t-टेस्ट कैलकुलेटर

t = (x̄ − μ₀) / (s / √n) t = (x̄₁ − x̄₂) / √(s_p²(1/n₁ + 1/n₂)) s_p² = ((n₁−1)s₁² + (n₂−1)s₂²) / (n₁ + n₂ − 2)

t

परीक्षण सांख्यिकी — यानी T सांख्यिकी का मान: देखा गया माध्य जिस मान की जाँच हो रही है उससे कितनी मानक त्रुटियाँ दूर बैठता है। इसका चिह्न दिशा बताता है, और इसीलिए ग़लत दिशा वाला एक-पुच्छ परीक्षण त्रुटि के बजाय बड़ा P-मान लौटाता है: ऊपर-की-ओर वाले विकल्प के मुक़ाबले −1 की T सांख्यिकी छोटा असर नहीं, उलटी दिशा में इशारा करता सबूत है, और पुच्छ-क्षेत्र यही कहता है

x̄, μ₀

एक नमूना वाले तरीक़े में नमूने का माध्य और वह मान जिसके मुक़ाबले जाँच हो रही है। अंश इन्हीं दोनों का अंतर है, इसलिए सांख्यिकी आँकड़ों की इकाइयों में एक दूरी नापती है — वही अंतर बहुत कम मायने रखता है अगर फैलाव चौड़ा हो या नमूना छोटा, और यही हर पूरा करता है

s

नमूने का मानक विचलन, जो आँकड़ों से अनुमानित होता है, पहले से ज्ञात नहीं माना जाता। यही अनुमान लगाना पूरी वजह है कि सामान्य बंटन के बजाय t बंटन इस्तेमाल होता है: इससे जो अतिरिक्त अनिश्चितता आती है वह पुच्छों को भारी बना देती है, और भारी पुच्छों का हिसाब t का क्रांतिक मान रखता है। यह शून्य से बड़ा होना चाहिए — जिस नमूने में कोई फैलाव न हो, उसमें भाग देने के लिए हर ही नहीं बचता

n

नमूने का आकार, जो एक नमूना वाले तरीक़े में n − 1 स्वतंत्रता की कोटि देता है। दो नमूने वाले परीक्षण में दोनों आकार जुड़कर अकेले से एक ज़्यादा बनाते हैं: n₁ + n₂ − 2, क्योंकि संयुक्त प्रसरण फैलाव नापने से पहले हर समूह के माध्य पर एक-एक स्वतंत्रता की कोटि ख़र्च करता है

s_p²

संयुक्त प्रसरण — दोनों समूहों के प्रसरणों का भारित औसत, जिसमें हर एक का भार उसकी अपनी स्वतंत्रता की कोटि होती है। बराबर-प्रसरण की शर्त ठीक यहीं घुसती है: दोनों समूहों को एक ही समष्टि-फैलाव से लिए गए दो नमूने माना जाता है, इसलिए जिस समूह में ज़्यादा प्रेक्षण हैं, या जिसका अपना प्रसरण छोटा है, वह एक साझा अनुमान में अनुपात के हिसाब से हिस्सा देता है। दोनों प्रसरण मनचाहे अलग हों तो यही जोड़ना बिगड़ता है, और इलाज Welch का परीक्षण है

P-मान

उतनी दूर या उससे भी दूर की सांख्यिकी मिलने की प्रायिकता, उसी दिशा में जो परीक्षण पूछ रहा है, बशर्ते दोनों माध्य असल में एक ही हों। दोनों पुच्छ वाला परीक्षण |t| से आगे का क्षेत्र दुगना कर देता है; ऊपरी और निचली पुच्छ वाले विकल्प एक-एक पुच्छ लेते हैं। यहाँ यह प्रतिशत में बताया जाता है, इसलिए 5% वही जाना-पहचाना 0.05 है, और यह परिकल्पना के बारे में नहीं, परिकल्पना दी हुई होने पर आँकड़ों के बारे में एक बयान है

इसे तब लगाइए जब किसी नमूने का माध्य और मानक विचलन हाथ में हों और यह जानना हो कि किसी लक्ष्य से, या किसी दूसरे समूह से, यह अंतर नमूना-शोर से समझाए जा सकने से बड़ा है या नहीं। एक नमूना वाला तरीक़ा वह हालत सँभालता है जहाँ तुलना का मान कोई तय संख्या हो — 500 ग्राम भरने पर सेट की गई मशीन, 5 मिमी का विनिर्देश, पिछले साल का औसत — और दो नमूने वाला तरीक़ा वह हालत जहाँ दोनों राशियाँ नापी गई हैं और किसी को कोई बड़ा दर्जा नहीं मिला। जवाब पढ़ने से पहले दो बातें तय कर लेना बनता है। पहली है एक पुच्छ या दोनों: दोनों पुच्छ वाला परीक्षण पूछता है कि समूहों में किसी भी दिशा में फ़र्क़ है क्या, और यही सही डिफ़ॉल्ट है, जबकि एक पुच्छ वाला परीक्षण दिशा-वाला सवाल पूछता है और उसे इसलिए चुना जाना चाहिए कि दिशा पहले से तय थी, इसलिए नहीं कि जवाब ज़्यादा मेहरबान निकलेगा। दूसरी है बराबर-प्रसरण की शर्त, जिसे दो नमूने वाला तरीक़ा मान लेता है और आपके लिए जाँच नहीं सकता। इसका पता पैनल पर ही चल जाता है: आपने जो दो मानक विचलन भरे हैं वे पास-पास हैं तो उन्हें जोड़ने की क़ीमत कम है, और अगर वे दो गुने या उससे ज़्यादा के फ़र्क़ से अलग हैं तो आपको Welch का परीक्षण चाहिए। यह पन्ना संयुक्त वाला परीक्षण निकालता है, जिसे बराबर प्रसरण की हालत में ज़्यादातर किताबें और ज़्यादातर सांख्यिकीविद् "t-टेस्ट" से मतलब रखते हैं, और यह आपके भरे हुए दोनों मानक विचलन भी छापता है ताकि शर्त को मान लेने के बजाय आँका जा सके।

1. डिफ़ॉल्ट: नमूने का माध्य 6, लक्ष्य 5

   1. मानक त्रुटि: s / √n = 3 / 3 = 1
   2. T सांख्यिकी: (6 − 5) / 1 = 1 — नमूने का माध्य लक्ष्य से एक मानक त्रुटि ऊपर बैठता है
   3. स्वतंत्रता की कोटि: n − 1 = 8
   4. दोनों पुच्छ वाला P-मान: 8 स्वतंत्रता की कोटि वाले t बंटन पर ±1 से आगे का क्षेत्र, जो 34.66% है
   5. यानी एक पूरी इकाई का अंतर सुनने में बड़ा लगता है, पर मानक त्रुटि के बग़ल रखते ही वह नमूना-शोर के दायरे में ही बैठा दिखता है

   एक पूरी इकाई का अंतर तब तक बड़ा लगता है जब तक उसके बग़ल मानक त्रुटि न रख दी जाए: एक मानक त्रुटि उस दायरे के भीतर ही है जो नमूना-शोर पैदा करता है, और P-मान यही कहता है। सामान्य वक्र से तुलना यहाँ सिखाने वाली है — अगर बंटन सामान्य होता तो वही 1 की T सांख्यिकी 31.7% देती, और ये अतिरिक्त तीन प्रतिशत अंक उस क़ीमत का हिस्सा हैं जो इस बात की चुकाई जाती है कि मानक विचलन ज्ञात होने के बजाय नौ प्रेक्षणों से अनुमानित किया गया।

2. 2.306 की T सांख्यिकी ठीक 5% देती है

   1. मानक त्रुटि: 3 / √9 = 1, इसलिए T सांख्यिकी ख़ुद माध्य के बराबर है
   2. T सांख्यिकी: (2.306 − 0) / 1 = 2.306
   3. 8 स्वतंत्रता की कोटि पर 95% दोनों-पुच्छ वाली t हद 2.306 है
   4. हद पर ठीक बैठने का मतलब है कि दोनों पुच्छ वाला P-मान ठीक 5% है
   5. यानी वही एक तथ्य इस पन्ने पर सांख्यिकी बनकर आया और क्रांतिक मान वाले पन्ने पर हद बनकर

   यह वही जोड़ी है जो क्रांतिक मान वाला पन्ना दूसरी दिशा से निकालता है, और दोनों को साथ रखना ही सबसे साफ़ सबूत है कि वे एक ही तथ्य को दो सिरों से पढ़ते हैं। उस पन्ने से 8 स्वतंत्रता की कोटि पर 95% की दोनों-पुच्छ वाली t हद माँगिए और वह 2.306 लौटाता है; 2.306 इस पन्ने में डालिए और P-मान ठीक 5% आता है। बीच में कुछ भी पूर्णांकित नहीं है — यह संख्या इसीलिए चुनी गई कि 3 का मानक विचलन और 9 का नमूना आकार मानक त्रुटि ठीक 1 बनाते हैं, इसलिए सांख्यिकी और हद एक ही आँकड़ा हैं। इससे ज़रा नीचे की सांख्यिकी 5% से ऊपर उतरेगी, और ज़रा ऊपर की 5% से नीचे।

3. दस-दस के दो समूह, दोनों का फैलाव एक जैसा

   1. संयुक्त प्रसरण: ((9 × 4) + (9 × 4)) / 18 = 72 / 18 = 4, इसलिए संयुक्त मानक विचलन 2
   2. मानक त्रुटि: √(4 × (1/10 + 1/10)) = √0.8 = 0.8944
   3. T सांख्यिकी: (5 − 4) / 0.8944 = 1.118
   4. स्वतंत्रता की कोटि: 10 + 10 − 2 = 18, जिस पर दोनों पुच्छ वाला P-मान 27.83% आता है
   5. यानी दोनों प्रसरण बराबर हों तो जोड़ना कोई बदलाव नहीं करता, और मानक त्रुटि हर समूह के अपने मानक विचलन से भी छोटी निकलती है

   जब दोनों प्रसरण बराबर हों तो जोड़ना बेअसर रहता है — संयुक्त प्रसरण 4 ही आता है, ठीक वही मान जो दोनों समूहों ने दिया — और मानक त्रुटि हर समूह के अपने मानक विचलन बटा उसके अपने √n से भी छोटी निकलती है। दस-दस के दो माध्यों की तुलना दस के एक माध्य का अनुमान लगाने से कम सटीक है — मानक त्रुटि 0.8944 बनाम 0.6325 — क्योंकि वहाँ एक राशि नापी जा रही है और यहाँ दो अनिश्चित राशियाँ घटाई जा रही हैं, और यह क़ीमत तभी चुकाने लायक़ है जब तुलना ऐसा सवाल जवाब दे जो एक नमूना नहीं दे सकता। ध्यान दीजिए कि समष्टि का माध्य वाला ख़ाना स्क्रीन पर है और इस तरीक़े में बेकार है; यहाँ दोनों राशियाँ नापी गई हैं, इसलिए कोई भी तय लक्ष्य नहीं है।

4. अलग-अलग फैलाव और अलग-अलग आकार, जहाँ जोड़ने पर नज़र रखनी पड़ती है

   1. संयुक्त प्रसरण: ((9 × 4.41) + (11 × 3.24)) / 20 = (39.69 + 35.64) / 20 = 3.7665
   2. मानक त्रुटि: √(3.7665 × (1/10 + 1/12)) = √0.6905 = 0.831
   3. T सांख्यिकी: (5.2 − 4.1) / 0.831 = 1.3237
   4. स्वतंत्रता की कोटि: 10 + 12 − 2 = 20
   5. यानी संयुक्त प्रसरण 4.41 और 3.24 के ठीक बीच नहीं बैठा, क्योंकि बारह वाले समूह का भार ज़्यादा है

   संयुक्त प्रसरण 3.7665 आता है, जो 4.41 और 3.24 का ठीक बीच नहीं है — बारह वाले समूह का भार ज़्यादा है क्योंकि वह दस वाले समूह की नौ स्वतंत्रता की कोटियों के मुक़ाबले ग्यारह देता है। यही भार ही "संयुक्त" शब्द की पूरी सामग्री है, और इसीलिए दोनों मानक विचलनों का सादा औसत निकालकर यह जवाब दोबारा नहीं बनाया जा सकता। यहाँ दोनों फैलाव इतने पास हैं कि बराबर-प्रसरण की शर्त आराम से निभ जाती है; इन्हीं आकारों के साथ 2.1 और 0.6 जैसी जोड़ी नहीं निभती, और Welch का परीक्षण साफ़-साफ़ अलग P-मान देता।

5. 900 प्रेक्षणों से 1.96 की T सांख्यिकी, जहाँ t और z मिल चुके हैं

   1. मानक त्रुटि: 3 / √900 = 3 / 30 = 0.1
   2. T सांख्यिकी: (5.196 − 5) / 0.1 = 1.96
   3. स्वतंत्रता की कोटि: 899
   4. दोनों पुच्छ वाला P-मान: 5.0304% — 5 से ज़रा ऊपर, ठीक 5 पर नहीं
   5. यानी 1.96 सामान्य वक्र पर 5% देता है और यहाँ 5.0304%, और यही फ़ासला इस उदाहरण की बात है

   प्रसिद्ध 1.96 सामान्य वक्र पर 5% देता है और यहाँ 5.0304%, और यही फ़ासला इस उदाहरण की बात है। 899 स्वतंत्रता की कोटि पर t बंटन सामान्य से लगभग पहचाना नहीं जाता, पर ठीक-ठीक वही नहीं है — उसकी पुच्छें अब भी ज़रा भारी हैं, इसलिए वही सांख्यिकी ज़रा और बाहर बैठती है। ठीक इसीलिए बड़े नमूने में 1.96 की T सांख्यिकी अपने आप 5% पर सार्थक नहीं हो जाती, और इसीलिए जो सॉफ़्टवेट 0.0499 छापता है और जो 0.0501, वे उसी अध्ययन पर तीसरे दशमलव में असहमत हो सकते हैं।

दो नमूने वाला तरीक़ा मान लेता है कि दोनों समूहों का प्रसरण एक ही है, और यह शर्त यहाँ सिर्फ़ लिखावट सुधारने का काम नहीं कर रही। समूहों के आकार बराबर हों तो प्रसरण अलग होने पर भी संयुक्त परीक्षण काफ़ी मज़बूत रहता है, पर जब आकार अलग हों और प्रसरण भी अलग हों, तब परीक्षण किसी भी दिशा में बुरी तरह ग़लत हो सकता है — यही Behrens–Fisher की समस्या है, और Welch का परीक्षण उसी को हल करने के लिए है। दोनों मानक विचलन इसीलिए पैनल पर हैं: P-मान पर भरोसा करने से पहले उनकी तुलना कीजिए, और अगर एक दूसरे से लगभग दुगना या उससे ज़्यादा हो और समूहों के आकार भी अलग हों, तो बराबर-प्रसरण वाला परीक्षण आपका वाला नहीं है। एक नमूना वाले तरीक़े में यह दिक़्क़त नहीं है, पर वह यह मानता है कि प्रेक्षण स्वतंत्र हैं, जो एक ही व्यक्ति पर दोहराए गए मापन तथा जोड़ीदार या समूहों में बँटे आँकड़ों पर लागू नहीं होता, जहाँ जोड़ीदार या मिश्रित मॉडल चाहिए। दोनों तरीक़े यह भी मानते हैं कि नीचे के आँकड़े लगभग सामान्य हैं, और नमूना बढ़ने के साथ दोनों इस शर्त के प्रति कम संवेदनशील होते जाते हैं — केंद्रीय सीमा प्रमेय ही वह चीज़ है जो 900 तिरछे प्रेक्षणों पर t-टेस्ट को वाजिब बनाती है और 9 तिरछे प्रेक्षणों पर शक़ के लायक़। आख़िर में, यह पन्ना एक सांख्यिकी और एक P-मान बताता है, कोई निष्कर्ष नहीं। इसके पास तुलना करने के लिए कोई सार्थकता स्तर नहीं है, और 0.05 एक परिपाटी है, नतीजा — इसलिए फ़ैसला वहीं छोड़ा गया है जहाँ उसकी जगह है।

यह पन्ना संयुक्त (pooled) दो-नमूना t-टेस्ट चलाता है या Welch का?

संयुक्त वाला — यानी बराबर-प्रसरण का परीक्षण, जिसमें n₁ + n₂ − 2 स्वतंत्रता की कोटि होती है। जब दोनों समूह फैलाव और आकार दोनों में अलग हों, तब Welch का परीक्षण बेहतर चुनाव है, और दोनों मानक विचलन वाले ख़ाने इसीलिए पैनल पर हैं कि आप जाँच सकें: अगर एक दूसरे से लगभग दुगना या उससे ज़्यादा हो और नमूने के आकार भी अलग हों, तो आपको Welch चाहिए और यह पन्ना जो P-मान देगा वह ग़लत होगा, कभी-कभी काफ़ी ग़लत। यहाँ बराबर-प्रसरण वाला रूप इसीलिए लागू किया गया है कि वही किताबों वाला परीक्षण है, किसी संदर्भ-पुस्तिका में बराबर माध्यों वाले दो-नमूना t-टेस्ट के नाम से वही जाता है, और उसकी पूर्णांक स्वतंत्रता की कोटि इस पन्ने के अंकगणित को सन्निकट के बजाय सटीक रखती है।

मुझे एक पुच्छ वाला परीक्षण लेना चाहिए या दोनों पुच्छ वाला?

दोनों पुच्छ वाला, जब तक कि दिशा आँकड़े देखने से पहले तय न की गई हो। दोनों पुच्छ वाला परीक्षण पूछता है कि समूहों में कोई फ़र्क़ है क्या और सार्थकता स्तर को दोनों सिरों में बाँट देता है; एक पुच्छ वाला परीक्षण पूछता है कि एक समूह बड़ा है क्या और पूरा स्तर उसी पुच्छ में डाल देता है, जिससे सार्थकता तक पहुँचना आसान हो जाता है — उसी स्तर पर ठीक दुगना आसान, क्योंकि 1.96 की जगह 1.645 चल जाता है। यह वाजिब चुनाव है जब सवाल सचमुच दिशा-वाला हो, और यह नतीजे के पीछे भागने का एक रूप है जब दिशा यह देखकर चुनी गई हो कि फ़र्क़ किधर गया।

T सांख्यिकी और P-मान में क्या फ़र्क़ है?

T सांख्यिकी अंतर को मानक त्रुटियों में नापती है और अपने भीतर नमूने का आकार लिए चलती है, जबकि P-मान उसी आँकड़े को मिलती हुई स्वतंत्रता की कोटि पर t बंटन के ज़रिए प्रायिकता में बदल देता है। यानी T सांख्यिकी जवाब देती है "ये दोनों कितनी मानक त्रुटियाँ अलग हैं?" और P-मान जवाब देता है "अकेला नमूना कितनी बार इतना बड़ा फ़ासला बना देगा?" दोनों इसलिए छपते हैं कि पहली एक ही बनावट के अध्ययनों के बीच तुलनीय रहती है और दूसरा वही है जिससे सार्थकता स्तर की तुलना होती है। इनमें से कोई भी असर का आकार नहीं है — बड़ा नमूना किसी मामूली अंतर से भी बड़ी T सांख्यिकी और बहुत छोटा P-मान बना सकता है।

1.96 की T सांख्यिकी ठीक 5% क्यों नहीं देती?

क्योंकि 1.96 सामान्य वक्र की 5% वाली हद है, और t बंटन किसी भी सीमित स्वतंत्रता की कोटि पर पुच्छों में ज़रा भारी होता है। 899 स्वतंत्रता की कोटि पर 1.96 की T सांख्यिकी 5.0304% देती है, यानी लकीर से ज़रा ऊपर; और 8 स्वतंत्रता की कोटि पर वही सांख्यिकी 8.57% देती है। स्वतंत्रता की कोटि बढ़ने के साथ t बंटन सामान्य की ओर मिलता जाता है, और वह शुरू से आख़िर तक एक ही वक्र है — बदलता सिर्फ़ पुच्छों का भार है। इसीलिए कोई सॉफ़्टवेयर 0.0499 का P-मान छाप सकता है जहाँ 1.96 के मुक़ाबले हाथ का हिसाब सार्थक कहता है, और दोनों में से कोई ग़लत नहीं है।

ऋणात्मक T सांख्यिकी का क्या मतलब है?

कि नमूने का माध्य उस मान से नीचे निकला जिसके मुक़ाबले जाँच हो रही है, या दो नमूने वाले तरीक़े में दूसरे समूह के माध्य से नीचे। चिह्न दिशा की जानकारी है और बस इतना ही — P-मान बंटन के मुक़ाबले उसके परिमाण से निकाला जाता है। दोनों पुच्छ वाले परीक्षण में चिह्न छोड़ दिया जाता है क्योंकि दोनों सिरों को चरम गिना जाता है। एक पुच्छ वाले परीक्षण में यह मायने रखता है और जानकारी भी दे सकता है: ऊपर-की-ओर वाले विकल्प के मुक़ाबले −2.5 की T सांख्यिकी 99% के क़रीब P-मान देती है, जो शून्य परिणाम नहीं बल्कि उलटी दिशा में इशारा करता सबूत है, और उसे "सार्थक नहीं" लिख देना उस जानकारी को फेंक देना होगा।

t-टेस्ट के लिए मुझे कितने प्रेक्षण चाहिए?

यह पन्ना हर समूह में कम से कम दो माँगता है, क्योंकि एक अकेले प्रेक्षण का मानक विचलन अपरिभाषित होता है। यह गणित की निचली हद है, कोई व्यावहारिक सिफ़ारिश नहीं — हर समूह में दो प्रेक्षणों वाले t-टेस्ट की एक ही स्वतंत्रता की कोटि होती है और विशाल अंतर के सिवा कुछ पकड़ने की ताक़त लगभग नहीं, और जब तक दोनों समूह किसी तरह एक-दूसरे पर न चढ़े हों, P-मान बड़ा ही आएगा। असली सवाल सूत्र की न्यूनतम हद नहीं, बल्कि वह नमूना है जो उस अंतर को पकड़ सके जिसकी आपको परवाह है, और वह आँकड़ों के फैलाव तथा उस असर के आकार पर निर्भर है जिसे आप चूकना नहीं चाहते; यह हिसाब नमूना आकार वाले पन्ने पर रहता है, जो किसी आँकड़ा-समूह से आगे की ओर नहीं, त्रुटि की सीमा से पीछे की ओर चलता है।

t के क्रांतिक मानों की तालिका कहाँ है?

क्रांतिक मान वाले पन्ने पर, और इस पूरे समूह में सिर्फ़ वहीं — यह पन्ना कोई तालिका इसलिए नहीं छापता कि उसे स्वतंत्रता की कोटि के साथ-साथ सार्थकता स्तर से भी क्रमबद्ध करना पड़ता, जो हर सार्थकता स्तर के लिए किताब का एक पूरा पन्ना बन जाता है, एक तालिका नहीं। इसीलिए जवाब यहाँ तालिका में देखने के बजाय निकाला जाता है: कोई तालिका उन्हीं स्वतंत्रता की कोटियों की सूची दे सकती है जिन्हें किसी ने छापने का फ़ैसला किया, और दो नमूने वाले परीक्षण से निकलने वाली कोटि n₁ + n₂ − 2 उनमें लगभग कभी नहीं होती। याद रखने लायक़ एक ही हद है कि नमूना बढ़ने के साथ t के मान 1.96 की ओर मिलते जाते हैं, इसलिए जो तालिका आप खोज रहे हैं वह सामान्य वाली है, बस उस पर एक ऐसा जुर्माना लगा हुआ है जो स्वतंत्रता की कोटि बढ़ने के साथ घटता जाता है।

• 1.3.5.3. Two-Sample t-Test for Equal Means — e-Handbook of Statistical Methods (the pooled two-sample test this page implements, including the pooled standard deviation and its n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.5.1. Measures of Location — e-Handbook of Statistical Methods (the sample mean and the standard error that the one-sample statistic is built from) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the curve the t distribution approaches as the degrees of freedom grow, which is why 1.96 and 5% are only approximately each other's partner) — National Institute of Standards and Technology (NIST)