ढाल-अंतःखंड रूप कैलकुलेटर

बिंदु (x₁, y₁) और (x₂, y₂) → m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) → b = y₁ − m·x₁ → y = m·x + b

m

ढाल: x के एक क़दम के बदले y कितना बदलता है। यह चढ़ाई बटा दौड़ है, और इसका चिह्न दिशा बताता है — धनात्मक चढ़ती है, ऋणात्मक गिरती है, शून्य का मतलब क्षैतिज रेखा। ढाल 4 का मतलब है कि x में 1 जुड़ने पर y में 4 जुड़ता है, और बने हुए समीकरण में यही संख्या x के सामने गुणांक बनकर खड़ी रहती है।

b

y-अंतःखंड: वह ऊँचाई जहाँ रेखा y अक्ष को काटती है, यानी x = 0 पर रेखा की ऊँचाई। किसी बिंदु से ढाल का हिस्सा घटाने पर जो बचता है वही यह है, और इस पेज पर यह अकेली ऐसी संख्या है जिसे समीकरण से सीधे पढ़ा जाता है।

(x₁, y₁), (x₂, y₂)

दो बिंदु। इनमें से किसी को भी पहला कहा जा सकता है: दोनों को उलटने पर ढाल के अंश और हर, दोनों का चिह्न पलटता है, और दोनों पलटाव कट जाते हैं। दोनों का x एक ही नहीं होना चाहिए, क्योंकि तब भाग शून्य से होने लगता है।

x, y

बने हुए समीकरण के दो चर। जोड़ा जो भी इसे संतुष्ट करे वह इस रेखा पर बैठता है, और यही समीकरण को काम का बनाता है: कोई भी x रखिए और ऊपर वाले बिंदु का y मिल जाता है, बिना उन दो बिंदुओं की ज़रूरत जो शुरू में दिए गए थे।

इसे तब उठाइए जब रेखा अपने दो बिंदुओं से बताई गई हो और उसका रैखिक समीकरण चाहिए: किसी तालिका की दो पंक्तियाँ, ग्राफ़ पर दो जगहें, या कोई शुरुआती मान और उसके बाद का एक मापन। ढाल बताती है कि बदलाव कितनी तेज़ी से हो रहा है, और अंतःखंड बताता है कि शुरुआत कहाँ से हुई। अगर सिर्फ़ ढाल चाहिए तो ढाल कैलकुलेटर सीधा जवाब देता है, दो बिंदुओं के बीच किसी तीसरे x का मान चाहिए तो रैखिक अंतर्वेशन कैलकुलेटर, और ढाल के साथ सिर्फ़ एक बिंदु मालूम हो तो बिंदु-ढाल रूप कैलकुलेटर। इस पेज की अपनी पहचान यही है कि मुख्य जवाब कोई एक संख्या नहीं बल्कि पूरा समीकरण है।

1. (1, 2) और (3, 10) — आम मामला

   1. चढ़ाई: 10 − 2 = 8, और दौड़: 3 − 1 = 2
   2. ढाल: m = 8 ÷ 2 = 4
   3. अंतःखंड: b = 2 − 4 × 1 = −2
   4. समीकरण: y = 4x - 2

   दोनों बिंदुओं पर जाँच लेना ही आदत बना लेने लायक है: x = 1 पर 4 × 1 − 2 = 2 ✓, और x = 3 पर 4 × 3 − 2 = 10 ✓। यह भी देखिए कि दोनों बिंदु y अक्ष के ऊपर हैं और फिर भी y-अंतःखंड ऋणात्मक है — रेखा इतनी तेज़ चढ़ती है कि अक्ष को पहले बिंदु से काफ़ी बाईं ओर, x = 0.5 पर काटती है।

2. (0, 1) और (2, 2) — ढाल जो पूरी संख्या नहीं है

   1. चढ़ाई: 2 − 1 = 1, और दौड़: 2 − 0 = 2
   2. ढाल: m = 1 ÷ 2 = 0.5
   3. पहला बिंदु पहले से y अक्ष पर है, इसलिए अंतःखंड उसी से निकल आता है: b = 1 − 0.5 × 0 = 1
   4. समीकरण: y = (1/2)x + 1

   गुणांक पर कोष्ठक इसलिए लगता है कि 1/2x पढ़ने में 1 बटा 2x लगता है। यहाँ पैनल की दोनों पंक्तियाँ समीकरण से बिल्कुल मेल खाती हैं: संख्या वाली पंक्ति 0.500000 कहती है और समीकरण (1/2), जो उसी संख्या की दूसरी वर्तनी है। भिन्न तभी लिखा जाता है जब छोटा करने पर बचा हर ठीक-ठीक बैठता हो और हज़ार से बड़ा न हो — इसलिए 1/1000 तक (1/1000) छपता है, जबकि 1/1001 से 0.000999 बनता है और 1/999 से 0.001001।

3. (1, 3) और (5, 3) — क्षैतिज रेखा

   1. चढ़ाई: 3 − 3 = 0, और दौड़: 5 − 1 = 4
   2. ढाल: m = 0 ÷ 4 = 0
   3. अंतःखंड: b = 3 − 0 × 1 = 3
   4. समीकरण: y = 3, क्योंकि ढाल वाला पद कुछ जोड़ता ही नहीं

   ढाल शून्य होने पर समीकरण सिकुड़ जाता है: उसमें x बचता ही नहीं, और y = 0x + 3 लिखना सिर्फ़ एक ऐसा पद जोड़ता जो हमेशा शून्य रहता है। यही एक जगह है जहाँ छपा समीकरण y = mx + b जैसा दिखना बंद कर देता है, और यह छूट नहीं बल्कि सही बात है — रेखा के हर बिंदु पर y = 3 ही है, x कुछ भी हो। पैनल यहाँ ढाल 0.000000 और y-अंतःखंड 3.000000 दिखाता है, यानी संख्या वाली पंक्ति छह दशमलव तक गिनकर लिखी जाती है।

केवल सरल रेखाएँ, और वह भी दो अलग-अलग बिंदुओं से। दोनों बिंदुओं का x एक ही हो तो रेखा खड़ी होती है: उसकी ढाल परिभाषित नहीं होती, क्योंकि दौड़ शून्य है, और वह y अक्ष को कभी नहीं काटती, इसलिए ढाल-अंतःखंड रूप में उसका कोई जवाब नहीं है — पेज तब नतीजा देने से इनकार करता है और सामान्य संदेश दिखाता है, यह नहीं बताता कि गड़बड़ी किस बॉक्स में है। ऐसी रेखा का सही जवाब x = 3 जैसा कुछ होता है, जो इस पेज का आउटपुट नहीं है। पूरी तरह मेल खाते दो बिंदु भी वही मामला हैं, क्योंकि एक अकेले बिंदु से असीमित रेखाएँ जाती हैं। दस लाख के क़रीब यह भी होता है कि दो x आपस में इतने क़रीब हों कि भाग उन्हें एक ही मान ले: (999999.9999, 0) और (999999.9999000001, 1000000) खड़ी रेखा वाला इनकार पाते हैं, जबकि (999999.9999000002, 1000000) बराबर की स्थिति में चल जाता है। ढाल पहले छह दशमलव तक गोल होती है और अंतःखंड उसी गोल संख्या से निकाला जाता है, ताकि पैनल की दोनों संख्याएँ नीचे छपे समीकरण से मेल खाएँ। क़ीमत आवर्ती ढाल पर दिखती है: (1, 1) और (4, 2) से y = 0.333333x + 0.666667 बनता है, जो पहले बिंदु पर ठीक बैठता है और दूसरे को 0.000001 से चूक जाता है — x = 4 पर वह 2 नहीं, 1.999999 देता है। निर्देशांक दस लाख के परिमाण तक सीमित हैं, यानी -10,00,000 से 10,00,000 तक, और इससे बाहर के इनपुट पर उसी बॉक्स के नीचे लाल संदेश आ जाता है; यह सीमा सिर्फ़ इनपुट पर है, छपे हुए मानों पर नहीं। छपाई में दो परंपराएँ साथ चलती हैं और बड़े अंकों पर एक ही जवाब में दिख जाती हैं: समीकरण के भीतर संख्याएँ बिना समूहन के लिखी जाती हैं, जबकि संख्या वाली पंक्ति भारतीय समूहन लगाती है — (0, 0) और (0.000000001, 1000000) पर समीकरण y = 1000000000000000x कहता है और संख्या 1,00,00,00,00,00,00,000.000000 दिखाती है। इससे भी आगे बढ़ने पर समीकरण बहुत बड़े y-अंतःखंड को विज्ञान-शैली में लिख देता है, जबकि संख्या की पंक्ति पूरे अंक लिखती रहती है: (999999.9999, 0) और (999999.9999000002, 1000000) पर समीकरण - 8.589934591141007e+21 कहता है और संख्या -8,58,99,34,59,11,41,00,70,00,000.000000 दिखाती है। समीकरण छपता है, हल नहीं किया जाता: पेज यह नहीं बताता कि रेखा x अक्ष को कहाँ काटती है, न यह कि दो रेखाएँ समांतर हैं या नहीं, और न किसी और x के लिए y का मान। कहीं कोई मात्रक नहीं है, क्योंकि निर्देशांक एक संख्या है, कोई माप नहीं।

कौन सा बिंदु पहले डालना चाहिए?

कोई भी — जवाब नहीं बदलता। दोनों बिंदुओं को उलटने पर (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) के अंश और हर, दोनों का चिह्न पलट जाता है, और दोनों पलटाव कट जाते हैं; अंतःखंड भी एक बिंदु और ढाल से ही बनता है, इसलिए वह भी वही रहता है। (1, 2) और (3, 10) दोनों क्रमों में y = 4x - 2 ही देते हैं। सिर्फ़ इतना ध्यान रखिए कि एक ही बिंदु के दोनों निर्देशांक एक साथ भरे जाएँ — x₁ के साथ y₁, और x₂ के साथ y₂।

दोनों बिंदुओं का x एक ही हो तो क्या होता है?

तब रेखा खड़ी होती है और पेज नतीजा देने से इनकार कर देता है। खड़ी रेखा की ढाल होती ही नहीं — दौड़ शून्य है, तो भाग का कोई जवाब नहीं — और वह y अक्ष को कभी नहीं काटती, इसलिए m और b के किसी भी मान से y = mx + b उसे बयान नहीं कर सकता। ऐसी रेखा x = 3 जैसी किसी शक्ल में लिखी जाती है, जिसमें न ढाल है न y-अंतःखंड, और वह इस पेज के दायरे से बाहर है।

ढाल गोल क्यों की जाती है, और आवर्ती दशमलव पर क्या होता है?

ढाल छह दशमलव तक गोल की जाती है, और अंतःखंड उसी गोल मान से निकाला जाता है, ठीक मान से नहीं। यह जान-बूझकर है: इससे पैनल की दोनों संख्याएँ नीचे छपे समीकरण से बिल्कुल मेल खाती हैं और जवाब हाथ से जाँचा जा सकता है। क़ीमत आवर्ती ढाल पर चुकानी पड़ती है: (1, 1) और (4, 2) से y = 0.333333x + 0.666667 बनता है, जो पहले बिंदु से ठीक गुज़रता है और दूसरे बिंदु को 0.000001 से चूक जाता है — x = 4 पर वह 2 नहीं बल्कि 1.999999 देता है।

यह बिंदु-ढाल रूप कैलकुलेटर से कैसे अलग है?

इनपुट अलग हैं। यह पेज दो बिंदु लेता है, जो आम तौर पर मिलते हैं; बिंदु-ढाल रूप पेज एक बिंदु और पहले से मालूम ढाल लेता है, और समीकरण को उस शक्ल में लिखता है जिसमें वह बिंदु दिखता रहे। दोनों एक ही रेखा बताते हैं, इसलिए इन्हें एक के बाद एक इस्तेमाल किया जा सकता है: यहाँ से ढाल और अपना पहला बिंदु उठाइए, और बिंदु-ढाल रूप पेज वही रेखा दूसरी तरफ़ से लिख देगा।

समीकरण में कभी भिन्न दिखता है और कभी दशमलव, क्यों?

जो दशमलव जल्दी ख़त्म हो जाता है और जिसका हर छोटा है, उसे भिन्न में लिखा जाता है — 0.5 से (1/2) बनता है, 0.25 से (1/4) — क्योंकि ढाल हाथ से आम तौर पर इसी तरह लिखी जाती है। नियम यह है कि छोटा करने पर बचा हर ठीक-ठीक बैठता हो और हज़ार से बड़ा न हो: इसलिए 1/1000 तक (1/1000) छपता है, जबकि 1/1001 से 0.000999 बनता है और 1/999 से 0.001001। इससे लंबा कुछ भी छह दशमलव तक गोल होकर लौटता है, इसलिए एक तिहाई 0.333333 बनकर आता है। दोनों शक्लों में संख्या वही रहती है, और ऊपर की ढाल वाली संख्या उससे हमेशा मेल खाती है — समीकरण (1/2) कहे तो वहाँ 0.500000 लिखा होता है।

जवाब हाथ से कैसे जाँचा जाए?

अपने किसी भी x को छपे समीकरण में रखकर देखिए कि उस बिंदु का y आता है या नहीं। (1, 2) और (3, 10) पर समीकरण y = 4x - 2 है; x = 1 पर 2 आता है और x = 3 पर 10 — दोनों बिंदु रेखा पर बैठे हैं। अगर कोई बिंदु फ़ेल हो तो ऊपर छपी ढाल और y-अंतःखंड वही दो संख्याएँ हैं जिनसे अपना हिसाब मिलाया जा सकता है। एक बात ध्यान रखिए: आवर्ती ढाल पर छपी रेखा दूसरे बिंदु को 0.000001 से चूक सकती है, जैसा (1, 1) और (4, 2) के साथ होता है।

• Slope — rise over run, and the sign conventions this page's first output follows — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — the object all of this is about, and the several forms its equation can take — Wolfram MathWorld (United States)
• Linear equation — y = mx + b as the two-variable equation it is, with a slope and an intercept — Wolfram MathWorld (United States)