क्रांतिक मान कैलकुलेटर

Φ(z) = 1 − α/2 T(t, df) = 1 − α/2 P(χ² > x, df) = α P(F > f, df₁, df₂) = α

α

सार्थकता स्तर — वह पुच्छ क्षेत्र जिस पर सीमा खींची जाती है, और वही राशि जिसे ऊपर का ड्रॉपडाउन विश्वास स्तर कहता है। दोनों शब्दावलियों में बस एक घटाव का फ़र्क़ है: 95% विश्वास स्तर यानी α = 0.05, और 99% स्तर यानी α = 0.01। यह बाँटना मायने रखता है, क्योंकि पेज को यह जानना होता है कि वह 5% एक ही पुच्छ में बैठा है या दो में बँटा है, और यह सिर्फ़ α वाले पढ़ने से ही दिखता है

Φ⁻¹

मानक सामान्य संचयी फलन का उलटा — वही वक्र जिससे z तालिका पढ़ी जाती है, उलटी दिशा में चलाया गया। तालिका दिए हुए z के लिए क्षेत्र देती है; क्रांतिक मान दिए हुए क्षेत्र के लिए z है, और ठीक इसीलिए जवाब अंकगणित से नहीं, किसी सन्निकटन से निकालना पड़ता है

df

स्वतंत्रता की कोटि — t और काई-वर्ग बंटनों का आकार तय करने वाला पैरामीटर। यही वह चीज़ है जिससे वही विश्वास स्तर अलग-अलग जगह अलग जवाब देता है: 95% दोनों पुच्छ पर सीमा एक कोटि पर 12.7062 है, दस पर 2.2281, और नमूना इतना बड़ा हो जाने पर 1.9600 जब t और सामान्य में फ़र्क़ ही नहीं रहता

df₁, df₂

F बंटन की दो स्वतंत्रता की कोटियाँ — अंश और हर। F परीक्षण दो प्रसरणों या कई समूह माध्यों की एक साथ तुलना करता है, इसलिए उसे दोनों चाहिए, और पेज का दूसरा फ़ील्ड सिर्फ़ इसी मोड में पढ़ा जाता है। इन्हें उलटा भर देना आम चूक है और जवाब बदल देता है

पुच्छ

सीमा बंटन के किस तरफ़ बैठती है। दोनों पुच्छ α को आधा बाँटकर हर सिरे पर α/2 रख देता है, इसलिए 95% का दोनों पुच्छ z 1.9600 है जबकि 95% का सिर्फ़ ऊपरी पुच्छ z 1.6449 — वही विश्वास, नीची बाधा, क्योंकि पूरा 5% अब एक ही तरफ़ है। काई-वर्ग और F के लिए दोनों पुच्छ वाला कोई पठन ही नहीं है: वे बंटन एक तरफ़ झुके हुए हैं, इसलिए निचली सीमा ऊपरी का ऋणात्मक नहीं, बल्कि एक पूरी तरह अलग संख्या है

इसे तब इस्तेमाल कीजिए जब आपके पास कोई विश्वास स्तर या सार्थकता स्तर हो और उस संख्या की ज़रूरत हो जिसके सामने परीक्षण सांख्यिकी तौली जाए — कोई हाथ का हिसाब पूरा करने के लिए, किसी सॉफ़्टवेयर ने क्या इस्तेमाल किया यह जाँचने के लिए, या यह देखने के लिए कि नमूने का आकार बदलने पर बाधा कितनी हिलती है। यह वही पेज है जो इस इलाक़े की सबसे आम उलझन भी साफ़ करता है: 1.96 और 1.645 एक ही परीक्षण के दो चलन नहीं, वे 5% स्तर पर दोनों पुच्छ और सिर्फ़ ऊपरी पुच्छ की सीमाएँ हैं, और यह तय होता है कि परिकल्पना ने आँकड़े देखने से पहले कोई दिशा बताई थी या नहीं। दूसरी दिशा से पढ़ने पर पेज उलटा सवाल भी हल कर देता है — 2.2281 की सीमा के सामने बैठी 2.3 की सांख्यिकी 5% दोनों पुच्छ पर सार्थक है, और पाँच स्वतंत्रता की कोटि पर 2.5706 के सामने वही सांख्यिकी सार्थक नहीं है। जो बात यह पेज तय नहीं करता वह यह है कि आपको कौन-सा बंटन इस्तेमाल करना चाहिए था। वह अध्ययन का सवाल है: z तब लगता है जब मानक विचलन एक जाना हुआ स्थिरांक हो, t तब जब वह उन्हीं आँकड़ों से निकाला गया हो, काई-वर्ग गिनतियों और प्रसरणों पर, और F प्रसरणों के अनुपातों पर। ड्रॉपडाउन का फ़ैसला उपयोगकर्ता का है, और नीचे के सवाल उसके वे हिस्से समझाते हैं जिनमें ग़लती आसान है।

1. डिफ़ॉल्ट: 95% का दोनों पुच्छ z मान

   1. 95% विश्वास स्तर यानी α = 0.05
   2. दोनों पुच्छ का मतलब है हर तरफ़ 0.025, इसलिए ऊपरी सीमा वह जगह है जहाँ मानक सामान्य वक्र अपने नीचे 0.975 छोड़ता है
   3. Φ⁻¹(0.975) = 1.9600
   4. निचली सीमा इसी का दर्पण प्रतिबिंब है, −1.9600 पर, और इसीलिए दोनों पुच्छ वाला परीक्षण |z| की तुलना इस एक ही संख्या से करता है

   यह सांख्यिकी में सबसे ज़्यादा उद्धृत संख्या है और शुरू करने की सही जगह भी, क्योंकि पेज की बाक़ी किसी भी बात पर भरोसा करने से पहले इसे याद से मिलाया जा सकता है। ध्यान दीजिए कि दोनों पुच्छ वाला पठन सवाल के साथ क्या करता है: यह वह z माँगता है जो अपने ऊपर 5% का आधा छोड़े, पूरा नहीं, और यही आधा करना 1.9600 और 1.6449 का पूरा फ़र्क़ है। इस मोड में दोनों स्वतंत्रता की कोटि वाले फ़ील्ड स्क्रीन पर हैं और बेकार हैं — z परीक्षण की कोई स्वतंत्रता की कोटि होती ही नहीं, और पेज इन्हें धुँधला करके नहीं, बस पढ़े बिना यह बात कह देता है।

2. वही 95%, पर मानक विचलन नमूने से ही आया

   1. वही विश्वास स्तर और उतने ही पुच्छ, इसलिए वही α/2 = 0.025
   2. बंटन सामान्य से बदलकर 10 स्वतंत्रता की कोटि वाला t हो जाता है, जिसकी पूँछें भारी होती हैं
   3. T⁻¹(0.975, 10) = 2.2281
   4. वही सीमा 5 स्वतंत्रता की कोटि पर 2.5706 होती, और 50 पर 2.0086 — यह नमूना बढ़ने के साथ 1.9600 की तरफ़ उतरती जाती है

   1.9600 और 2.2281 के बीच का फ़ासला समष्टि का मानक विचलन न जानने की कीमत है, और यही वजह है कि इन दोनों बंटनों को एक-दूसरे की जगह चलाने लायक नहीं माना जाता। यह कोई छोटा सुधार नहीं है: 2.1 की सांख्यिकी z की बाधा पार कर जाती है और दस स्वतंत्रता की कोटि पर t की बाधा से चूक जाती है। यहाँ लिखे तीनों t मान — 2.5706, 2.2281, 2.0086 — एक ही हिसाब हैं, तीन अलग स्वतंत्रता की कोटियों पर, और इन्हें क्रम से पढ़ना यह देखने का साफ़ तरीक़ा है कि t कोई दूसरा नियम नहीं, वही नियम है जिस पर एक जुर्माना लगा है जो धीरे-धीरे उतरता जाता है।

3. काई-वर्ग की सीमा का दोनों पुच्छ वाला रूप होता ही नहीं

   1. काई-वर्ग वर्गों का जोड़ है, इसलिए वह कभी ऋणात्मक नहीं होता और उसका वक्र दाईं तरफ़ झुका होता है
   2. परीक्षण पूछता है कि देखा गया विचलन बहुत बड़ा है या नहीं, इसलिए सीमा ऊपरी वाली है: वह जगह जहाँ वक्र अपने नीचे 0.95 छोड़ता है — यानी सिर्फ़ ऊपरी पुच्छ
   3. P(χ² > x, df = 3) = 0.05 से x = 7.8147 आता है
   4. यहाँ दोनों पुच्छ माँगने पर सन्निकटन नहीं, सीधा इनकार मिलता है

   दोनों पुच्छ वाला काई-वर्ग माँगना वह एकमात्र इनपुट है जिसे पेज ठुकरा देता है, और इनकार ही यहाँ सिखाने वाला हिस्सा है: सममित बंटन पर दोनों सीमाएँ एक-दूसरे का ऋणात्मक रूप होती हैं, इसलिए एक ही संख्या दोनों सिरों का काम चला देती है। झुके हुए बंटन पर वे दो असंबद्ध मान हैं, और 3 स्वतंत्रता की कोटि वाले काई-वर्ग का ऊपरी 5% बिंदु 7.8147 है जबकि निचला 5% बिंदु 0.3518। इनमें से किसी एक को 'दोनों पुच्छ वाला क्रांतिक मान' बताकर छाप देना चुपचाप ग़लत संख्या देना होता, इसलिए पेज रुक जाता है। निचली सीमा माँगने पर मिलती है, और वही वे फ़िट की भलाई वाले परीक्षण इस्तेमाल करते हैं जो बहुत कम फैलाव पर इनकार करते हैं।

4. निचली सीमा ऊपरी का ऋणात्मक रूप नहीं है

   1. F सांख्यिकी दो प्रसरणों का अनुपात है, इसलिए काई-वर्ग की तरह वह ऋणात्मक नहीं हो सकती और उसका वक्र झुका हुआ है
   2. 10 और 20 स्वतंत्रता की कोटियों के साथ ऊपरी 5% सीमा 2.3479 है
   3. निचली 5% सीमा वह मान है जो अपने नीचे 0.05 छोड़ता है: 0.3605 — और यह सिर्फ़ निचली पुच्छ है
   4. दोनों में ऋण चिह्न का कोई रिश्ता नहीं — वे उसी झुके हुए वक्र पर दो स्वतंत्र बिंदु हैं

   यही जोड़ी वह वजह है जिससे पेज असममित बंटनों पर भी पुच्छ पूछता है। चूँकि F एक अनुपात है, उसकी निचली पूँछ असामान्य रूप से छोटे अनुपातों की होती है — और समान-प्रसरण वाला परीक्षण ठीक उसी को देखता है जब दूसरा समूह ज़्यादा फैला हुआ निकलता है। एक बार का पहचान F(1−α, df₁, df₂) = 1 / F(α, df₂, df₁) वह तरीक़ा है जिससे ये मान कभी सिर्फ़ ऊपरी पूँछ के लिए छपी एक ही तालिका से पढ़े जाते थे, और यही वह अंकगणित है जो पेज आपके लिए कर रहा है।

पेज एक सीमा लौटाता है और वहीं रुक जाता है। यह किसी चीज़ की तुलना उससे नहीं करता, क्योंकि तुलना करने के लिए उसके पास कुछ है ही नहीं — परीक्षण सांख्यिकी ऐसे आँकड़ों से आती है जो यह पेज कभी देखता ही नहीं। यह अलगाव जान-बूझकर है और यही वजह है कि पेज बंटन अनुमान लगाने की जगह आपसे पूछता है: कोई सीमा तभी मायने रखती है जब पता हो कि उसके सामने कौन-सी राशि तौली जा रही है, और अंकगणित z और t में फ़र्क़ नहीं कर सकता। दूसरी चीज़ जो यह नहीं करता, वह स्वतंत्रता की कोटि की समझदारी जाँचना है। एक कोटि वाले t का जवाब 12.7062 बिल्कुल सही है, और पाँच लोगों के अध्ययन पर वही जवाब लगभग बेकार भी है — सीमा चौड़ी है क्योंकि मानक विचलन का अनुमान एक ही कोटि पर टिका है। इनपुट में ऐसा कुछ नहीं है जो जान-बूझकर किए गए दबाव परीक्षण को ग़लती से अलग कर सके, इसलिए संख्या हर हाल में लौट आती है। और आख़िर में, चारों बंटन मापों की स्वतंत्रता मान लेते हैं, और F यह भी कि मूल समष्टियाँ सामान्य हैं; ग़लत बंटन से सही तरीक़े से निकाला गया क्रांतिक मान फिर भी ग़लत बाधा ही है।

क्रांतिक मान और P-मान में क्या फ़र्क़ है?

दोनों एक ही तथ्य हैं, बस उलटे सिरों से पढ़े हुए। क्रांतिक मान आपके चुने हुए सार्थकता स्तर से शुरू होकर सीमा लौटाता है; P-मान आपकी देखी हुई सांख्यिकी से शुरू होकर उसके आगे का पुच्छ क्षेत्र लौटाता है। चूँकि दोनों एक-दूसरे के उलटे हैं, सांख्यिकी की तुलना किसी सीमा से करने पर और P-मान की तुलना α से करने पर फ़ैसला हमेशा एक ही निकलता है — इसीलिए सॉफ़्टवेयर इनमें से कोई भी छाप सकता है। व्यवहार का फ़र्क़ यह है कि चुनाव कब होता है: क्रांतिक मान आँकड़े देखने से पहले तय हो जाता है और उस स्तर पर चलने वाले हर अध्ययन के लिए वही रहता है, जबकि P-मान उस ख़ास नमूने का गुण है और पहले से उद्धृत नहीं किया जा सकता। यह पेज सीमा वाला आधा हिस्सा है; P-मान वाला पेज दूसरा।

मुझे 1.96 लेना चाहिए या 1.645?

यह पुच्छ का सवाल है, चलन का नहीं। 1.9600 5% स्तर पर दोनों पुच्छ की सीमा है और 1.6449 उसी स्तर पर सिर्फ़ ऊपरी पुच्छ की — पहला उस 5% को दोनों सिरों में बाँटता है, दूसरा उसे पूरा ऊपर रखता है। दोनों पुच्छ वाला मान तब तक लीजिए जब तक आँकड़े जुटाने से पहले कोई दिशा तय न हुई हो, क्योंकि सिर्फ़ ऊपरी पुच्छ वाला परीक्षण दूसरी दिशा का फ़र्क़ पकड़ने की क़ाबिलियत देकर नीची बाधा ख़रीदता है। ऊपर की तालिका यह पैटर्न सीधे दिखा देती है: हर α के दोनों पठन वहाँ हैं, और α पर सिर्फ़ ऊपरी पुच्छ वाला स्तंभ 2α पर दोनों पुच्छ वाला स्तंभ ही है।

मुझे कौन-सा बंटन चुनना चाहिए?

यह इससे निकलता है कि मानक विचलन कैसे हासिल हुआ और किसकी तुलना हो रही है। z तब लीजिए जब मानक विचलन एक जाना हुआ स्थिरांक हो, अनुमान लगाई गई कोई चीज़ नहीं — इनमें वे बड़े-नमूने वाले मामले भी शामिल हैं जिनमें अनुमान इतना स्थिर होता है कि फ़र्क़ नहीं पड़ता। t तब लीजिए जब मानक विचलन माध्य के साथ उसी नमूने से आया हो, जो आम हालत है और इसीलिए व्यवहार में t कहीं ज़्यादा चलता है। काई-वर्ग गिनतियों और प्रसरणों के लिए लीजिए: फ़िट की भलाई, किसी आवृत्ति तालिका में स्वतंत्रता, किसी प्रसरण का विश्वास अंतराल। F तब लीजिए जब सांख्यिकी दो प्रसरणों का अनुपात हो, या जब प्रसरण विश्लेषण में कई समूह माध्यों की एक साथ तुलना हो रही हो। पेज आपके आँकड़ों से यह अनुमान नहीं लगा सकता, और इसीलिए यह चुनाव एक फ़ील्ड है, कोई अपने आप होने वाला क़दम नहीं।

मैं दोनों पुच्छ वाला काई-वर्ग या F क्रांतिक मान क्यों नहीं माँग सकता?

क्योंकि वे बंटन एक तरफ़ झुके हुए हैं और उनकी दोनों पूँछें एक-दूसरे का दर्पण प्रतिबिंब नहीं हैं। सामान्य या t वक्र पर निचली सीमा ऊपरी की ठीक ऋणात्मक होती है, इसलिए एक ही संख्या दोनों सिरों का बखान कर देती है और 'दोनों पुच्छ' माँगना एक साफ़-सुथरी बात है। काई-वर्ग और F शून्य से शुरू होकर दाईं तरफ़ लंबी पूँछ बनाते हैं, इसलिए ऊपरी और निचली सीमाएँ दो असंबद्ध मान हैं — 3 स्वतंत्रता की कोटि वाले काई-वर्ग का ऊपरी 5% बिंदु 7.8147 है और निचला 5% बिंदु 0.3518। इनमें से किसी एक को दोनों पुच्छ का जवाब बताना चुपचाप ग़लत संख्या देना होगा, इसलिए पेज यह जोड़ी ठुकरा देता है और पूछता है कि आपका मतलब कौन-सी पुच्छ थी।

स्वतंत्रता की कोटि बदलने पर क्रांतिक मान क्यों बदलता है?

क्योंकि स्वतंत्रता की कोटि t, काई-वर्ग और F बंटनों का आकार तय करती है, और सीमा उस आकार पर एक जगह है। छोटे नमूने चौड़ा t देते हैं: 95% दोनों पुच्छ पर सीमा एक स्वतंत्रता की कोटि पर 12.7062 है, दस पर 2.2281, और पचास पर 2.0086, जो कोटि बढ़ने के साथ 1.9600 की तरफ़ बढ़ती जाती है। यह मिलन कोई संयोग नहीं है — t वही मिलता है जब किसी सामान्य को अनुमान लगाए गए फैलाव से भाग दिया जाए, और नमूना बड़ा हो जाने पर वह अनुमान कोई अतिरिक्त अनिश्चितता नहीं जोड़ता। यही तंत्र काई-वर्ग और F की सीमाओं को उनकी स्वतंत्रता की कोटि के साथ हिलाता है, और इसीलिए उन दोनों को सामान्य की तरह तालिका में नहीं उतारा जा सकता।

क्या क्रांतिक मान और विश्वास अंतराल एक ही चीज़ हैं?

नहीं, हालाँकि विश्वास अंतराल इसी से बनता है। किसी अंतराल की चौड़ाई क्रांतिक मान को मानक त्रुटि से गुणा करके मिलती है, इसलिए सीमा दो सामग्रियों में से एक है और आँकड़ों का फैलाव दूसरी। काम का यह बँटवारा ही वजह है कि यह पेज बिना किसी आँकड़े के जवाब दे सकता है: सीमा सिर्फ़ विश्वास स्तर और स्वतंत्रता की कोटि पर निर्भर है, जबकि अंतराल को नमूना भी चाहिए। इसी से यह भी समझ आता है कि एक ही विश्वास स्तर वाले दो अध्ययनों के अंतराल अलग-अलग क्यों होते हैं — क्रांतिक मान उनका साझा होता है और मानक त्रुटि अलग। अगर आपको गुणक नहीं, अंतराल ख़ुद चाहिए, तो विश्वास अंतराल वाला पेज वह है जिसमें माध्य और फैलाव इनपुट हैं।

• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the cumulative function whose inverse the z boundary is, and the table it is normally read from) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 6.2 Using the Normal Distribution — Introductory Statistics 2e (how the middle of the curve is cut off at a stated confidence level, and what the two tail areas add up to) — OpenStax (Rice University)
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (a test statistic as a quantity with its own distribution, which is what makes a boundary on that distribution mean anything) — National Institute of Standards and Technology (NIST)