Kalkulator Fungsi Galat

erf x = (2 ÷ √π) ∫₀ˣ e^(−t²) dt erfc x = 1 − erf x

x

Nilai yang diukur, sebuah bilangan biasa tanpa satuan. Ia boleh negatif, dan dalam hal itu fungsi galat bersifat ganjil sehingga mengembalikan negatif dari jawaban positifnya: erf(−1) sama dengan −0,842701. Batas praktisnya enam ke arah mana pun, karena di atas itu kedua hasilnya berhenti membawa keterangan

e^(−t²)

Kurva gaussian, yaitu bentuk yang diintegralkan di sini. Bentuknya itulah yang membuat fungsi galat penting: luas di bawahnya antara dua nilai adalah sebuah peluang, dan karena itulah integral yang sama muncul di setiap pembahasan statistika. Peubah t adalah peubah integrasi yang menelusuri kurva dari nol sampai x, lalu hilang dari hasilnya

√π

Faktor penormal di depan integral, kira-kira 1,772454. Tanpa faktor itu seluruh kurva akan terintegral menjadi √π alih-alih menjadi satu, dan fungsi galatnya tidak akan membentang dari −1 sampai 1. Ia tetapan, bukan besaran yang berubah mengikuti masukan

erf x

Fungsi galatnya sendiri, dicetak sampai enam angka desimal. Ia membentang dari −1 sampai 1, memotong nol di titik asal, dan mencapai 0,842701 pada x sama dengan 1. Nilainya adalah luas yang sebenarnya, bukan peluang: untuk mengubahnya menjadi peluang dibutuhkan rata-rata dan simpangan baku, dan itu pekerjaan kalkulator distribusi normal

erfc x

Fungsi galat komplementer, yaitu satu dikurangi erf, yang mulai dari 1 pada masukan negatif yang besar lalu menyusut menuju nol. Ia dilaporkan dalam notasi ilmiah karena rentangnya amat lebar. Ia ada sebagai bacaan tersendiri karena pada x yang besar ia jauh lebih tepat daripada hasil pengurangan satu dengan erf — dan justru di situlah batas ketelitian halaman ini

Pakai halaman ini kalau jawaban yang Anda butuhkan memang fungsi galat atau komplemennya sebagaimana adanya. Kalau yang sebenarnya Anda cari adalah peluang bahwa sebuah peubah berdistribusi normal jatuh di bawah nilai tertentu, kalkulator distribusi normal menerima rata-rata dan simpangan baku lalu langsung mengembalikan peluang itu — angka yang sama lewat jalan yang lebih pendek. Fungsi galat adalah bentuk dasar di bawahnya, dan halaman ini tempat membacanya apa adanya.

1. Nilai yang pertama kali ditemui semua orang: x sama dengan 1

   1. Deretnya dievaluasi pada x sama dengan 1, dan di situ ia menyatu dalam beberapa puluh suku
   2. erf(1) keluar sebagai 0,842701
   3. Komplemennya satu dikurangi angka itu: 1 − 0,842701 = 0,157299
   4. Menjumlahkan kedua bacaan itu memberi 1,000000, dan itulah pemeriksaan yang layak dijalankan pada baris mana pun di halaman ini

   Kedua bacaan berjumlah satu bukan kebetulan pembulatan, melainkan arti kata komplementer itu sendiri. Dibaca sebagai luas, jumlah itu mengatakan bahwa segala sesuatu di bawah kurva lonceng ada entah dalam jarak satu satuan dari pusatnya entah di luarnya. Baris inilah yang juga paling langsung berubah menjadi angka yang akrab: sekitar 68 persen pengamatan jatuh dalam satu simpangan baku dari rata-ratanya.

2. Dua, ketika ekornya mulai menipis

   1. erf(2) sama dengan 0,995322, jadi kurvanya hampir selesai mendaki
   2. Komplemennya 1 − 0,995322 = 0,0046777, kini di bawah setengah persen
   3. Dalam notasi ilmiah ekor itu ditulis 4,677735 × 10⁻³
   4. Kedua bacaan masih berjumlah satu, dengan komplemennya tinggal empat angka berarti

   Perhatikan ketelitian pada komplemennya, bukan pada fungsi galatnya. Menghitung satu dikurangi bilangan yang sangat dekat dengan satu membuang angka-angka di depan, dan pada baris ini komplemennya sudah kehilangan sebagian besar angka itu — itulah sebabnya halaman ini melaporkannya dalam notasi ilmiah dengan pengaturan angka berarti tersendiri, bukan dengan bilangan desimal yang jumlahnya tetap.

3. Empat, ketika komplemennya mulai kehabisan angka

   1. Nilai sejati erf(4) adalah satu dikurangi sekitar 1,54 × 10⁻⁸
   2. Sebagai bilangan presisi ganda angka itu tidak bisa dibedakan dari 1, sehingga kolom fungsi galat mencetak tepat 1
   3. Komplemennya lalu dihitung sebagai 1 − erf dan menghasilkan 1,541726 × 10⁻⁸
   4. Pengurangannya itulah tempat ketelitiannya hilang: jawabannya hanya menyisakan segelintir angka yang masih baik

   Inilah batas jujur halaman ini dan alasan rentang masukannya berhenti di 6. Komplemen di sini adalah selisih antara dua bilangan yang sepakat sampai delapan angka desimal, jadi ia adalah sisa kecil dari sebuah penghapusan; nilai sejatinya 1,5417 × 10⁻⁸ dan beberapa angka di depannya masih bisa dipercaya. Pada x sama dengan 6 kedua bilangan presisi ganda itu sudah sama besar, dan pengurangannya mengembalikan nol tepat, padahal nilai sejatinya sekitar 2 × 10⁻¹⁷.

Masukan dibatasi 6 ke arah mana pun. Itu batas ketelitian, bukan batas kecepatan: di atasnya fungsi galat begitu dekat dengan 1 sehingga bilangan presisi ganda tidak sanggup mewakili selisihnya, dan halaman ini hanya akan mencetak derau. Di dalam rentang itu pun ada batas yang perlu diketahui — komplemennya dihitung dengan pengurangan, dan begitu x melewati sekitar 4,5 pengurangan itu menghapus sebagian besar angka berartinya, sehingga nilai erfc di sana hanya membawa beberapa angka yang baik. Hal itu tidak diperbaiki di sini, dan memperbaikinya berarti menulis implementasi kedua untuk komplemennya, bukan menambal yang sekarang. Fungsi galatnya sendiri akurat sampai satu atau dua satuan pada angka terakhirnya di sepanjang rentang. Hanya kedua nilai itu yang diberikan: fungsi distribusi normal baku tidak termasuk di antara keluarannya, karena ia adalah keterangan yang sama lewat jalan lain, dan kalkulator distribusi normal melaporkannya sebagai peluang dengan rata-rata serta simpangan baku sebagai masukannya. Tidak ada satuan di mana pun pada halaman ini; masukannya bilangan murni. Nilainya dihitung dari deret yang ditulis untuk halaman ini, bukan dari pustaka bawaan, karena bahasanya tidak menyediakan fungsi tersebut.

Fungsi galat dipakai untuk apa?

Fungsi galat mengukur luas di bawah kurva lonceng dari pusat sampai sebuah titik, dan luas itulah yang di statistika menjadi peluang. Ia muncul di pengujian hipotesis, di kendali mutu, di pemrosesan sinyal, dan di setiap tempat yang memerlukan distribusi normal: erf(1) sama dengan 0,842701 berarti sekitar 84 persen pengamatan jatuh dalam jarak satu simpangan baku ke arah bawah dari rata-ratanya.

Apa itu erfc dan bagaimana hubungannya dengan erf?

erfc adalah fungsi galat komplementer, yaitu satu dikurangi erf, dan kedua bacaan itu selalu berjumlah satu. Pada x sama dengan 1, erf memberi 0,842701 sedangkan erfc memberi 0,157299. Keduanya dilaporkan berdampingan karena pada x yang besar erfc jauh lebih tepat daripada mengurangkan satu dengan erf, sekaligus karena jumlah keduanya adalah pemeriksaan tercepat yang bisa Anda jalankan sendiri.

Mengapa saya tidak bisa memasukkan nilai yang lebih besar dari enam?

Karena di atas enam tidak ada lagi yang bisa dibedakan. Nilai sejati erf(6) adalah satu dikurangi sekitar 2,15 × 10⁻¹⁷, dan bilangan presisi ganda tidak sanggup mewakili selisih sekecil itu dari satu — hasilnya membulat tepat menjadi 1. Batasnya karena itu batas ketelitian, bukan batas kecepatan hitungan: deretnya sendiri masih hanya sekitar 200 suku pada titik itu.

Mengapa komplemennya berhenti akurat pada masukan besar?

Karena ia dihitung dengan pengurangan, dan pengurangan antara dua bilangan yang hampir sama menghapus angka-angka di depannya. Pada x sama dengan 4,5 sebagian besar angka berarti sudah hilang. Perbaikan yang lazim adalah deret asimtotik yang langsung menghitung komplemennya, bukan mengurangkannya; hal itu tidak dikerjakan di halaman ini, dan bagiannya yang tetap di dalam rentang masih akurat sampai satu atau dua satuan pada angka terakhir.

Bisakah saya mendapatkan peluang distribusi normal di sini?

Tidak, dan halaman ini sengaja tidak menyediakannya. erfc dan erf adalah bentuk dasar di bawah peluang itu; untuk mengubahnya menjadi peluang dibutuhkan rata-rata dan simpangan baku yang harus digeser dan diskalakan lebih dulu. Kalkulator distribusi normal menerima keduanya dan langsung mengembalikan peluangnya, jadi di sana jalan menuju jawabannya lebih pendek.

• Erf — the definition as an integral of the gaussian, the series expansion, and the values at small arguments — Wolfram MathWorld (United States)
• DLMF §7.2: Error Functions — the definition, the symmetry relation, and the series used to evaluate them — National Institute of Standards and Technology (NIST), Digital Library of Mathematical Functions
• DLMF §7.12: Asymptotic Expansions for Error Functions — why the complement loses accuracy and how it is recovered — National Institute of Standards and Technology (NIST), Digital Library of Mathematical Functions