विश्वास अंतराल कैलकुलेटर

mean: x̄ ± t(α/2, n − 1) · s / √n proportion: p̂ ± z(α/2) · √( p̂ (1 − p̂) / n )

x̄

नमूने का माध्य — वह संख्या जो आपने नापी, उन्हीं इकाइयों में जिनमें आँकड़े हैं। अंतराल इसी के इर्द-गिर्द बनता है, इसलिए यह हिलने पर पूरी सीमा हिल जाती है

s

नमूने का मानक विचलन, यानी मापों का उनके ही माध्य के आसपास फैलाव। यह s है, σ नहीं, क्योंकि आपके पास नमूना ही है; इसे नमूने के आकार के वर्गमूल से भाग देने पर ही यह मानक त्रुटि बनता है

n

नमूने में कितने माप हैं, कम से कम 2। यह हिसाब में दो बार आता है: एक बार मानक त्रुटि के भीतर, और दूसरी बार t की स्वतंत्रता की कोटि के ज़रिए, जो n − 1 है

t(α/2, n − 1)

माध्य का क्रांतिक मान: n − 1 स्वतंत्रता की कोटि वाले t बंटन पर वह बिंदु जो हर पूँछ में α का आधा छोड़ता है। यह सामान्य के क्रांतिक मान से हमेशा ज़रा बड़ा होता है और छोटे नमूनों में कहीं ज़्यादा बड़ा, क्योंकि t बंटन उस बात की कीमत वसूल रहा है कि s जाना हुआ नहीं, नमूने से अनुमान लगाया गया था

p̂

नमूने का अनुपात, जो प्रतिशत में भरा जाता है। अनुपात का पूरा हिसाब प्रतिशत अंकों में ही रहता है, इसलिए दोनों सीमाएँ, त्रुटि की सीमा और मानक त्रुटि — सब उसी पैमाने पर बैठते हैं जिस पर आपने संख्या टाइप की

z(α/2)

अनुपात का क्रांतिक मान: 95% विश्वास स्तर पर 1.9600, और हर नमूने के आकार पर वही, क्योंकि अनुपात को t की जगह सामान्य बंटन के सामने तौला जाता है। अनुपात की पंक्ति में यह दो बार आता है, एक बार मूल के बाहर और एक बार p̂ के ज़रिए भीतर

इसे तब इस्तेमाल कीजिए जब आपके पास एक नमूना हो और आप यह बताना चाहते हों कि उससे निकला अनुमान कितना सटीक है — कुछ मापों से निकला माध्य, या किसी सर्वेक्षण से निकली हिस्सेदारी। एक अकेली संख्या बताने का यही ईमानदार तरीक़ा है: 100 मापों वाला माध्य 50 और 5 मापों वाला माध्य 50 दो अलग दावे हैं, और यह फ़र्क़ अंतराल ही दिखाता है, क्योंकि नमूने का आकार मानक त्रुटि के हर में बैठता है। बाक़ी सब कुछ दो चुनाव तय कर देते हैं। जब राशि कोई माप हो — लंबाई, समय, कोई अंक — तब माध्य वाली शाखा चुनिए, और जब वह किसी कुल में से गिने गए लोगों की संख्या हो तो अनुपात वाली, जिसे प्रतिशत में भरा जाता है। फिर विश्वास स्तर चुनिए: 95% चलन है, और दिए गए तीनों स्तर लगभग हर छपे हुए आँकड़े को कवर कर लेते हैं। यह भी देख लीजिए कि अंतराल करता क्या नहीं है — यह नहीं बताता कि असली मान कहाँ है, और यह भी नहीं बताता कि आगे के कितने माप इसके भीतर गिरेंगे। यह अनुमान लगाने की विधि के बारे में एक कथन है, आँकड़ों के बारे में नहीं।

1. 100 मापों वाले नमूने से निकाला गया माध्य

   1. मानक त्रुटि: 12 / √100 = 12 / 10 = 1.2
   2. स्वतंत्रता की कोटि: n − 1 = 99, जिससे 95% विश्वास स्तर पर क्रांतिक मान 1.9842 आता है
   3. त्रुटि की सीमा: 1.9842 × 1.2 = 2.3811
   4. सीमाएँ: 50 − 2.3811 = 47.6189 और 50 + 2.3811 = 52.3811

   यहाँ ध्यान देने लायक संख्या क्रांतिक मान है: जाना-पहचाना 1.96 नहीं, बल्कि 1.9842। यह अंतर वह कीमत है जो t बंटन उसी 100 मापों से फैलाव का अनुमान लगाने पर वसूल करता है, और नमूना बढ़ने के साथ यह घटता जाता है — n = 1000 पर यह लगभग ग़ायब हो चुका होता है। यह भी देखिए कि अनुपात वाला फ़ील्ड अब भी 60 लिए हुए है और कुछ नहीं कर रहा: दोनों इनपुट समूह हमेशा स्क्रीन पर रहते हैं, और ऊपर का चयन तय करता है कि सूत्र किसे पढ़ेगा।

2. 1000 लोगों के सर्वेक्षण से निकाला गया अनुपात

   1. नमूना अनुपात 50% दशमलव में 0.5 है, और 1 − p̂ भी 0.5 ही है
   2. मानक त्रुटि: √( 0.5 × 0.5 / 1000 ) = 0.015811, यानी 1.5811 प्रतिशत अंक
   3. क्रांतिक मान: 95% विश्वास स्तर पर 1.96, हर नमूने के आकार पर वही
   4. त्रुटि की सीमा: 1.96 × 1.5811 = 3.099 प्रतिशत अंक, जिससे सीमाएँ 46.901% और 53.099% बनती हैं

   इस उदाहरण की हर संख्या प्रतिशत अंकों में है, अनुपात में नहीं: मानक त्रुटि 0.0158 नहीं, 1.58 अंक है। यही वह पैमाना है जो यह पेज अनुपात के लिए इस्तेमाल करता है, और इसी वजह से यहाँ की मानक त्रुटि पहले उदाहरण के मुक़ाबले बड़ी लगती है — यह दूसरी चीज़ नाप रही है, कोई माप नहीं, एक हिस्सेदारी। यही हिसाब उस जानी-पहचानी बात का स्रोत है कि क़रीब हज़ार लोगों का सर्वेक्षण लगभग तीन अंक की त्रुटि की सीमा ढोता है।

3. वही 100 माप, 99% विश्वास स्तर पर

   1. मानक त्रुटि वही 12 / √100 = 1.2 रहती है, क्योंकि नमूने में कुछ बदला ही नहीं
   2. सिर्फ़ क्रांतिक मान हिलता है: 1.9842 की जगह 2.6264
   3. त्रुटि की सीमा: 2.6264 × 1.2 = 3.1517
   4. सीमाएँ: 50 ± 3.1517, यानी 46.8483 से 53.1517

   इसकी पहले उदाहरण से तुलना बिल्कुल वही दिखा देती है जो विश्वास स्तर ख़रीदता है: वही आँकड़े, वही मानक त्रुटि, और 32% चौड़ा अंतराल। स्तर ऊपर करने से कोई सूचना नहीं मिली — नमूने की जानकारी नहीं बदली, सिर्फ़ उसके बारे में कही गई बात बदली। इसीलिए 95% चलन है, और इसीलिए यह बताए बिना 99% का अंतराल उद्धृत करना सिर्फ़ सतर्कता नहीं, भ्रम फैलाना है।

दोनों शाखाएँ मान लेती हैं कि माप एक-दूसरे से स्वतंत्र हैं। एक ही यंत्र से लिए गए 500 माप, या 20 कक्षाओं के 500 विद्यार्थी, उतनी सूचना नहीं ढोते जितनी गिनती मान लेती है, और अंतराल जितना चाहिए उससे छोटा आ जाता है। दोनों यह भी मान लेती हैं कि अनुमान सच के इर्द-गिर्द लगभग सममित है: माध्य वाली शाखा इस पर टिकी है कि नमूना क़रीब-क़रीब सामान्य हो, या n इतना बड़ा हो कि t बंटन माफ़ कर दे, और अनुपात वाली इन दोनों में ज़्यादा नाज़ुक है — 0% या 100% के पास यह सूत्र बस ग़लत है, और इसीलिए पेज उन दो मानों को लेने से इनकार कर देता है, बजाय इसके कि ऐसे अनुपात के इर्द-गिर्द भरोसे के साथ एक सँकरा अंतराल लौटा दे जिसका अनुमान इस तरह लगाया ही नहीं जा सकता। सीमित समष्टि का सुधार यहाँ नहीं लगता; अगर नमूना किसी छोटी समष्टि का बड़ा हिस्सा हो, तो नमूने के आकार वाला पेज यह सुधार लगाता है और इस पेज के दिखाए आँकड़े से कम लोग माँगेगा।

विश्वास अंतराल का असल में क्या मतलब है?

यह एक ऐसी विधि से बनी सीमा है जो 95% स्तर पर 95% नमूनों में असली मान को पकड़ लेती है — यह नहीं कि इस ख़ास सीमा के भीतर असली मान होने की 95% प्रायिकता है। यह फ़र्क़ मायने रखता है क्योंकि असली मान तय है और अनजाना: वह या तो आपकी निकाली सीमाओं के भीतर है या बाहर, और उस पर कोई प्रायिकता नहीं टिकती। यह संख्या विधि की भरोसेमंदी का बखान करती है। व्यवहार में लोग इसे यों पढ़ते हैं कि अंतराल के बीच के मान सिरों के मानों से ज़्यादा विश्वसनीय हैं, और अंतराल के बाहर का कोई मान आँकड़ों से कुछ टकराव में है — और यही पुल उसे P-मान वाले पेज के परिकल्पना परीक्षणों से जोड़ता है।

माध्य में t क्यों लगता है और अनुपात में z?

क्योंकि माध्य के साथ आप केंद्र के साथ-साथ फैलाव का भी अनुमान लगा रहे हैं, और अनुपात के साथ नहीं। माध्य की मानक त्रुटि s / √n है, और s ख़ुद उसी नमूने से निकाला गया है, इसलिए अंतराल को उस अतिरिक्त अनिश्चितता का हिसाब देना पड़ता है — t बंटन ठीक यही करता है, और इसीलिए n = 100 पर उसका क्रांतिक मान 1.96 की जगह 1.9842 है। अनुपात में ऐसा दूसरा अनुमान नहीं है: उसके अनुमान का फैलाव अनुपात से ही निकलता है, p̂(1 − p̂) के ज़रिए, इसलिए सामान्य बंटन हर नमूने के आकार पर लागू होता है। दोनों इनपुट समूह हमेशा स्क्रीन पर दिखते रहते हैं; ऊपर का चयन तय करता है कि हिसाब किसे पढ़ेगा, और जो समूह नहीं चुना गया उसमें कुछ भी भरा हो, नतीजे पर कोई असर नहीं पड़ता।

त्रुटि की सीमा और मानक त्रुटि में क्या फ़र्क़ है?

मानक त्रुटि अनिश्चितता की एक इकाई है, और त्रुटि की सीमा यह कि अंतराल कितनी इकाइयाँ बाहर तक जाता है। त्रुटि की सीमा मानक त्रुटि को क्रांतिक मान से गुणा करके मिलती है, इसलिए 95% विश्वास स्तर पर बड़े नमूने के साथ यह मानक त्रुटि से लगभग दुगुनी होती है (उसकी 1.96 गुना) और 99% पर लगभग ढाई गुनी (2.5758)। दोनों पंक्तियाँ साथ छपती हैं ताकि दो-क़दम का ढाँचा दिख जाए: अगर आपको सँकरा अंतराल चाहिए तो हमला मानक त्रुटि वाली पंक्ति पर कीजिए, क्योंकि ज़्यादा आँकड़े जुटाने पर सिर्फ़ वही हिलती है। क्रांतिक मान सिर्फ़ विश्वास स्तर बदलने पर हिलता है।

क्या अंतराल 0% से नीचे या 100% से ऊपर जा सकता है?

हाँ, और पेज इसे चुपचाप काटने की जगह छाप देता है। 2 के नमूने पर 50% की सीमाएँ −19.3% और 119.3% बनती हैं, जो कोई ख़राबी नहीं: दो मापों से अनुपात के बारे में सचमुच लगभग कोई सूचना नहीं मिलती, और यह कह देने वाला अंतराल उस सीमा में दबा देने से ज़्यादा ईमानदार है जो अनुपात असल में ले सकता है। इसे यों पढ़िए कि 'यह नमूना यहाँ कुछ काम की बात नहीं बता सकता' और और आँकड़े जुटाइए। पेज सिर्फ़ ठीक 0% या 100% भरे जाने पर इनकार करता है, क्योंकि उन दो बिंदुओं पर सूत्र शून्य-चौड़ाई के फैलाव से भाग देता है और शून्य-चौड़ाई का अंतराल लौटाता — यानी निश्चितता का ऐसा दावा जो यह विधि उठा ही नहीं सकती। उलटी तरफ़ एक और बात देख लीजिए: मानक विचलन शून्य भरने पर पेज शिकायत नहीं करता, क्योंकि शून्य चौड़ाई का अंतराल यहाँ एक जायज़ जवाब है।

क्रांतिक मानों की तालिका कहाँ है?

इस पेज पर कोई तालिका नहीं है, और यह जान-बूझकर है। क्रांतिक मान की तालिका जिस काम के लिए लगाई जाती है, वह यहाँ पहले ही हो चुका: आप स्तर चुनते हैं, और उस स्तर का एक मान अपनी अलग पंक्ति में छप जाता है। तालिका बनानी हो तो उसे किसी एक विश्वास स्तर पर बनाना पड़ेगा, और 99% पर गया हुआ पाठक ऐसी तालिका देख रहा होता जो ऊपर के पैनल से उलटी बात कहती है — यानी वही ख़राबी जिसमें पेज ख़ुद से ही बहस करने लगता है। t बंटन की एक और मुश्किल है, क्योंकि उसका क्रांतिक मान स्तर के साथ-साथ स्वतंत्रता की कोटि पर भी निर्भर है, जिसके लिए तालिका नहीं, पूरा जाल चाहिए। स्तर और स्वतंत्रता की कोटि को इनपुट की तरह लेने वाला समर्पित क्रांतिक मान कैलकुलेटर उस खोज की जगह है।

• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the source of the critical values this page multiplies the standard error by, and of the tail areas they leave behind) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• Measures of Scale — e-Handbook of Statistical Methods, section 1.3.5.6 (the standard deviation the standard error is built from, and why a spread estimated from a sample is itself an estimate with a distribution) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 3.1 Terminology — Introductory Statistics 2e (relative frequency as an estimate of a probability, which is the step that lets a sample proportion stand in for the population proportion) — OpenStax (Rice University)