Kalkulator Khi-Kuadrat

χ² = Σ ( O − E )² / E df = k − 1 p = P( χ² ≥ χ²₀ )

O

Frekuensi teramati di setiap kategori — sebuah hitungan, bukan hasil pengukuran, jadi angkanya bulat dan jumlahnya adalah ukuran sampel. Hitungan nol diperbolehkan: artinya kategori itu tidak pernah muncul, dan itu sebuah hasil, bukan sebuah kesalahan

E

Frekuensi harapan di setiap kategori, yaitu apa yang diramalkan hipotesis nol dan bukan apa yang Anda ingin lihat. Kalau dibiarkan kosong, nilainya menjadi total dibagi banyaknya kategori, sehingga ujinya berubah menjadi pertanyaan apakah semua kategori sama mungkin

k

Banyaknya kategori, dibaca dari panjang daftar yang Anda isi. Ia menetapkan derajat kebebasan dan sekaligus menjadi angka pembagi ketika frekuensi harapannya dibiarkan kosong, jadi satu daftar hitungan menentukan keduanya

df

Derajat kebebasan, yaitu k − 1 dan bukan k. Pengurangan itulah yang paling sering terlupa: begitu total dan semua hitungan kecuali satu sudah tetap, hitungan terakhirnya ikut tertentu, jadi kategorinya membawa satu informasi lebih sedikit daripada banyaknya

χ²₀

Statistik yang dihitung halaman ini, disisipkan ke distribusi nolnya sendiri untuk memperoleh luas ekornya. Operasinya sama dengan membaca sebuah nilai pada kurva normal, hanya kurva khi-kuadrat yang menggantikan kurva normal — dan itulah sebabnya nilai p memerlukan derajat kebebasan selain statistiknya

Pakai kalkulator ini ketika datanya berupa sekumpulan hitungan yang jatuh ke dalam kategori, dan pertanyaannya adalah apakah hitungan itu konsisten dengan suatu ramalan. Bentuk data yang berupa hitungan itulah yang membedakannya dari uji rata-rata maupun uji proporsi: pengamatannya tidak diukur pada sebuah skala, dan yang penting adalah berapa banyak yang masuk ke setiap keranjang, bukan seberapa besar nilainya. Ramalannya bisa berupa pembagian rata, atau sekumpulan frekuensi harapan yang disusun dari data sebelumnya — angka nasional yang diterapkan pada populasi lokal, nisbah Mendel, atau keluaran sebuah model. Ujinya hanya sebaik ramalan tersebut: ia membandingkan apa yang Anda hitung dengan apa yang Anda nyatakan, dan tidak akan menyadari kalau ramalannya sendiri yang keliru. Dua syarat layak diperiksa sebelum mempercayai nilai p-nya, dan yang pertama sudah dicetak halaman ini untuk Anda, karena frekuensi harapan terkecil adalah angka yang dibicarakan oleh aturan praktis yang lazim.

1. Empat kategori dengan hitungan tidak rata, kolom frekuensi harapan dibiarkan kosong

   1. Totalnya 100, dan karena frekuensi harapannya kosong, setiap dari 4 kategori diharapkan berisi 100 / 4 = 25
   2. Selisih dikuadratkan terhadap 25: (30 − 25)² = 25, (10 − 25)² = 225, (20 − 25)² = 25, (40 − 25)² = 225
   3. Bagi masing-masing dengan harapan 25 lalu jumlahkan: 1 + 9 + 1 + 9 = 20
   4. Derajat kebebasan: k − 1 = 3, dan luas ekor atas di luar 20 adalah 0,017%

   Ini nilai bawaan halaman, dan dipilih supaya ketidakrataannya terlihat jelas: 40 dan 10 terhadap harapan 25 untuk masing-masing kategori. Nilai p-nya keluar 0,017%, jadi hitungannya jauh dari yang akan dihasilkan pembagian rata, dan frekuensi harapan terkecil sebesar 25 masih jauh di atas ambang mana pun yang lazim dipakai — sehingga hampiran di balik nilai p itu berdiri di tanah yang kokoh di sini. Perhatikan bahwa frekuensi harapannya tidak perlu diketik sama sekali. Membiarkan kolom itu kosong adalah cara menyatakan pembagian rata, dan itulah alasan kolom tersebut bersifat opsional.

2. Tiga kategori dengan frekuensi harapan dari survei sebelumnya

   1. Kedua daftar berjumlah 100, jadi ramalannya konsisten dengan hitungannya dan ujinya bisa dilanjutkan
   2. Selisih dikuadratkan: (50 − 60)² = 100, (30 − 30)² = 0, (20 − 10)² = 100
   3. Bagi dengan harapan masing-masing lalu jumlahkan: 100/60 + 0/30 + 100/10 = 1,6667 + 0 + 10 = 11,6667
   4. Derajat kebebasan: 3 − 1 = 2, dan luas ekor atas di luar 11,6667 adalah 0,2928%

   Kedua daftar harus menggambarkan banyaknya pengamatan yang sama, dan di sini keduanya berjumlah 100 — itulah yang membuat daftar kedua menjadi hipotesis tentang daftar pertama, bukan percobaan yang berbeda. Membaca sukunya satu per satu cukup mengajar: kategori tengah cocok persis dengan harapannya dan tidak menyumbang apa pun, sementara kategori ketiga menyumbang sepuluh dari sebelas setengah angka statistiknya meski paling kecil, karena ia meleset 100% dari harapannya. Frekuensi harapan terkecilnya 10, masih di atas taraf yang biasanya disyaratkan.

3. Koin yang dilempar 20 kali, diuji terhadap pembagian rata

   1. Hitungan harapan: 20 lemparan dibagi rata antara dua hasil memberi 10 dan 10
   2. Selisih dikuadratkan: (12 − 10)² = 4 dan (8 − 10)² = 4
   3. Bagi lalu jumlahkan: 4/10 + 4/10 = 0,8
   4. Derajat kebebasan: 2 − 1 = 1, dan luas ekor atas di luar 0,8 adalah 37,1093%

   Dua belas gambar dari 20 lemparan tampak seperti koin yang tidak seimbang sampai peluang ekornya dibaca: 37% koin yang adil menghasilkan pembagian yang setidaknya semiring itu, jadi hasilnya biasa saja. Aritmetikanya sama dengan contoh pertama, hanya dikerjakan pada tabel terkecil yang berguna, dan contoh ini memperlihatkan mengapa statistiknya tidak pernah dibaca sendirian — 0,8 dan 20 bukan angka yang bisa dibandingkan, dan hanya nilai p yang menempatkan keduanya pada satu skala. Kasus dua kategori juga punya jalan pintas yang layak diketahui: statistik khi-kuadratnya sama dengan kuadrat skor z yang dipakai uji dua proporsi.

Nilai p-nya bersandar pada hampiran yang menuntut frekuensi harapan cukup besar, dan frekuensi harapan terkecil yang dicetak adalah angka untuk memeriksanya — buku teks berbeda pendapat soal di mana batasnya, dengan sekurang-kurangnya 5 di setiap kategori dan sekurang-kurangnya 1 di setiap kategori ditambah 5 di sebagian besar kategori sama-sama banyak dipakai. Ketika harapannya terlalu kecil, hampirannya gagal secara diam-diam dan mengembalikan nilai p yang tampak biasa saja. Hitungannya juga diandaikan saling bebas, dan andaian itu runtuh pada pengukuran berpasangan atau berulang serta pada pengambilan sampel berkelompok, dan masing-masingnya membuat statistiknya terlalu besar. Frekuensi harapannya sendiri diterima apa adanya, jadi uji terhadap ramalan yang keliru menjawab pertanyaan yang berbeda dari yang dimaksud. Terakhir, nilai p yang kecil mengatakan bahwa hitungannya tidak konsisten dengan harapannya, bukan mengapa: ia tidak menunjukkan kategori mana yang bertanggung jawab, dan pada kategori yang banyak, selisih yang menggerakkan statistiknya layak diperiksa satu per satu.

Apa sebenarnya yang diberitahu oleh uji khi-kuadrat?

Apakah hitungan yang Anda amati konsisten dengan frekuensi yang Anda harapkan, mengingat banyaknya pengamatan yang ada. Statistiknya membesar seiring total selisih kuadrat antara pengamatan dan harapan, diskalakan oleh seberapa besar tiap harapannya, jadi kesenjangan proporsional yang sama bernilai lebih besar ketika harapannya kecil. Nilai p-nya lalu mengatakan seberapa sering dunia yang adil menghasilkan ketidakcocokan setidaknya sebesar itu. Ujinya adalah uji atas keseluruhan tabel, bukan atas satu kategori, dan keduanya mudah tertukar ketika ada satu kategori yang jelas-jelas menyimpang.

Apa yang terjadi kalau kolom frekuensi harapan saya biarkan kosong?

Halaman ini menganggap semua kategori sama mungkin dan menghitung frekuensi harapannya sebagai total dibagi banyaknya kategori. Itulah pemakaian uji ini yang paling sering — sebuah dadu, sebuah pemutar, empat tombol yang seharusnya mendapat lalu lintas yang sama — dan itu menghemat pengetikan daftar yang isinya toh sama semua. Itu juga satu-satunya pembacaan yang tersedia ketika belum ada data sebelumnya untuk meramalkan pembagiannya. Ketik frekuensi harapannya setiap kali Anda punya ramalan nyata untuk diuji, misalnya sebaran tahun lalu atau nisbah teoretis, karena uji terhadap pembagian rata dan uji terhadap sebuah model tertentu menjawab pertanyaan yang berbeda, dan hanya yang kedua memanfaatkan informasi yang sudah Anda miliki.

Mengapa kedua daftar harus berjumlah sama?

Karena frekuensi harapan pada uji kecocokan diturunkan dari total banyaknya pengamatan, bukan dipilih bebas — daftar itu menggambarkan bagaimana pengamatan yang sama akan tersebar seandainya hipotesisnya benar. Dua daftar dengan total berbeda menggambarkan dua percobaan yang berbeda, dan statistik yang dihitung darinya bukan uji atas apa pun. Ketika setiap frekuensi harapan ditulis sebagai bilangan bulat, tiap angka boleh meleset sampai setengah satuan tanpa mengubah maksudnya, jadi halaman ini memberi toleransi 0,5 per kategori: 20,5; 20,5; dan 20,5 terhadap total 60 diterima, karena itu nilai pembulatan untuk pembagian rata yang tepat, 20 masing-masing.

Bolehkah sebuah kategori berhitungan nol?

Boleh untuk hitungan teramati, tidak boleh untuk frekuensi harapan, dan asimetri itu langsung berasal dari rumusnya. Nol pada pengamatan adalah hasil yang biasa — kategori yang tidak pernah muncul — dan selisih kuadratnya otomatis membesar, dan memang begitulah seharusnya. Nol pada harapan tidak bisa dipakai karena ia adalah pembaginya, dan sukunya akan menjadi tak hingga: ramalan bahwa sebuah kategori tidak mungkin terjadi bukan ramalan yang bisa ditimbang uji ini terhadap sebuah hitungan. Kalau harapan yang sesungguhnya sangat kecil tetapi bukan nol, ujinya menerima, dan frekuensi harapan terkecil yang dicetak di bawah hasil adalah tempat melihat apakah itu menjadi masalah.

Di mana tabel nilai kritis khi-kuadrat?

Tidak ada di halaman ini, dengan alasan yang sama seperti pada halaman nilai p: satu-satunya nilai yang penting sudah dicetak, sebab statistik beserta derajat kebebasannya langsung menentukan luas ekornya. Tabel juga harus dibangun pada satu taraf signifikansi, sehingga pembaca yang bekerja pada taraf 1% akan melihat tabel yang bertentangan dengan panel di atasnya. Alat nilai kritis adalah tempat untuk mencarinya, dan ada satu alasan tambahan mengapa halaman ini bahkan secara prinsip tidak bisa menampilkan tabel: derajat kebebasannya adalah k − 1, dengan k sebanyak kategori yang diketik pembaca, jadi baris tabel yang berlaku baru diketahui setelah hitungannya diisi.

• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (a test statistic as a quantity with its own distribution under the null hypothesis, which is what makes the tail area computable) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 3.1 Terminology — Introductory Statistics 2e (relative frequency as an estimate of a probability, which is the step that turns a category's probability into an expected count of observations) — OpenStax (Rice University)
• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the same reading of a tail area off a cumulative curve that this page performs with the chi-square curve instead) — National Institute of Standards and Technology (NIST)