तापीय प्रसार कैलकुलेटर

ΔL = α · L · ΔT और समदैशिक ठोस के लिए ΔV / V = 3 · α · ΔT

α

रैखिक तापीय प्रसार गुणांक, प्रति डिग्री प्रति दस लाख के हिस्सों में — यह सामग्री का स्थिरांक है, जिसे किसी ज्ञात तापमान-बदलाव में छड़ को बढ़ते हुए देखकर नापा जाता है। यह बोलने में छोटी संख्या है: एल्युमिनियम का 23.1×10⁻⁶ का मतलब है कि एक मीटर एल्युमिनियम हर केल्विन पर 23.1 माइक्रोमीटर बढ़ता है, और इसीलिए रोज़मर्रा की कोई चीज़ फैलती हुई नहीं दिखती। आम सामग्रियों में गुणांक तीस गुना से ज़्यादा का फ़ासला छूते हैं: इन्वार के क़रीब 1.5×10⁻⁶ से — यह मिश्रातु इसी असर से बचने के लिए बनाई गई थी, और पेंडुलम की छड़ों तथा परिशुद्ध यंत्रों में इसीलिए लगी — लेकर PVC और बाक़ी प्लास्टिक के 55×10⁻⁶ और उससे ऊपर तक। सही पंक्ति चुन लेना ही आधा काम है; उसके बाद का गणित बस एक गुणा है।

L

शुरुआती तापमान पर लंबाई, मिलीमीटर में — जो इकाई आप चुनें। यह मूल लंबाई है, अंतिम नहीं, और औसत भी नहीं; यह फ़र्क़ तभी दिखता है जब आप उलटी दिशा में जाकर नापी हुई अंतिम लंबाई से गुणांक निकालने बैठें, और हाथ से किए जाने वाले हिसाबों में ग़लती ठीक वहीं होती है। यहाँ आधार इकाई मिलीमीटर है क्योंकि इसी में जवाब पढ़ने लायक़ रहता है: एक मीटर एल्युमिनियम 40 K गर्म होकर 0.924 मिमी बढ़ता है, और उसे 0.000924 m लिखने से किसी का भला नहीं होता। शून्य एक वैध इनपुट है — जिस छड़ की लंबाई ही नहीं, वह फैलती नहीं — पर ऋणात्मक नहीं, इसीलिए खाने की निचली सीमा शून्य पर बंद है और आगे की जाँच इससे नीचे कुछ भी नहीं लेती।

ΔT

तापमान में बदलाव केल्विन में (या डिग्री सेल्सियस में — दोनों डिग्रियाँ बराबर हैं, और यहाँ तापमान नहीं बदलाव है, इसलिए दोनों सही हैं)। ऋणात्मक मान सामान्य हैं और उनका मतलब ठंडा होना है: 40 K ठंडा होता स्टील सिकुड़ता है, फैलाव ऋणात्मक निकलता है, और गणित को ठीक यही कहना चाहिए। ±500 K की सीमाएँ तरल नाइट्रोजन से भट्टी तक का दायरा ढकती हैं और दसियों डिग्री में काम करने वाले पाठक के लिए खाना खुला छोड़ देती हैं — जहाँ असल के लगभग सारे मामले रहते हैं।

ΔL

लंबाई में बदलाव, मिलीमीटर में, नई लंबाई के बग़ल छपा हुआ, ताकि बदलाव भी एक साथ दिखे और उसे जोड़कर जो बना वह भी। यह संख्या अपने आप में छोटी है और यही जाल है: 0.9 मिमी तब तक मामूली लगता है जब तक छड़ के पास जाने की जगह हो। जकड़ी हुई छड़ चुपचाप नहीं फैल पाती — फैलाव वहाँ प्रतिबल बन जाता है, और चूँकि प्रत्यास्थता गुणांक बड़ा होता है, बल बिल्कुल छोटा नहीं रहता। रेल की पटरियाँ तनाव में जोड़ छोड़कर बिछाई जाती हैं और लंबे पुल के एक सिरे पर फिंगर जोड़ होता है, वजह यही है। यह पेज मुक्त फैलाव की लंबाई देता है; फैलाव रोकने पर पैदा होने वाला प्रतिबल दूसरा हिसाब है, और असली नुक़सान वहीं रहता है।

3 · α · ΔT

आयतन वाला हिस्सा, आयतन के बजाय प्रतिशत में विकृति के रूप में दिखाया गया है, क्योंकि वही इस नाप से मुफ़्त में मिलता है: तीनों दिशाएँ α · ΔT के अनुपात में बढ़ती हैं, तो ठोस घन का आयतन क़रीब 3 · α · ΔT बढ़ता है। तीन के इस गुणक के साथ दो शर्तें जुड़ी हैं। यह उन सामग्रियों के लिए सही है जो सब दिशाओं में एक जैसे फैलते हैं — धातुएँ, काँच, और एकसमान माने गए प्लास्टिक — पर लकड़ी के लिए नहीं, जो रेशे के साथ और उसके आर-पार अलग-अलग फैलती है, न परतदार संयुक्त सामग्री के लिए, न अकेले क्रिस्टल के लिए। और यह छोटी विकृति का सन्निकटन है: सही गुणक (1 + α·ΔT)³ − 1 है, जो इन परिमाणों पर कई दशमलव तक 3αΔT से मेल खाता है, और उतने बड़े तापमान-बदलाव पर नहीं खाता जहाँ बात मायने रखने लगे।

किसी चीज़ के दोनों सिरे जकड़ने से पहले इसका इस्तेमाल कीजिए: पटरी बिछाते समय, एंकरों के बीच पाइप लाइन लटकाते समय, कसे हुए फ़िट का काँच लगाते समय, एल्युमिनियम का हिस्सा स्टील पर बोल्ट करते समय, या पुल के डेक में जोड़ का नाप तय करते समय। रोज़ की उसी शक्ल के लिए भी — गर्म पानी डालने पर खुलता धातु का ढक्कन, या वह जार जो गर्म करने तक नहीं खुलता — जहाँ असल में ढक्कन पहले फैलता है क्योंकि उसका गुणांक बड़ा है या द्रव्यमान कम। यह सिर्फ़ मुक्त, बिना रोकटोक वाले फैलाव का जवाब देता है। अगर हिस्सा दोनों सिरों से जकड़ा है, तो यह पेज बताता है कि वह कितना लंबा होना चाहता था, और उससे कहीं ज़्यादा काम की संख्या — बदले में बनने वाला प्रतिबल — सामग्री के प्रत्यास्थता गुणांक से आती है, यहाँ से नहीं।

1. पहली स्क्रीन: एक मीटर एल्युमिनियम, 40 K गर्म

   1. ΔL = α · L · ΔT = 23.1×10⁻⁶ · 1000 मिमी · 40 K
   2. 23.1×10⁻⁶ · 1000 = 0.0231 मिमी प्रति केल्विन
   3. 0.0231 · 40 = 0.924 मिमी
   4. नई लंबाई: 1000 + 0.924 = 1000.924 मिमी
   5. आयतनिक विकृति: 3 · 23.1×10⁻⁶ · 40 = 0.2772%

   एक मीटर पर एक मिलीमीटर से कुछ कम, उतने तापमान-बदलाव पर जितना कोई धूप वाली दोपहर पैदा कर सकती है — इसीलिए यह पेज है और इसीलिए जवाब तीन दशमलव तक छपता है। विकृति वाली पंक्ति उसी नतीजे को दूसरी तरफ़ से देखती है: आयतन का 0.28% छोटा है, पर शून्य नहीं, और तीनों दिशाओं में जकड़ा हुआ हिस्सा उसे पचा नहीं सकता। ध्यान दीजिए कि पैनल गुणांक भी लौटाकर दिखाता है: वह पंक्ति वही सामग्री है जो आपने चुनी, और वह इसीलिए है ताकि बाक़ी पर भरोसा करने से पहले आप ड्रॉपडाउन जाँच सकें।

2. क्लासिक मामला: 25 मीटर स्टील की पटरी, 60 K की धूप

   1. ΔL = 12×10⁻⁶ · 25000 मिमी · 60 K
   2. 12×10⁻⁶ · 25000 = 0.3 मिमी प्रति केल्विन
   3. 0.3 · 60 = 18 मिमी
   4. नई लंबाई: 25000 + 18 = 25018 मिमी

   एक जोड़ की लंबाई पर अठारह मिलीमीटर, सर्दी की रात से गर्मी की दोपहर तक। यही संख्या तय करती है कि पटरी का जोड़ कितना चौड़ा होगा, और इसीलिए पटरियाँ उन जोड़ों के साथ बिछाई जाती हैं जो उनमें दिखते हैं, न कि एक लगातार वेल्ड की हुई पट्टी की तरह — और इसीलिए आधुनिक लगातार वेल्ड वाली पटरी को तनाव में खींचकर एंकर किया जाता है, ताकि वही 18 मिमी एक जोड़ पर उभरने के बजाय पूरी पटरी में बँटा हुआ क़ाबू में रहने वाला प्रतिबल बन जाए। सवाल यह नहीं है कि स्टील फैलता है या नहीं; वह हमेशा फैलता है।

3. ठंडा होना, और ऋणात्मक जवाब: स्टेनलेस स्टील, 40 K ठंडा

   1. ΔL = 17.3×10⁻⁶ · 500 मिमी · (−40 K)
   2. 17.3×10⁻⁶ · 500 = 0.00865 मिमी प्रति केल्विन
   3. 0.00865 · (−40) = −0.346 मिमी
   4. नई लंबाई: 500 − 0.346 = 499.654 मिमी

   सिर्फ़ तापमान-बदलाव का चिह्न बदला है और कैलकुलेटर सिकुड़न को ऋणात्मक फैलाव तथा छोटी नई लंबाई के रूप में बताता है। यही ईमानदार परंपरा है और हिस्से जोड़ते समय यही रखनी चाहिए: तरल नाइट्रोजन में सिकोड़ी गई स्टेनलेस स्लीव उस शाफ़्ट पर सरक जाती है जिस पर कमरे के तापमान पर नहीं चढ़ती, और उसकी नई लंबाई वही 499.654 मिमी है, न कि 500 मिमी जिस पर वह बनी थी। दोनों पंक्तियाँ इसीलिए छपती हैं — फ़िट के लिए सिकुड़न का नाप चाहिए, और असेंबली ड्रॉइंग के लिए नई लंबाई।

4. तालिका का सिरा: कच्चा लोहा, 100 मीटर, +500 K

   1. ΔL = 10.8×10⁻⁶ · 100000 मिमी · 500 K
   2. 10.8×10⁻⁶ · 100000 = 1.08 मिमी प्रति केल्विन
   3. 1.08 · 500 = 540 मिमी
   4. नई लंबाई: 100000 + 540 = 100540 मिमी
   5. आयतनिक विकृति: 3 · 10.8×10⁻⁶ · 500 = 1.62%

   सौ मीटर पर आधा मीटर, कमरे के तापमान से भट्टी तक के बदलाव पर। कच्चे लोहे का नीचा गुणांक ही वजह है कि यह इंजन ब्लॉक और मशीन बेड की सामग्री रहा — आम धातुओं में यह सबसे कम हिलता है — और यह उदाहरण यह दिखाने के लिए है कि असर किस पैमाने पर नज़रअंदाज़ करने लायक़ नहीं रहता: 540 मिमी कोई टॉलरेंस नहीं, डिज़ाइन की विशेषता है। यह यह भी दिखाता है कि खानों की सीमाएँ इतनी चौड़ी क्यों हैं: पेज को उस पाठक के लिए भी टिकना है जिसके पास सचमुच 100 मीटर पाइप ठंडे से गर्म की ओर जा रहा है, और वह मना करने के बजाय जवाब देना पसंद करता है।

आयतन वाली पंक्ति मान लेती है कि सामग्री हर दिशा में एक जैसे फैलती है, जो धातुओं और काँच के लिए सच है और लकड़ी, अकेले क्रिस्टल तथा परतदार संयुक्त सामग्री के लिए नहीं — उनमें हर अक्ष का अपना गुणांक चाहिए और तीन का गुणक कुछ नहीं कहता। गुणांक ख़ुद 20 °C के आसपास के संदर्भ तापमान पर उद्धृत हैं, और α तापमान के साथ धीरे-धीरे चढ़ता है, इसलिए 500 K के झूले का जवाब कमरे के तापमान पर ली गई नाप से बहिर्वेशन है, उस तापमान पर ली गई नाप नहीं। छपे मान आपस में मेल भी नहीं खाते: नीचे दिए एक स्रोत में एल्युमिनियम 23×10⁻⁶ है और दूसरे में 25×10⁻⁶, यानी कई प्रतिशत का फ़र्क़ — तो किसी भी जवाब के तीसरे दशमलव को सजावट मानिए और पहले अंक को असली जानकारी। यह पेज मुक्त फैलाव की लंबाई देता है और यह कुछ नहीं कहता कि हिस्सा दोनों सिरों से पकड़ा हो तो क्या होता है — वही फैलाव रोका जाकर E·α·ΔT के क़रीब प्रतिबल बन जाता है, जो स्टील के लिए 60 K पर सौ मेगापास्कल से ऊपर बैठता है, यानी पटरी मोड़ने या वेल्ड चीरने लायक़, और इसमें से कुछ भी ऊपर की संख्याओं में नहीं दिखता। यह समय के बारे में भी कुछ नहीं कहता: मोटी ढलाई असमान रूप से गर्म होती है, इसलिए फैलाव एक समान लंबाई-बदलाव के बजाय ढाल और मुड़ाव बनकर आता है। और यह मान लेता है कि बदलाव सामग्री के मुलायम होने के बिंदु से नीचे हो रहा है — काँच-संक्रमण के पास खड़ा कोई प्लास्टिक, या पिघलने के क़रीब कुछ भी, उस दायरे से बाहर है जिसे एक अकेला गुणांक बयान कर सके।

तापीय प्रसार का सूत्र क्या है?

ΔL = α · L · ΔT: लंबाई में बदलाव बराबर सामग्री का रैखिक प्रसार गुणांक गुणा मूल लंबाई गुणा तापमान में बदलाव। जो ठोस हर दिशा में एक जैसे फैलता है, उसका आयतन भिन्नात्मक रूप से तीन गुना बढ़ता है, इसलिए आयतनिक विकृति 3 · α · ΔT होती है — वही रिश्ता, बस इतना गुणक इसलिए कि दिशाएँ तीन हैं, किसी अतिरिक्त भौतिकी से नहीं। दोनों इस पेज पर दिखते हैं, और दूसरा आयतन के बजाय प्रतिशत में विकृति के रूप में दिया जाता है, क्योंकि गुणांक से ठीक वही रूप सीधे मिलता है।

स्टील हर डिग्री पर कितना फैलता है?

क़रीब 12×10⁻⁶ प्रति केल्विन, यानी एक मीटर स्टील हर डिग्री पर 0.012 मिमी बढ़ता है — 12 माइक्रोमीटर, काग़ज़ की शीट की मोटाई का क़रीब आठवाँ हिस्सा, काग़ज़ क़रीब 0.1 मिमी का होता है। सर्दी की रात और गर्मी की दोपहर के बीच के 60 K में 25 मीटर की पटरी 18 मिमी बढ़ती है, और इसीलिए पटरी के जोड़ होते हैं और लगातार वेल्ड वाली पटरी को बिछाने के साथ-साथ तनाव में खींचकर एंकर करना पड़ता है। एल्युमिनियम क़रीब दुगुना संवेदनशील है (23×10⁻⁶), और PVC स्टील से चार गुना से भी ज़्यादा (55×10⁻⁶), इसीलिए प्लास्टिक की पाइपलाइन को उतनी ही लंबाई की धातु की पाइपलाइन से ज़्यादा सहारे और ज़्यादा उदार प्रसार-लूप चाहिए।

आयतन का बदलाव लंबाई के बदलाव से तीन गुना क्यों होता है?

क्योंकि ठोस एक साथ तीन दिशाओं में बढ़ता है। हर आयाम α·ΔT के अनुपात में बढ़ता है, इसलिए घन का आयतन (1 + α·ΔT)³ − 1 बढ़ता है, जो इतनी छोटी संख्याओं पर 3·α·ΔT से कहीं ज़्यादा दशमलवों तक मेल खाता है। पर तीन का यह गुणक समदैशिकता से आता है — यह मान लेता है कि सामग्री हर अक्ष के साथ एक जैसे फैलती है। लकड़ी नहीं फैलती (वह रेशे के आर-पार रेशे के साथ से कहीं ज़्यादा हिलती है), न अकेले क्रिस्टल, न परतदार संयुक्त सामग्री, इसलिए उनके लिए इस पेज की आयतन वाली पंक्ति सही जवाब का सन्निकटन नहीं, किसी और सवाल का जवाब है।

जो लंबाई मैं डालता हूँ, वह मूल है या अंतिम?

मूल — शुरुआती तापमान पर लंबाई, कुछ भी गर्म होने से पहले। यह दिखने से ज़्यादा मायने रखता है: नापी हुई अंतिम लंबाई से उलटी दिशा में गुणांक निकालने का मतलब है मूल लंबाई से भाग देना, और अंतिम लंबाई डालने से क़रीब α·ΔT का सापेक्ष त्रुटि आती है, जो स्टील के लिए नगण्य है और बड़े तापमान-बदलाव में किसी प्लास्टिक के लिए नगण्य नहीं। पेज बदलाव और नई लंबाई दोनों छापता है ताकि आप देख सकें कौन क्या है, और बदलाव हमेशा आपके टाइप किए हुए के सापेक्ष होता है।

प्रसार जोड़ कहाँ आते हैं?

वे तब बनाए जाते हैं जब फैलाव को मुक्त नहीं छोड़ा जा सकता। दोनों सिरों से पकड़ा हुआ हिस्सा उतनी लंबाई का नहीं रह पाता जितना वह होना चाहता था; फैलाव रोका जाकर प्रतिबल बन जाता है, क़रीब सामग्री के प्रत्यास्थता गुणांक गुणा α·ΔT — स्टील के लिए 60 K पर सौ मेगापास्कल से ऊपर, जो पटरी मोड़ने, पाइप लाइन को बाहर की ओर झुकाने या वेल्ड चीरने के लिए काफ़ी है। प्रसार जोड़, लूप, लंबे छेद वाले बोल्ट और सरकने वाले बेयरिंग, सब सामग्री को जाने की जगह देने के तरीक़े हैं, और वे इसीलिए हैं कि इस पेज का हिसाब किसी न किसी रूप में चुकाना ही पड़ता है।

अलग-अलग तालिकाएँ अलग गुणांक क्यों देती हैं?

क्योंकि गुणांक न पूरी तरह स्थिर है, न पूरी तरह सहमति में। α तापमान के साथ बदलता है, इसलिए 20 °C पर उद्धृत मान और 0–100 °C पर औसत किया मान एक ही सामग्री के लिए अलग संख्याएँ हैं, और अलग पुस्तिकाएँ एक ही नाम के नीचे अलग मिश्रातुएँ रख देती हैं — नीचे दिए एक स्रोत में एल्युमिनियम 23×10⁻⁶ है और दूसरे में 25×10⁻⁶, और «स्टेनलेस स्टील» एक ऐसा परिवार है जिसके गुणांक क़रीब 10 से 18×10⁻⁶ तक चलते हैं। ज़्यादातर कामों में यह मतभेद कुछ प्रतिशत का है और फ़ैसला नहीं बदलता। जहाँ यह मायने रखता है — परिशुद्ध यंत्र, लंबे हिस्से, कसे हुए फ़िट — वहाँ इसका मतलब यह है कि दूसरी तालिका चुनने के बजाय असली बैच की नाप ली जाए।

• 13.2 Thermal expansion of solids and liquids — ΔL = αLΔT with the definition of the coefficient, the β ≈ 3α relation for volume, and a table of coefficients for common metals — OpenStax (Rice University)
• Linear thermal expansion coefficients of materials — the handbook values this page's table is drawn against, including cast iron, brass, stainless and PVC — The Engineering ToolBox