Generator Lempar Koin

gambar = berapa banyak H yang muncul dalam urutan · angka = lemparan − gambar · runtutan terpanjang = blok hasil identik yang paling panjang · peluang pembagian = C(n, gambar) / 2ⁿ

lemparan

Berapa kali koin dilempar. Urutannya memuat satu huruf H atau T untuk setiap lemparan, dan setiap keluaran lain dihitung atas jumlah lemparan yang sama persis

benih acak

Urutan mana yang ditarik dari generator. Benih acak yang sama selalu menghasilkan jumlah gambar dan jumlah angka yang sama, sehingga satu penjalanan bisa diulang persis; nilainya tidak membuat salah satu sisi lebih mungkin muncul

H

Gambar, salah satu dari dua sisi yang sama mungkinnya. Urutannya mencetak H dan T alih-alih kata, karena huruf-huruf itu adalah notasi yang dipakai seluruh halaman ini dan tidak berubah di bahasa mana pun

T

Angka, sisi yang satunya lagi. Koin yang seimbang tidak punya ingatan, jadi runtutan satu sisi adalah kebetulan urutannya dan bukan tanda koinnya condong ke mana-mana

peluang pembagian

Peluang koin seimbang mendarat tepat sebanyak ini gambar dalam sebanyak ini lemparan — peluang pembagian khusus ini, yang merupakan pertanyaan berbeda dari proporsi yang benar-benar muncul

Pakai ketika Anda ingin melihat runtutan lemparan koin tanpa koin, atau ketika urutan gambar dan angka perlu dihitung alih-alih diperkirakan dengan mata. Runtutan terpanjang adalah bagian yang tidak bisa dibaca dari urutannya secara sekilas, dan sekaligus bagian yang paling sering salah dinilai: runtutan tujuh dalam dua ratus lemparan itu biasa saja, bukan bukti koinnya condong. Peluang pembagian menjawab pertanyaan pendampingnya — bukan berapa proporsi gambar kali ini, melainkan seberapa besar peluang koin seimbang menghasilkan pembagian seperti itu. Halaman ini tidak menguji apakah sebuah koin seimbang; halaman ini mengasumsikan koinnya seimbang dan menunjukkan seperti apa keseimbangan itu tampak.

1. Sepuluh lemparan: tujuh gambar, tiga angka, runtutan terpanjang tiga

   1. Tarik sepuluh hasil dari generator: H, T, H, H, H, T, H, H, T, H
   2. Huruf H mewakili gambar, T mewakili angka. Ada 7 gambar, jadi angkanya 10 − 7 = 3
   3. Proporsinya 7 / 10 = 70%
   4. Telusuri urutannya sekali untuk mencari blok satu sisi yang terpanjang: HHH pada posisi 3 sampai 5, lalu HH pada posisi 7 sampai 8 — terpanjangnya 3
   5. Peluang tepat 7 gambar dari 10 lemparan seimbang adalah C(10,7) / 2¹⁰ = 120 / 1.024 = 11,72%

   Baca dua angka terakhir berdampingan, karena pasangan itulah yang paling sering disalahpahami di halaman ini. Angka 70% adalah apa yang terjadi kali ini; angka 11,72% adalah seberapa sering koin seimbang menghasilkan pembagian 7 banding 3 sama sekali. Keduanya tidak saling bertentangan, dan 70% bukan pengulangan 11,72% — yang pertama menggambarkan penjalanan ini, yang kedua menggambarkan seluruh keluarga penjalanan sepuluh lemparan yang memuat tujuh gambar.

2. Sepuluh lemparan yang sama dengan benih berbeda: lima dan lima

   1. Benih 7 menarik urutan yang berbeda: T, T, H, H, H, T, T, T, H, H
   2. Lima gambar dan lima angka, jadi proporsinya 50%
   3. Blok terpanjangnya tetap 3 — TTT pada posisi 6 sampai 8, dan HHH pada posisi 3 sampai 5
   4. Pembagian 5 banding 5 berpeluang C(10,5) / 2¹⁰ = 252 / 1.024 = 24,61%

   Kedua penjalanan kebetulan mendarat pada blok terpanjang 3, dan itu hasil yang biasa pada sepuluh lemparan, bukan kebetulan yang perlu ditafsirkan. Yang bergerak adalah peluang pembagiannya: 5 banding 5 lebih dari dua kali lebih mungkin daripada 7 banding 3, karena ada jauh lebih banyak cara menata lima gambar di antara sepuluh posisi daripada tujuh gambar. Inilah juga sebabnya benih menjadi kolom isian dan bukan rincian tersembunyi — membuka halaman yang sama dua kali tidak boleh diam-diam memberi jawaban berbeda, dan penjalanan yang layak dibicarakan perlu bisa diulang.

3. Satu lemparan, batas bawah

   1. Tarik satu hasil saja: H, yaitu gambar
   2. Satu gambar, tanpa angka, jadi proporsinya 1 / 1 = 100%
   3. Blok hasil identik terpanjangnya adalah lemparan tunggal itu sendiri, jadi 1
   4. Peluang satu gambar dari satu lemparan seimbang adalah C(1,1) / 2¹ = 1/2, atau 50%

   Satu lemparan adalah masukan terkecil yang diterima halaman ini, dan contoh ini menunjukkan mengapa proporsi dan peluang harus menjadi baris yang terpisah. Satu lemparan hanya mendarat pada satu sisi, sehingga proporsinya 100% — angka yang tidak mengatakan apa pun tentang koinnya. Peluang pembagiannya 50%, dan itulah angka yang mengatakan sesuatu. Pada satu lemparan kedua baris itu terlihat hampir bertentangan; pada dua ratus lemparan keduanya bertemu, dan jarak di antara keduanya pada jumlah yang kecil itulah seluruh pokok bahasan pengambilan sampel.

4. Dua ratus lemparan dan runtutan sembilan

   1. Tarik dua ratus hasil dari generator — baris urutan memuat semuanya
   2. Hitung gambarnya: 95, jadi angkanya 200 − 95 = 105
   3. Proporsinya 95 / 200 = 47,5%, yaitu 2,5 poin dari seimbang
   4. Blok satu sisi terpanjangnya adalah 9 — sembilan hasil identik berturut-turut
   5. Peluang tepat 95 gambar dari 200 lemparan seimbang sekitar 4,39%

   Runtutan sembilan itulah angka yang perlu direnungkan. Orang membaca runtutan sembilan sebagai bukti ada yang salah dengan koinnya, padahal dalam dua ratus lemparan seimbang itu tidak istimewa — blok terpanjang tumbuh mengikuti panjang urutannya, lambat tetapi tanpa batas. Perhatikan juga ke arah mana kedua baris itu menarik: proporsinya nyaman di 47,5%, cukup dekat dengan seimbang sehingga terlihat wajar, sementara peluang pembagiannya hanya 4,39%, karena mendarat tepat di 95 adalah satu hasil tertentu di antara banyak hasil lain yang semuanya tampak serupa.

Lemparannya bukan lemparan fisik. Setiap hasil ditarik dari generator berbenih, jadi yang ditampilkan halaman ini adalah urutan yang berperilaku seperti koin seimbang, bukan catatan koin sungguhan — dan benih yang sama menarik urutan yang sama setiap kali, itulah gunanya kolom benih dan sekaligus batasnya. Ada tiga batas lain yang perlu dinyatakan. Pertama, halaman ini tidak pernah menguji apakah sebuah koin seimbang; halaman ini mengasumsikan peluang satu per dua pada setiap lemparan lalu melaporkan akibatnya, sehingga koin yang sungguh condong pun akan menghasilkan urutan yang tetap digambarkan seolah-olah seimbang. Kedua, dua ratus lemparan adalah batas atasnya, diwarisi dari batas penarikan inti acak bersama dan bukan dipilih khusus untuk halaman ini, dan pada dua ratus lemparan baris urutannya cukup panjang untuk membungkus beberapa baris. Ketiga, halaman ini menampilkan hasil tetapi tidak menilainya — runtutan terpanjang sembilan, atau porsi gambar 70%, dicetak tanpa komentar apakah itu mengejutkan, dan membaca peluang pembagian di sebelahnya adalah cara penilaian itu dimaksudkan dilakukan.

Mengapa benih yang sama selalu memberi urutan yang sama?

Karena lemparannya berasal dari generator berbenih, bukan dari koin sungguhan, dan benih acak itulah yang menentukan urutan mana dari aliran generator tersebut yang ditarik. Masukkan benih 1 dua kali dan Anda mendapat gambar serta angka yang sama; ubah menjadi 7 dan Anda mendapat penjalanan lain dengan panjang yang sama. Itu memang disengaja: halaman yang menarik ulang jawabannya setiap kali dibuka tidak bisa diperiksa, hasilnya tidak bisa dikutip, dan pengujian otomatis di balik halaman ini tidak akan punya pembanding. Karena itu pula benih adalah satu-satunya masukan di sini yang bukan besaran — nilainya memilih urutan, bukan memberatkan salah satu sisi, jadi tidak ada benih yang membuat gambar lebih mungkin muncul.

Apa bedanya proporsi gambar dengan peluang pembagian?

Proporsi menggambarkan penjalanan yang ada di depan Anda; peluang pembagian menggambarkan seluruh penjalanan dengan panjang ini yang mendarat pada pembagian tersebut. Sepuluh lemparan yang menghasilkan tujuh gambar memberi proporsi 70%, sedangkan peluang koin seimbang menghasilkan tepat tujuh gambar dari sepuluh lemparan adalah 11,72%. Keduanya bukan dua cara mengatakan hal yang sama, dan bisa bergerak ke arah berlawanan: pada 200 lemparan proporsinya bisa duduk nyaman di dekat 50% sementara peluang pembagiannya di bawah 5%, karena mendarat pada satu jumlah yang persis adalah sasaran yang sempit meskipun sekitarnya ramai. Baca proporsinya sebagai hasil dan peluang pembagiannya sebagai anggaran kejutan.

Apakah runtutan sembilan gambar berturut-turut tanda koinnya tidak seimbang?

Bukan, dan pada 200 lemparan itu bahkan tidak istimewa. Blok hasil identik terpanjang tumbuh mengikuti panjang urutannya — lambat, tetapi tanpa batas — jadi runtutan panjang adalah hal yang memang akhirnya dihasilkan koin seimbang. Yang tidak dilakukan koin seimbang adalah mengingat: setelah delapan gambar, lemparan kesembilan tetap satu per dua, dan justru itulah sebabnya runtutan sepanjang ini muncul pada urutan sepanjang ini. Membaca runtutan sebagai bukti kecenderungan berarti membaca bagian urutan yang tumbuh mengikuti panjangnya seolah-olah nilainya tetap, dan baris runtutan terpanjang dicetak justru supaya dugaan itu bisa diperiksa alih-alih dipercaya begitu saja.

Mengapa saya tidak bisa melempar lebih dari 200 kali?

Karena 200 adalah batas penarikan inti acak bersama yang dipakai halaman ini, generator lemparan dadu, dan generator angka acak — batas itu diwarisi, bukan ditetapkan di sini, dan menyamakannya berarti satu benih berarti hal yang sama di ketiga halaman. Akibatnya terlihat: pada 200 lemparan baris urutannya cukup panjang untuk membungkus beberapa baris, dan itu akibat langsung dari batas tersebut, bukan cacat penampilan. Bila Anda butuh urutan yang lebih panjang, jawaban jujurnya adalah halaman ini bukan alat yang tepat — yang Anda butuhkan adalah program, bukan urutan tercetak yang harus Anda hitung sendiri dengan mata.

Mengapa tidak ada tabel hasil di bawah kalkulatornya?

Karena tabel yang layak ada di sini adalah urutan Anda sendiri, sedangkan kode yang menyusun tabel rujukan tidak bisa melihat apa yang Anda ketik — kode itu berjalan saat halaman dibangun, hanya dari struktur kalkulatornya, tanpa akses ke masukan. Tabel peluang dan probabilitas yang generik akan duduk di bawah panel seolah menjawab pertanyaan Anda padahal menjawab pertanyaan lain. Jadi halaman ini mencetak urutannya sendiri, pada baris terakhir panel, dan menyerahkan tabel rujukan kepada halaman-halaman yang pokok bahasannya memang sekumpulan angka tetap, bukan satu penjalanan.

Apa arti huruf H dan T, dan mengapa bukan kata biasa?

H berarti gambar dan T berarti angka, dicetak satu huruf per lemparan dalam urutan penarikannya. Keduanya tetap berupa huruf di setiap bahasa karena urutan ini adalah notasi, bukan teks: penjalanan lemparan yang sama harus terbaca sebagai rangkaian yang sama di bahasa mana pun, dan urutan yang diterjemahkan juga mustahil dibandingkan dengan angka-angka di sebelahnya. Baris itu ada supaya jumlahnya, proporsinya, dan terutama runtutan terpanjangnya bisa diperiksa dengan tangan — runtutan terpanjang khususnya tidak bisa dibaca dari urutan dengan cara lain.

• Coin Tossing — from Wolfram MathWorld (the idealised coin: two sides with equal probability, written H and T) — Wolfram MathWorld
• Run — from Wolfram MathWorld (a run as a sequence of consecutive identical outcomes, and the probability that a run of a given length appears in a given number of tosses) — Wolfram MathWorld
• 3.1 Terminology — Introductory Statistics 2e (the law of large numbers: the relative frequency of heads on a fair coin approaches one half as the number of tosses grows) — OpenStax (Rice University)