yang ditulis	Simpanan keluar
0	4 + 7 + 9	0	20	0	2
1	3 + 6 + 8	2	19	9	1
2	2 + 5 + 0	1	8	8	0
3	1 + 0 + 0	0	1	1	0

Satu baris untuk setiap kolom, dibaca dari kolom satuan ke atas, yaitu arah pekerjaannya memang berjalan. Kolom Angka mendaftar sumbangan tiap bilangan pada tempat itu, termasuk angka nol dari bilangan yang terlalu pendek untuk mencapainya — di langkah itulah pembaca paling sering kehilangan jejak. Kolom Jumlah adalah simpanan masuk ditambah angka-angka tersebut, dan dua kolom terakhir memecahnya menjadi angka yang dituliskan dan simpanan yang dikirim ke kiri. Simpanan masuk pada baris teratas bernilai nol karena tidak ada apa pun di sebelah kanan kolom satuan, dan simpanan keluar pada baris terbawah bernilai nol karena tidak ada apa pun di sebelah kiri. Seluruh isinya bilangan bulat dan deretan angkanya adalah notasi, jadi tabel ini sama di semua bahasa yang dilayani situs ini.

Rumus

kolom k: jumlah = angka_k(a₁) + … + angka_k(aₙ) + simpanan_masuk angka yang ditulis = jumlah mod 10 simpanan keluar = jumlah ÷ 10 dibulatkan ke bawah

a₁ … aₙ: Bilangan yang dijumlahkan: antara dua dan sepuluh bilangan bulat, masing-masing tidak lebih besar dari satu triliun. Kolom pertama adalah kolom satuan semua bilangan itu sekaligus, dan itulah sebabnya bilangannya harus ditulis dengan angka-angka yang lurus sejajar sebelum cara ini punya arti
kolom k: Tempat ke-k dihitung dari kanan, dengan kolom satuan sebagai tempat nol. Setiap kolom memuat satu angka dari tiap bilangan yang dijumlahkan, dan bilangan yang terlalu pendek untuk mencapainya menyumbang angka nol alih-alih dilewati — nilai tempat sebuah angka ditentukan oleh kolom yang didudukinya, bukan oleh bilangan asal angka itu
simpanan: Banyaknya yang dibawa masuk ke kolom berikutnya di sebelah kiri. Isinya adalah sisa setelah angka yang ditulis dikeluarkan, yaitu bagian puluhannya. Satu kolom paling banyak menyimpan 9, dan kolom tertinggi masih bisa menyimpan satu tempat melewati lebar bilangan terpanjang, dan itulah yang membuat 9 + 9 menghasilkan jawaban dua angka
jumlah: Totalnya, sekaligus ukuran yang dipakai untuk memeriksa rantai simpanannya: rantai itu punya satu entri per kolom, jadi panjangnya sama dengan banyaknya angka pada hasil. Angka nol di depan tidak pernah ditulis, sehingga 007 adalah jawaban 7

Pakai cara ini ketika penjumlahan harus diperlihatkan, bukan sekadar dijawab: mengajarkan teknik menyimpan langkah demi langkah, memeriksa total yang dihitung dengan tangan, atau menjumlahkan beberapa bilangan sekaligus ketika simpanan di antara langkahnya justru bagian yang sering salah. Rata-rata adalah pertanyaan berikutnya setelah totalnya diketahui, dan halaman rata-rata menerima daftar bilangan yang sama.

Contoh hitungan

1.234 + 567 + 89
1. Kolom satuan: 4 + 7 + 9 = 20, jadi tulis 0 dan simpan 2
2. Kolom puluhan: 3 + 6 + 8 + 2 = 19, jadi tulis 9 dan simpan 1
3. Kolom ratusan: 2 + 5 + 0 + 1 = 8, jadi tulis 8 dan simpan 0
4. Kolom ribuan: 1 + 0 + 0 + 0 = 1, jadi tulis 1 dan simpan 0
5. Angka yang ditulis, dari kolom tertinggi ke bawah, adalah 1; 8; 9; 0
6. Jumlahnya 1.890 dan rantai simpanannya 2; 1; 0; 0
Ketiga bilangan itu panjangnya empat, tiga, dan dua angka, sehingga dua yang lebih pendek kehabisan angka di kolom-kolom atas dan tidak menyumbang apa pun di sana. Rantainya berisi empat entri dan hasilnya berangka empat — kesesuaian itulah yang menjadi dasar halaman ini, dan ia berlaku pada setiap masukan, termasuk masukan yang tidak menyimpan sama sekali.
9 + 9, tempat sebuah kolom baru muncul
1. Kolom satuan: 9 + 9 = 18, jadi tulis 8 dan simpan 1
2. Tidak ada kolom lagi, jadi simpanannya membuka satu kolom baru: tulis 1 dan simpan 0
3. Angka yang ditulis adalah 1 dan 8
4. Jumlahnya 18, jadi rantai simpanannya 1; 0
Dua bilangan satu angka dan jawaban dua angka. Rantai simpanannya punya entri untuk kolom yang tidak pernah dimiliki kedua bilangannya, dan itulah sebabnya rantainya satu lebih panjang daripada bilangan terpanjang. Membaca 1; 0 sebagai pengurangan dari jawabannya adalah kekeliruan — entri itu berjalan dari kolom satuan ke atas, jadi yang pertama adalah simpanan kolom satuan.
Total yang tidak menyimpan sama sekali
1. Kolom satuan: 0 + 0 + 0 = 0, tulis 0, simpan 0
2. Kolom puluhan: 0 + 0 + 0 = 0, tulis 0, simpan 0
3. Kolom ratusan: 1 + 2 + 3 = 6, tulis 6, simpan 0
4. Jumlahnya 600 dan rantai simpanannya 0; 0; 0
Tidak ada yang disimpan di sini, dan angka nolnya tetap dicetak. Rantai yang berhenti pada entri bukan nol pertama akan mustahil dibaca terhadap kolomnya, sedangkan gunanya justru kesejajaran antara entri rantai dan nilai tempatnya. Contoh ini juga memisahkan bilangannya dengan spasi alih-alih titik koma; keduanya diterima, dan spasi menghindari koma, yang di Indonesia justru dibaca sebagai tanda desimal.

Batasan

Hanya bilangan bulat yang diterima. Tanda desimal akan menuntut bilangannya disejajarkan lebih dulu pada tanda itu, dengan nol ditambahkan sampai panjangnya sama, dan itu prosedur yang berbeda dari sekadar menambah kolom — jadi bilangan desimal ditolak alih-alih diam-diam diperlakukan sebagai bilangan bulat. Bilangan negatif ditolak dengan alasan sejenis: tanda minus bukan angka, dan ia membutuhkan kolom serta aturannya sendiri. Banyaknya bilangan yang diterima antara dua dan sepuluh; satu bilangan tidak punya kolom untuk ditulis, dan di atas sepuluh, penjumlahan lebih baik dikerjakan sebagai jumlah atas sebuah daftar. Setiap bilangan dibatasi pada satu triliun dan totalnya pada bilangan bulat terbesar yang bisa dinyatakan dengan tepat, karena angkanya dibaca satu tempat demi satu tempat dan di luar batas itu angka yang ditulis berhenti cocok dengan jawabannya. Halaman ini menjumlahkan; ia tidak mengurangkan, mengalikan, atau membagi, yang masing-masing punya prosedur kolomnya sendiri.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apa itu penjumlahan bersusun dengan teknik menyimpan?: Menjumlahkan bilangan seperti cara menuliskannya di kertas: luruskan angkanya menurut nilai tempat, kerjakan dari kolom satuan ke kiri, lalu simpan sisanya ke kolom berikutnya. Hasilnya sama dengan yang diberikan kalkulator biasa, hanya saja langkah antaranya ikut disimpan alih-alih dibuang.
Mengapa harus mulai dari kolom satuan?: Karena simpanannya berjalan ke kiri. Setiap kolom membutuhkan simpanan yang masuk ke dalamnya, dan simpanan itu datang dari kolom di sebelah kanannya, jadi kolom satuan harus diselesaikan sebelum kolom puluhan bisa dikerjakan. Memulai dari tempat lain berarti harus kembali lagi begitu simpanannya tiba.
Apa yang diberitahukan rantai simpanan?: Rantai itu mendaftar berapa yang disimpan setiap kolom ke kolom berikutnya, dimulai dari kolom satuan. Panjangnya sama dengan banyaknya angka pada hasil, jadi ia sekaligus berfungsi sebagai pemeriksaan: kalau ada simpanan yang hilang atau ada kolom yang terlewat, kedua panjang itu berhenti cocok.
Mengapa jawabannya bisa lebih panjang daripada bilangan terpanjang?: Karena kolom terakhir masih bisa menyimpan. Menjumlahkan 9 dan 9 memenuhi kolom satuan dan meninggalkan simpanan yang tidak punya tempat tujuan, sehingga satu kolom baru terbuka untuk menampungnya, dan 9 + 9 menjadi 18 alih-alih 8. Kolom tambahan itulah sebabnya rantai simpanan bisa satu entri lebih panjang daripada bilangan terpanjang.
Bisakah saya menjumlahkan bilangan desimal?: Tidak di halaman ini. Bilangan desimal juga bisa dijumlahkan bersusun, tetapi hanya setelah disejajarkan pada tanda desimalnya dan ditambahi angka nol, dan hal itu mengubah arti sebuah kolom — dari nilai tempat menjadi posisi setelah tanda desimal. Halaman ini menolak masukannya alih-alih memperlakukan 1,5 sebagai 15.
Apakah urutan bilangannya berpengaruh?: Jumlahnya sama dalam urutan apa pun. Rantai simpanannya tidak: urutan yang berbeda mengubah angka yang diterima tiap kolom, dan kolom yang angka-angkanya kebetulan berjumlah 9 akan menyimpan sedangkan susunan lain tidak. Pekerjaan antaranya bergantung pada urutan walaupun jawabannya tidak.

Referensi

Base — how a digit's worth comes from the column it sits in, which is what makes the ones column the right place to start — Wolfram MathWorld (United States)
Binary — the identical carry procedure in base two, where a single 1 + 1 already carries and the chain is easiest to watch — Wolfram MathWorld (United States)
Additive Inverse — the opposite of a number, and the reason a negative addend cannot simply be written into the column — Wolfram MathWorld (United States)

Kalkulator terkait

Kalkulator Perkalian BersusunKalikan dua bilangan bersusun, hasil kali parsialnya ditulis.Kalkulator BinerTambah, kurang, kali, dan bagi bilangan biner.Kalkulator Rata-rataRata-rata daftar bilangan, dengan jumlah dan banyaknya data.Kalkulator Pengurangan BersusunSelisih dua bilangan bulat bersusun, tiap pinjaman ditulis.