Kalkulator Konvolusi

(a * b)[k] = Σᵢ a[i] × b[k − i] panjang = m + n − 1

a, b

Kedua barisan itu, diketik sebagai angka-angka yang dipisahkan titik koma. Urutannya tidak berpengaruh — konvolusi bersifat komutatif, jadi menukar kedua kotaknya mengembalikan hasil yang identik. Keduanya tidak harus sama panjang, dan masing-masing boleh memuat desimal atau nilai negatif. Setiap kotak menerima paling banyak 200 entri

k

Indeks entri yang sedang dihasilkan, berjalan dari 0 sampai panjang hasilnya dikurangi satu. Ia tidak dicetak di sebelah setiap nilai, karena baris yang dipisahkan koma sudah punya urutan: angka pertama adalah k = 0, angka kedua k = 1. Tabel rujukan di bawah menuliskan indeksnya satu per satu untuk pasangan bawaan, satu baris masing-masing, dan di sanalah tempat mencarinya kalau yang sedang Anda periksa adalah posisinya

a[i] × b[k − i]

Satu hasil kali di dalam penjumlahannya. Untuk setiap k, indeks i berjalan melewati setiap posisi tempat kedua barisan punya entri, sehingga banyaknya hasil kali yang dijumlahkan naik dari satu di kedua ujung menjadi sepanjang barisan yang lebih pendek di bagian tengah. Pola tumpang tindihnya itulah gagasan seluruhnya: satu barisan bergeser melewati barisan yang lain, dan hasil kalinya dikumpulkan kolom demi kolom

Σᵢ

Penjumlahan atas hasil kali tersebut, yaitu satu entri hasilnya. Setiap entri dibulatkan ke enam angka desimal, dan total yang dilaporkan di sebelah barisannya adalah jumlah dari entri yang sudah dibulatkan itu, bukan dari entri yang belum — sehingga menjumlahkan angka yang tercetak di panel memberi tepat total yang tercetak

m + n − 1

Panjang hasilnya, yang dilaporkan sebagai bacaan tersendiri. Dua barisan bertiga suku memberi lima entri; satu angka yang dikonvolusikan dengan barisan bertiga suku memberi tiga. Entri tambahan di luar barisan yang lebih panjang itulah yang membuat ini konvolusi penuh dan bukan jenis yang hanya menyimpan bagian tempat kedua barisan bertumpang tindih sepenuhnya

Pakai halaman ini ketika dua barisan harus digabungkan menjadi sebuah sebaran: banyaknya cara dua dadu bisa berjumlah setiap total, pengaruh jendela rata-rata bergerak pada suatu deret, atau koefisien hasil kali dua polinomial. Ketika pertanyaannya tentang satu barisan saja — suku-sukunya, jumlahnya, polanya — kalkulator barisan yang menanganinya, dan ketika jendela rata-rata bergerak itulah yang sedang Anda pilih, kalkulator rata-rata adalah halaman yang menyebutkannya.

1. Satu, dua, tiga melawan empat, lima, enam

   1. k = 0: hanya entri pertamanya yang bertumpang tindih, jadi 1 × 4 = 4
   2. k = 1: 1 × 5 + 2 × 4 = 5 + 8 = 13
   3. k = 2: 1 × 6 + 2 × 5 + 3 × 4 = 6 + 10 + 12 = 28
   4. k = 3: 2 × 6 + 3 × 5 = 12 + 15 = 27
   5. k = 4: hanya entri terakhirnya yang bertumpang tindih, 3 × 6 = 18
   6. Hasilnya 4, 13, 28, 27, 18 dan totalnya 90, yang juga 6 × 15

   Baris terakhir itulah pemeriksaan yang membuat halaman ini mudah dipercaya: jumlah sebuah konvolusi selalu sama dengan hasil kali kedua jumlah barisannya, di sini 1 + 2 + 3 = 6 melawan 4 + 5 + 6 = 15. Hal itu jatuh dari aljabarnya sendiri, karena setiap hasil kali di dalam hasilnya adalah hasil kali satu entri dari masing-masing barisan, dan setiap pasangan semacam itu muncul tepat sekali.

2. Dua dadu dan bentuk totalnya

   1. Sebuah dadu punya satu cara untuk menampakkan masing-masing dari keenam sisinya, jadi setiap barisannya adalah enam angka satu
   2. Mengonvolusikannya menghitung pasangan yang berjumlah setiap total: k = 0 memberi 1 × 1 = 1 cara melempar jumlah 2
   3. k = 1 memberi 1 + 1 = 2 cara melempar jumlah 3, dan hitungannya terus naik
   4. Puncaknya 6, di entri tengah, yaitu jumlah 7
   5. Hasilnya 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, dan totalnya 36

   Inilah ilustrasi baku teorema limit pusat dalam ukuran kecil: dua sebaran datar yang dikonvolusikan memberi sebaran segitiga, dan mengonvolusikan dadu ketiga akan membulatkannya lebih jauh ke arah lonceng. Total 36 juga menjadi pemeriksaannya — hasil kali kedua jumlahnya adalah 6 × 6, yaitu setiap pasangan terurut sisi, satu hasil untuk masing-masing.

3. Satu angka menskalakan seluruh barisannya

   1. Barisan berelemen satu tidak punya apa pun untuk bertumpang tindih, jadi setiap entri hasilnya adalah entri itu dikali satu entri barisan yang lain
   2. k = 0: 2 × 1 = 2
   3. k = 1: 2 × 2 = 4
   4. k = 2: 2 × 3 = 6
   5. Hasilnya 2, 4, 6 dan totalnya 12, yaitu 2 × 6

   Kasus merosot ini layak dijalankan sekali, karena ia menunjukkan bahwa gambaran pergeserannya punya ujung: dengan satu barisan sepanjang satu, tidak pernah ada lebih dari satu hasil kali untuk dijumlahkan, dan konvolusinya menyusut menjadi perkalian biasa. Itulah juga sebabnya rumus panjang m + n − 1 memberi 1 + 3 − 1 = 3 dan bukan angka yang lebih besar.

Halaman ini menghitung konvolusi penuh, dan hanya konvolusi penuh. Dua varian yang hanya menyimpan sebagian hasilnya tidak disediakan: yang mengembalikan barisan sepanjang masukan terpanjang, dan yang hanya mengembalikan posisi tempat kedua barisan bertumpang tindih sepenuhnya. Keduanya tidak terdefinisi dengan baik untuk dua barisan yang panjangnya genap, dan hasil penuh itulah yang memuat keduanya — varian yang lebih pendek adalah potongan darinya, bukan perhitungan yang berbeda. Setiap barisan boleh memuat paling banyak 200 entri, dan setiap nilainya dibatasi pada besaran 1.000.000. Batas itu batas tampilan: konvolusi mengalikan lalu menjumlahkan, jadi entri yang besar melampaui rentang yang terbaca jauh sebelum melampaui kapasitas bilangan presisi ganda. Setiap entri hasilnya dibulatkan ke enam angka desimal, dan total yang dilaporkan adalah jumlah entri yang sudah dibulatkan itu, sehingga menjumlahkan angka yang tercetak dengan tangan menghasilkan total yang tercetak juga, bukan angka yang sedikit berbeda. Hasilnya berupa baris angka yang dipisahkan koma dan tidak dilokalkan, jadi tanda desimalnya tetap titik di bahasa mana pun halaman ini dibaca. Pada kedua kotak masukannya berlaku kebalikannya: tandanya adalah koma, sedangkan antarangka dipisahkan titik koma — jadi 1,5; 2,25 adalah dua angka, dan 1.500 ditolak karena bentuknya ambigu antara desimal dan pemisah ribuan. Posisinya mengandung indeksnya dan tidak diberi label satu per satu; tabel rujukan memberikan indeksnya secara tersurat untuk pasangan bawaannya.

Bagaimana cara mengonvolusikan dua barisan dengan tangan?

Geser satu barisan melewati barisan yang lain lalu jumlahkan hasil kalinya di setiap posisi. Dengan 1; 2; 3 dan 4; 5; 6, entri pertamanya 1 × 4 = 4, entri keduanya 1 × 5 + 2 × 4 = 13, dan seterusnya sampai 3 × 6 = 18 di ujung yang jauh. Hasilnya punya lima entri, karena dua barisan bertiga suku berkonvolusi menjadi panjang 3 + 3 − 1.

Bagaimana cara memeriksa bahwa konvolusinya benar?

Jumlahkan hasilnya lalu bandingkan dengan hasil kali kedua jumlah barisannya. Untuk 1; 2; 3 melawan 4; 5; 6 itu 90 melawan 6 × 15, dan keduanya harus cocok. Alasannya, setiap entri hasilnya adalah jumlah hasil kali berpasangan, dan setiap pasangan yang mungkin dari kedua barisan muncul tepat di salah satu penjumlahan itu.

Mengapa hasilnya punya lebih banyak entri daripada kedua barisannya?

Karena konvolusi penuh menyimpan posisi tempat kedua barisan hanya bertumpang tindih sebagian. Dengan 1; 2; 3 melawan 4; 5; 6 ada lima posisi semacam itu: satu di masing-masing ujung tempat sepasang entri bertemu, dan tiga di tengah tempat beberapa entri bertemu. Dua varian operasi yang lebih pendek — yang sepanjang masukan terpanjang, dan yang hanya menyimpan tumpang tindih lengkap — keduanya potongan dari hasil ini.

Apa hubungan mengonvolusikan dua dadu dengan peluang?

Konvolusi itu menghitung hasilnya. Sebuah dadu adalah barisan berisi enam angka satu, satu untuk tiap sisinya, dan mengonvolusikan barisan itu dengan dirinya sendiri menghitung pasangan terurut yang berjumlah setiap total: satu cara membuat 2, dua cara membuat 3, naik sampai enam cara membuat 7 lalu menurun lagi. Total hasilnya, 36, adalah banyaknya pasangan terurut, dan itulah sebabnya membagi setiap entri dengan angka itu memberi peluangnya.

Apakah rata-rata bergerak itu sebuah konvolusi?

Ya. Rata-rata bergerak mengambil jendela berbobot sama — misalnya lima hari dengan bobot seperlima masing-masing — lalu menggesernya sepanjang deretnya, dan itulah tepatnya konvolusi dengan jendela itu sebagai salah satu dari kedua barisannya. Itulah sebabnya operasi ini muncul pada pemulusan, pada filter, dan pada pengolahan citra: yang digeser adalah sekumpulan bobot, dan yang dihaluskan adalah deretnya.

• Convolution — the definition, the sum over overlapping products, and the length of the result — Wolfram MathWorld (United States)
• Cauchy Product — the same rule applied to the coefficients of two power series, which is what convolving two polynomial coefficient lists computes — Wolfram MathWorld (United States)
• Convolution Theorem — why the transform of a convolution is the product of the transforms, and where the operation is met in signal processing — Wolfram MathWorld (United States)