Generator Lemparan Dadu

cara(total) = koefisien x^total pada (x + x² + … + x^sisi)^jumlah dadu → peluang = cara(total) / sisi^jumlah dadu

jumlah dadu

Berapa banyak dadu yang dilempar, sampai 20. Satu dadu memberi sebaran datar di mana setiap mata sama mungkinnya; dua dadu atau lebih menumpuk total di tengah, dan itulah justru alasan peluang sebuah total layak dilaporkan

sisi

Berapa sisi yang dimiliki setiap dadu, dari 2 sampai 100. Dadu bersisi enam yang akrab ada di sini, tetapi begitu pula dadu bersisi dua puluh dan bersisi seratus

cara(total)

Berapa banyak hasil yang mungkin berjumlah total tersebut. Banyaknya cara adalah satuan yang jujur untuk dadu — total 7 punya enam cara dari 36 pada dua dadu bersisi enam, dan rasio itulah peluangnya

benih acak

Titik mulai lemparannya, bilangan bulat apa pun dari 0 sampai 4.294.967.295. Benih acak yang sama dengan kumpulan dadu yang sama memberi mata yang sama, sehingga sebuah lemparan menjadi sesuatu yang bisa dijalankan ulang dan diperiksa

total

Jumlah mata dadunya. Nilainya bergerak dari jumlahDadu (semuanya satu) sampai jumlahDadu × sisi (semuanya mata tertinggi), jadi banyaknya total yang bisa dihasilkan sebuah kumpulan adalah jumlahDadu × sisi − jumlahDadu + 1

Pakai ketika totalnya yang menentukan dan mata tiap dadu hanya rincian: menghitung apakah lemparan 3d6 mungkin melewati sebuah angka target, memeriksa peluang jumlah 2d6 sebelum bermain, atau menghasilkan lemparan berbenih supaya sebuah sesi bisa diulang persis. Lemparan berbenih itulah yang membuat halaman ini lebih dari sekadar keisengan — program yang membangkitkan level, kelompok yang mengulang sebuah skenario, dan orang yang menguji sebuah aturan sama-sama butuh lemparan yang bisa direproduksi, dan benih acak itulah yang mengubah satu lemparan menjadi lemparan yang bisa direproduksi siapa pun. Halaman ini bukan simulator dadu seimbang dalam arti keacakan fisik: angkanya berasal dari deret deterministik yang kecil, jadi segala hal di mana pemain tidak boleh bisa meramalkan matanya berada di luar jangkauan halaman ini.

1. Dua dadu bersisi enam, benih 1: 4 dan 1, totalnya 5

   1. Kumpulannya dua dadu bersisi enam, jadi ada 6 × 6 = 36 pasangan mata yang sama mungkinnya
   2. Benih 1 menetapkan pasangannya sebagai 4 dan 1, dan totalnya 4 + 1 = 5
   3. Total 5 bisa muncul sebagai 1+4, 2+3, 3+2, dan 4+1 — empat cara dari 36
   4. 4 / 36 = 0,1111…, jadi peluangnya 11,11%

   Angka 11,11% itulah alasan lemparannya diletakkan bersebelahan dengan peluangnya: total 5 terlihat biasa saja, dan memang total terbesar ketiga yang paling mungkin, tetapi tetap hanya muncul sekitar satu kali dari sembilan lemparan. Total 2 dan 12 paling jarang, masing-masing 2,78%, karena hanya ada satu cara untuk membuat masing-masingnya, sedangkan 7 punya enam cara dan 16,67%. Pada satu dadu struktur ini tidak ada sama sekali — setiap mata berpeluang 1/sisi — dan itulah sebabnya jumlah dadu menjadi hal pertama yang perlu dilihat ketika peluangnya terasa mengejutkan.

2. Tiga dadu bersisi enam, benih 5: 5, 5, dan 2, totalnya 12

   1. Tiga dadu bersisi enam memberi 6 × 6 × 6 = 216 hasil yang sama mungkinnya
   2. Benih 5 memberi mata 5, 5, dan 2, yang berjumlah 12
   3. Kumpulan ini bisa menghasilkan 3 × 6 − 3 + 1 = 16 total berbeda, dari 3 sampai 18
   4. Total 12 punya 25 cara dari 216, jadi peluangnya 11,57%

   Tiga dadu membuat bagian tengah rentangnya jauh lebih padat daripada dua dadu: 10 dan 11 adalah total yang paling mungkin, masing-masing 12,5%, dan 12 berada dekat di bawahnya pada 11,57%. Total 12 yang sama adalah perkara yang sangat berbeda pada dua dadu, di mana ia justru hasil paling jarang dari semuanya pada 2,78% — jadi peluang yang dikutip untuk sebuah total tidak berarti apa-apa bila jumlah dadunya tidak disebutkan bersamanya. Ke-16 total yang mungkin itu juga menunjukkan mengapa pencacahannya bukan sekadar banyaknya mata: dengan tiga dadu totalnya bergerak dari 3 sampai 18 dan ada 16 buah, bukan 18 dan bukan 6.

3. Satu dadu bersisi dua puluh, benih 7

   1. Satu dadu tidak punya mata untuk digabungkan, jadi setiap mata sama mungkinnya
   2. Benih 7 memberi mata 1
   3. Satu mata dari 20 adalah 1 / 20 = 5%

   Inilah kasus ketika sebarannya datar: tidak ada yang menumpuk di tengah karena dadunya hanya satu, sehingga angka 1 dan angka 20 sama mungkinnya dengan mata mana pun. Ini cara paling jelas untuk melihat apa yang sebenarnya dilakukan dadu tambahan — pada 2d6 total ekstremnya jarang, pada 1d20 tidak ada yang jarang, dan mekanismenya sepenuhnya terletak pada banyaknya cara setiap total bisa dibuat. Generator angka acak di halaman sebelah menunjukkan hal yang sama dari arah sebaliknya: satu penarikan yang seragam bukanlah hal yang sama dengan jumlah dari beberapa penarikan.

4. Benih pada batas atasnya

   1. Benih acak bisa naik sampai 4.294.967.295, yaitu 2³² − 1 — nilai terbesar yang bisa disimpan keadaan generatornya
   2. Dua dadunya sama seperti contoh pertama, tetapi benihnya berbeda, jadi lemparannya berbeda
   3. 6 dan 2 berjumlah 8, dan total 8 punya lima cara dari 36
   4. 5 / 36 = 13,89%

   Benih 4.294.967.295 layak dicoba karena itulah satu-satunya nilai benih ketika implementasi keadaan generator yang ceroboh rusak dengan cara yang sulit terlihat: keadaannya disimpan sebagai bilangan bulat tak bertanda 32 bit, dan nilai terbesar itu justru titik ketika kesalahan satu langkah pada tahap tersebut berhenti tidak terlihat. Hasil yang tampak di sini adalah lemparan biasa berisi 6 dan 2 — panelnya memang tidak dimaksudkan terlihat berbeda — dan itulah tepatnya sebabnya batas ini menjadi bahan uji dan bukan fitur yang dihadapkan ke pengguna.

Mata dadunya tidak tak terduga. Angkanya berasal dari deret berbenih yang kecil seperti yang dipakai perangkat lunak biasa, sehingga siapa pun yang tahu benihnya bisa mereproduksi lemparannya, dan siapa pun yang melihat beberapa lemparan bisa menebak benihnya. Itu mencoret halaman ini untuk segala hal di mana pemain tidak boleh bisa meramalkan atau merekonstruksi lemparannya — undian yang mempertaruhkan uang, kunci, token, kode sekali pakai — dan untuk keperluan itu sumber acak kriptografis adalah satu-satunya jawaban yang benar. Lemparan berbenih ditujukan untuk mengulang, membangkitkan, dan menguji, yaitu ketika bisa direproduksi justru menjadi gunanya. Ada dua batas lain yang perlu dinyatakan terus terang. Tabel rujukan di bawah kalkulator menggambarkan dua dadu bersisi enam dan tidak mengikuti dadu yang Anda ketik: tabel itu rujukan yang nilainya tetap, sedangkan peluang pada panel hasil itulah yang cocok dengan kumpulan dadu Anda. Dan peluang sebuah total mengasumsikan dadunya seimbang — dadu fisik yang condong tidak akan cocok dengan angka-angka ini, berapa pun jumlah dadunya.

Mengapa tabel di bawah kalkulator tidak cocok dengan dadu yang saya masukkan?

Karena tabel rujukan itu terpaku pada dua dadu bersisi enam. Tabelnya dihitung dari sebuah konstanta dan bukan dari masukan, jadi nilainya tetap sementara Anda mengganti kumpulan dadunya — peluang yang ditampilkan pada panel hasil itulah yang mengikuti dadu Anda, dan itulah angka yang harus dibaca ketika keduanya berbeda. Tabelnya ada karena 2d6 adalah sebaran yang sebenarnya dimaksud orang ketika bertanya soal peluang dadu: 7 di tengah, 2 dan 12 di tepinya. Bila Anda butuh peluang untuk kumpulan dadu yang lain, panelnya memberi peluang total yang Anda lempar, dan Anda bisa menjalankan ulang benih yang sama untuk memeriksa total lain yang Anda pedulikan.

Apa fungsi benih acak, dan mengapa lemparannya selalu sama?

Benih acak adalah keadaan tempat lemparannya dimulai, sehingga benih yang sama dengan kumpulan dadu yang sama selalu memberi mata yang sama. Itu fiturnya, bukan jalan pintas: lemparan berbenih adalah cara sebuah sesi diulang persis, cara sebuah level yang dibangkitkan tetap sama antar penjalanan, dan cara sebuah aturan diuji terhadap lemparan yang tetap. Ubah benihnya dan Anda mendapat lemparan lain dari kumpulan dadu yang sama. Bila Anda ingin setiap lemparan berbeda, ubah benihnya di antara lemparan — tidak ada apa pun di panel yang diam-diam memajukannya untuk Anda.

Apakah lemparan ini layak dipakai pada permainan yang hasilnya tidak boleh ada yang meramalkan?

Tidak, dan bedanya penting. Mata dadunya berasal dari deret deterministik yang kecil, sehingga dari benihnya seluruh lemparan bisa direproduksi, dan dari beberapa lemparan benihnya bisa ditemukan kembali. Segala hal di mana peserta tidak boleh bisa meramalkan atau merekonstruksi lemparannya butuh sumber acak kriptografis. Mengulang permainan meja, membangkitkan level, menguji aturan, dan mengambil sampel yang bisa direproduksi semuanya aman — justru itu kasus-kasus ketika bisa mereproduksi lemparannya menjadi alasan memakainya.

Mengapa total 7 paling mungkin pada dua dadu, tetapi tidak pada tiga dadu?

Karena yang menumpuk di tengah adalah banyaknya cara sebuah total bisa dibuat, dan itu bergantung pada kumpulan dadunya. Pada dua dadu bersisi enam ada 36 pasangan dan 7 menempati enam di antaranya (1+6 sampai 6+1), lebih banyak daripada total mana pun yang lain. Pada tiga dadu total yang paling mungkin adalah 10 dan 11 dengan peluang masing-masing 12,5%, dan 7 merosot jauh ke bawah daftar. Total yang sama karenanya berarti hal berbeda untuk kumpulan dadu yang berbeda, dan itulah sebabnya panelnya selalu melaporkan totalnya bersama peluang untuk kumpulan dadu yang benar-benar Anda tetapkan.

Berapa banyak total yang bisa dihasilkan sebuah kumpulan dadu?

Dari total terkecil yang mungkin, yaitu semuanya satu, sampai yang terbesar, yaitu setiap dadu menunjukkan mata tertingginya: dengan jumlah dadu dan sisi per dadu, itu berarti jumlah × sisi − jumlah + 1 total yang berbeda. Untuk 2d6 hasilnya 11 total yang bergerak dari 2 sampai 12; untuk 3d6 hasilnya 16 yang bergerak dari 3 sampai 18; untuk 20d100 hasilnya 1.981. Pencacahannya bukan banyaknya mata, dan kedua ujung rentangnya selalu menjadi total yang paling jarang, karena masing-masingnya hanya bisa dibuat dengan satu cara.

Peluang pada panel itu untuk totalnya atau untuk mata yang persis?

Untuk totalnya. Dua dadu yang menunjukkan 4 dan 1 serta dua dadu yang menunjukkan 1 dan 4 sama-sama bertotal 5, dan peluang yang dilaporkan adalah peluang total tersebut, dengan menghitung setiap kombinasi yang berjumlah demikian — empat cara dari 36 untuk total 5. Lemparan berurutan yang persis merupakan peluang yang berbeda dan jauh lebih kecil (1/36 untuk pasangan tertentu mana pun), dan itulah yang justru tidak dilaporkan panelnya, karena totalnya adalah angka yang menentukan apakah sebuah lemparan melewati target.

• Dice — from Wolfram MathWorld (the generating-function form of the sum of dice, and the coefficient that counts the ways each total can be made) — Wolfram MathWorld
• Uniform Sum Distribution — from Wolfram MathWorld (the distribution of a sum of uniform draws, which is what the total of several dice is) — Wolfram MathWorld
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the frequency distribution of a variable, and how a probability is read off the outcomes it counts) — National Institute of Standards and Technology (NIST)