p-मान कैलकुलेटर

ऊपरी पुच्छ: p = P(T ≥ t) निचली पुच्छ: p = P(T ≤ t) दोनों पुच्छ: p = 2 · min( ऊपरी, निचली ) — सिर्फ़ सममित बंटनों पर

t

वह परीक्षण सांख्यिकी जिसे आप पहले ही निकाल चुके हैं — बड़े नमूने से आया z, छोटे नमूने से आया t, गिनी गई श्रेणियों से आया काई-वर्ग, या दो प्रसरणों के अनुपात से आया F। यह पेज उसे निकालता नहीं, बदलता है

T

वह बंटन जिसका पालन यह सांख्यिकी शून्य परिकल्पना सच होने पर करती। कौन-सा बंटन है, यह चार-तरफ़ा चयनकर्ता तय करता है, और यह चुनाव पसंद का मामला नहीं है: जहाँ t बैठता है वहाँ सामान्य बंटन लगाने से हर P-मान ज़रूरत से छोटा आ जाता है

df

स्वतंत्रता की कोटि — यह इस बात का गुण है कि सांख्यिकी कैसे बनी, आँकड़ों का नहीं, और t, काई-वर्ग तथा F को इसकी ज़रूरत पड़ती है। F को दो चाहिए: अंश की स्वतंत्रता की कोटि, यानी तुलना किए जा रहे समूहों या पदों की संख्या, और हर की, जो बचे हुए नमूने के आकार से आती है

α

सार्थकता स्तर, वह लकीर जिससे P-मान की तुलना होनी है। यह इस पेज पर इनपुट नहीं है क्योंकि यह गणना का हिस्सा नहीं: यह उस फ़ैसले का हिस्सा है जो आप करने वाले हैं, और 0.05 को डिफ़ॉल्ट मानकर वहीं फ़ैसला छाप देना आपकी तरफ़ से वह लकीर चुन लेना होता

p

पुच्छ की प्रायिकता, जो दशमलव के बजाय प्रतिशत में बताई जाती है। 0.05 का P-मान स्क्रीन पर 5.0000 दिखता है, इसलिए वहाँ लिखा आँकड़ा किसी बताए हुए सार्थकता स्तर से सीधे मिलाया जा सकता है, पहले दशमलव हिलाने की ज़रूरत नहीं

इसे तब लगाइए जब सांख्यिकी हाथ में हो और उससे जुड़ी प्रायिकता चाहिए — किसी किताबी सवाल से जहाँ सांख्यिकी दी हुई है, ऐसे सॉफ़्टवेयर से जिसने सांख्यिकी छापी पर P-मान नहीं, या अपने हाथ के हिसाब को जाँचने के लिए। सबसे ज़्यादा मायने रखने वाला चुनाव पुच्छ की सेटिंग है, और उसका नियम आँकड़े देखने से पहले तय होता है, बाद में नहीं: दोनों पुच्छ तब चुनिए जब शून्य परिकल्पना से हटना किसी भी दिशा में मायने रखता हो — जो आम मामला है — और एक पुच्छ वाला परीक्षण तभी जब उलटी दिशा का नतीजा आपके लिए किसी काम का ही न हो और यह बात आपने पहले कह दी हो। दूसरा चुनाव बंटन का है। उसे इस बात से मिलाइए कि सांख्यिकी कैसे बनी, इससे नहीं कि आप कौन-सा P-मान देखना चाहते हैं: z किसी अनुपात या ज्ञात प्रसरण वाले माध्य का होता है, t ऐसे माध्य का जिसका फैलाव उसी छोटे नमूने से निकला हो, काई-वर्ग गिनी गई श्रेणियों का, और F प्रसरणों की तुलना का। यह जोड़ी ग़लत बैठाना ही वह सबसे आम तरीक़ा है जिससे सही अंकगणित बेमतलब संख्या दे डालता है।

1. 1.96 का z, दोनों पुच्छ की क्लासिक लकीर

   1. ऊपरी पुच्छ: P(Z ≥ 1.96) = 0.025002, मानक सामान्य बंटन से निकाला गया
   2. सामान्य वक्र सममित है, इसलिए निचली पुच्छ भी उतनी ही है: P(Z ≤ −1.96) = 0.025002
   3. दोनों पुच्छ: 2 × 0.025002 = 0.050004
   4. प्रतिशत में: 5.0000%, यानी वही 5% जिसे सब उद्धृत करते हैं
   5. यानी z के लिए स्वतंत्रता की कोटि की कोई भूमिका नहीं, और पैनल का P-मान सपाट 5.0000 के बजाय 4.9996 बैठता है

   1.96 ठीक इसीलिए चुना गया है कि जवाब 5% पर आए, और सपाट 5.0000 के बजाय 4.9996 देखना कोई ग़लती नहीं — असली चतुर्थक 1.959964 है, यानी 1.96 ख़ुद एक पूर्णांकन है। तीनों स्वतंत्रता-कोटि वाले ख़ाने भरे हुए हैं, पर पढ़ा सिर्फ़ सांख्यिकी और पुच्छ की सेटिंग से जाता है, क्योंकि z को किसी स्वतंत्रता की कोटि की ज़रूरत नहीं: बेकार के दोनों ख़ाने हमेशा स्क्रीन पर रहते हैं, और उनमें ख़ाली या अनदेखा मान रखने से कुछ नहीं बदलता।

2. 10 स्वतंत्रता की कोटि पर t = 2.2281

   1. 10 स्वतंत्रता की कोटि वाले t बंटन की पुच्छें सामान्य वक्र से भारी होती हैं
   2. ऊपरी पुच्छ: P(T ≥ 2.2281) = 0.0250015
   3. दोनों पुच्छ: 2 × 0.0250015 = 0.050003, यानी 5.0003%
   4. इसी को z वाले उदाहरण से मिलाइए: वही 5% क्षेत्र अब 1.96 पर नहीं, 2.2281 पर बैठता है
   5. यानी P-मान लगभग वही रहा और लकीर दूर चली गई — छोटे नमूने की क़ीमत यही है

   इसकी तुलना z वाले उदाहरण से कीजिए और t बंटन की पूरी बात दिख जाती है: 5% का वही पुच्छ-क्षेत्र 1.96 के बजाय 2.2281 पर बैठता है, क्योंकि छोटे नमूने को उतना ही असाधारण दिखने के लिए और दूर तक जाना पड़ता है। यही अंतर नमूने का आकार तय करता है — 1000 स्वतंत्रता की कोटि पर t का क्रांतिक मान 1.962 होता है, और दोनों बंटन व्यवहार में एक ही वक्र बन जाते हैं।

3. तीन स्वतंत्रता की कोटि पर काई-वर्ग 20, सिर्फ़ ऊपरी पुच्छ

   1. काई-वर्ग बंटन का ऋणात्मक आधा होता ही नहीं, इसलिए यहाँ सिर्फ़ ऊपरी पुच्छ उपलब्ध है
   2. 3 स्वतंत्रता की कोटि पर P(χ² ≥ 20) = 0.00016975
   3. प्रतिशत में: 0.017%
   4. यानी P-मान बहुत छोटा निकला, इसलिए चारों श्रेणियाँ बराबर संभावना वाली नहीं हैं
   5. ध्यान दीजिए कि यहाँ सबसे छोटी अपेक्षित गिनती की जाँच नहीं होती — वह दूसरे पन्ने का काम है

   यह वही सांख्यिकी है जो काई-वर्ग का पेज 30, 10, 20 और 40 की गिनतियों से बराबर अपेक्षा के मुक़ाबले निकालता है। P-मान छोटा आया — 0.017% — इसलिए चारों श्रेणियाँ बराबर संभावना वाली नहीं हैं। यह भी देखिए कि यहाँ क्या नहीं है और अलग से पूछना पड़ेगा: यह पेज बताता है कि सांख्यिकी कितनी असाधारण है, और सबसे छोटी अपेक्षित गिनती के बारे में कुछ नहीं कहता — जबकि वही जाँच तय करती है कि काई-वर्ग का सन्निकटन यहाँ जायज़ था भी या नहीं।

P-मान एक ही सवाल का जवाब देता है और उसे अक्सर कई ऐसे सवालों का जवाब समझ लिया जाता है जो वह दे ही नहीं सकता। यह न शून्य परिकल्पना के सच होने की प्रायिकता है, न नतीजे के महज़ संयोग से आ जाने की, और न इस बात का नाप कि असर कितना बड़ा है — काफ़ी बड़ा नमूना हो तो नाममात्र का फ़र्क़ भी ज़बरदस्त सार्थक बन जाता है, और कोई बड़ा असर बारह लोगों के नमूने में 0.20 के P-मान पर बैठा रह सकता है। यह उतना ही भरोसेमंद है जितना सांख्यिकी के पीछे का नमूना-मॉडल: यहाँ के चारों बंटन यह मानकर चलते हैं कि प्रेक्षण एक-दूसरे से स्वतंत्र हैं, और समूहों में बँटे या दोहराए गए मापों से निकली सांख्यिकी में स्वतंत्र प्रेक्षणों की संख्या उसके सूत्र के अनुमान से कम होती है, जिससे उसका हर बताया गया P-मान ज़रूरत से छोटा आ जाता है। दो रोक यहाँ लागू की जाती है, पाठक पर नहीं छोड़ी जाती। ऋणात्मक सांख्यिकी काई-वर्ग और F पर ठुकरा दी जाती है, क्योंकि वे बंटन धनात्मक आधे पर ही रहते हैं और ऋणात्मक मान का मतलब है कि सांख्यिकी ग़लत निकाली गई। और काई-वर्ग या F पर दोनों पुच्छ ठुकरा दिए जाते हैं, क्योंकि वे बंटन असममित हैं और उनके लिए दो-पुच्छी की कोई एक स्वीकृत परिपाटी नहीं है।

P-मान क्या होता है?

यह उस परीक्षण सांख्यिकी के मिलने की प्रायिकता है जो आपके पास है या उससे भी चरम हो, बशर्ते शून्य परिकल्पना सच हो और सांख्यिकी के पीछे का मॉडल ठीक हो। यह आँकड़ों का बयान करता है, परिकल्पना का नहीं: छोटा P-मान कहता है कि अगर कुछ हो ही नहीं रहा होता तो यह नतीजा असाधारण लगता, जो यह कहने के बराबर नहीं कि कुछ हो रहा है। वहाँ से नतीजे तक का रास्ता उस सार्थकता स्तर से होकर जाता है जिसे आप पहले चुनते हैं, और उस पूरे विषय-ज्ञान से जो इन संख्याओं में नहीं है।

एक पुच्छ लूँ या दोनों?

दोनों, जब तक कि आपने आँकड़े देखने से पहले कुछ और तय न किया हो और यह न बता सकें कि किस दिशा की भविष्यवाणी की थी। दोनों पुच्छ वाला परीक्षण किसी भी दिशा के नतीजे को शून्य परिकल्पना के ख़िलाफ़ सबूत गिनता है, जो ज़्यादातर सवालों की असली शक्ल से मेल खाता है: ऐसी दवा जो हालत बिगाड़ दे, वह भी एक नतीजा है। एक पुच्छ वाला परीक्षण जायज़ है, पर वह P-मान आधा कर देता है, और आँकड़े देखने के बाद पुच्छ चुन लेना ही कुछ नहीं से सार्थक नतीजा गढ़ने का सबसे आम तरीक़ा है। अगर तय न कर पाएँ तो दोनों पुच्छ लीजिए — वह ज़्यादा सतर्क चुनाव है और समीक्षक भी वही उम्मीद करता है।

इस P-मान की तुलना किस सार्थकता स्तर से करनी चाहिए?

जो आपने आँकड़े जुटाने से पहले तय किया था — परंपरा से 0.05, पर वह परंपरा एक आदत है, कोई नतीजा नहीं। यह इस पेज पर जान-बूझकर इनपुट नहीं है और कोई फ़ैसला नहीं छपता, क्योंकि वही 0.04 का P-मान एक जगह खोज है और दूसरी जगह शोर: दस हज़ार जीन में कोई संकेत खोजना, या ऐसी एक परिकल्पना जाँचना जिसके पीछे दशक भर का काम है, दोनों बहुत अलग लकीरें माँगते हैं। रखने लायक बात बस इतनी है कि स्तर पहले चुना जाए और P-मान के साथ बताया जाए, संख्या स्क्रीन पर आने के बाद घुमाया न जाए।

काई-वर्ग या F के लिए दोनों पुच्छ क्यों नहीं चुन सकते?

क्योंकि वे दोनों बंटन असममित हैं, और उन्हें दो-पुच्छी बनाने का कोई एक स्वीकृत तरीक़ा नहीं है। चलता हुआ नुस्ख़ा — छोटी पुच्छ को दुगना कर दो — ठीक वहीं बिगड़ता है जहाँ बात सबसे ज़्यादा मायने रखती है: काई-वर्ग ठीक 0 पर, जो प्रेक्षण और अपेक्षा के बीच पूरी तरह मेल है और इसलिए सबसे कम सार्थक नतीजा है, वह 0% का P-मान लौटाता है। पूरे मेल को सबसे सार्थक बताना पूर्णांकन की गड़बड़ नहीं, सीधा ग़लत जवाब है, और वह स्क्रीन पर एकदम सामान्य दिखते हुए आता। सममित बंटन पर दोनों पुच्छ निर्विवाद हैं, क्योंकि वहाँ एक को दुगना करना ठीक-ठीक काम करता है; और असममित पर अकेला ऊपरी पुच्छ ही वह सवाल जवाब देता है जो असल में पूछा जाता है: इतनी बड़ी सांख्यिकी कितनी चौंकाने वाली है?

ऋणात्मक काई-वर्ग या F सांख्यिकी यह पेज क्यों ठुकरा देता है?

क्योंकि इनमें से कोई भी सांख्यिकी ऋणात्मक हो ही नहीं सकती, इसलिए ऋणात्मक मान का मतलब है कि वह संख्या कहीं और से आई है, उस परीक्षण से नहीं जिसके नाम पर उसे लगाया जा रहा है। दोनों वर्गित राशियों से बनती हैं — काई-वर्ग गिनतियों के बीच वर्गित अंतरों से, और F दो प्रसरणों के अनुपात से — और वर्गित राशि कभी शून्य से नीचे नहीं जाती। पेज 100% लौटा सकता था और अंकगणित के हिसाब से वह ठीक होता, पर तब वह ग़लत निकाले गए इनपुट को स्वीकार करके उसे असली नतीजे की शक्ल दे देता। इनकार करने में यहाँ कुछ नहीं जाता, क्योंकि ठुकराने के लिए कोई जायज़ ऋणात्मक काई-वर्ग मौजूद ही नहीं है।

इस पेज पर क्रांतिक मान की कोई तालिका क्यों नहीं है?

क्योंकि P-मान की तालिका की पंक्तियाँ परीक्षण सांख्यिकी से बनानी पड़तीं, और सांख्यिकी कोई भी संख्या हो सकती है, इसलिए ऐसी तालिका में अनगिनत पंक्तियाँ चाहिए। किताब के पीछे छपी तालिका उलटी दिशा में चलती है: परंपरागत सार्थकता स्तरों के लिए गिनी-चुनी पंक्तियाँ और संभावित स्वतंत्रता की कोटियों के लिए स्तंभ, जो इसीलिए एक पन्ने पर आ जाती है कि स्तर थोड़े हैं और पहले से तय हैं। यह पेज ठीक उसी सांख्यिकी पर पुच्छ-क्षेत्र निकालता है जो आपने लिखी — और यही एक काम तालिका नहीं कर सकती, वह बस बता सकती है कि आपकी संख्या उन मानों से ऊपर गिरी या नीचे जो संयोग से उसमें छपे हैं। इसी समूह की सबसे नज़दीकी तालिका क्रांतिक मान वाले पेज पर है, जहाँ पंक्तियाँ सार्थकता स्तर हैं और स्तंभ उनके z देते हैं। दोनों पेज एक ही तथ्य को दो सिरों से पढ़ते हैं, इसीलिए हर एक अपने जुड़े कैलकुलेटरों में पहले दूसरे को जोड़ता है।

• 1.3.6.7.1. Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the cumulative function a tail probability is read from, and the table it is normally looked up in) — National Institute of Standards and Technology (NIST)
• 6.2 Using the Normal Distribution — Introductory Statistics 2e (reading probabilities off a normal curve, including the upper and lower complements a two-tailed test is assembled from) — OpenStax, Rice University
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (a test statistic as a quantity with a distribution under a stated hypothesis, which is what makes a tail area meaningful) — National Institute of Standards and Technology (NIST)