रैखिक अंतर्वेशन कैलकुलेटर

y = y₁ + (x − x₁) × (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) t = (x − x₁) ÷ (x₂ − x₁) y = (1 − t)·y₁ + t·y₂

x₁, y₁

पहला ज्ञात बिंदु। यह रेखा को टिकाता है: x ठीक x₁ के बराबर हो तो सूत्र बिल्कुल y₁ लौटाता है, क्योंकि दूरी वाला पूरा पद शून्य हो जाता है। x₁ को शून्य रखना मना नहीं है और आम भी है, क्योंकि तब यह बिंदु y अक्ष पर बैठ जाता है।

x₂, y₂

दूसरा ज्ञात बिंदु। दो बिंदु मिलकर रेखा तय कर देते हैं, और सीधी रेखा को इससे ज़्यादा कुछ चाहिए भी नहीं। इनके x अलग-अलग होने चाहिए: एक ही x पर खड़े दो बिंदु खड़ी रेखा बताते हैं, जहाँ एक x के सामने एक साथ हर y आ जाता है और कोई अकेला जवाब बचता ही नहीं।

x

वह स्थान जिस पर आपको मान चाहिए। इसका दोनों बिंदुओं के बीच होना ज़रूरी नहीं — उस दायरे से बाहर भी वही व्यंजक चलता रहता है और जवाब अंतर्वेशन के बजाय बहिर्वेशन बन जाता है, इसीलिए यहाँ उसे रोका नहीं जाता बल्कि बताया जाता है।

t

रेखाखंड पर स्थिति: पहले बिंदु से नापकर, बिंदु रेखा पर कितनी दूर आ चुका है। पहले बिंदु पर यह 0 है, ठीक बीच में 0.5 और दूसरे पर 1, और यही वह भार है जिसमें दोनों y मिलाए जाते हैं — यानी वह अनुपात जिसमें बिंदु रेखाखंड को बाँटता है।

इसे तब उठाइए जब दो नापें मालूम हों और उनके बीच का कोई मान चाहिए हो: दो तालिका-प्रविष्टियों के बीच कोई पाठ, दो अवलोकनों के बीच किसी तारीख़ का मान, या कोई भी ऐसी जोड़ी जिसके बारे में यह मान लिया गया हो कि दोनों सीधी रेखा की तरह साथ चलते हैं। जब वही दो बिंदु ढलान नापने के लिए लिए गए हों, तो वह ढाल कैलकुलेटर का काम है; जब ठीक बीच का मान चाहिए हो, तो वह मध्यबिंदु कैलकुलेटर का; और जब दोनों के बीच का बदलाव प्रति इकाई पढ़ना हो, तो वह औसत परिवर्तन दर कैलकुलेटर का। इस पेज की अपनी पहचान वह t है जो बाक़ी तीनों पर नहीं छपता, और यही वह संख्या है जो बताती है कि आप जवाब को साधारण औसत समझ रहे हैं या भारित।

1. (1, 2) और (3, 8) के ठीक बीच

   1. y में बदलाव 8 − 2 = 6 है, और x में बदलाव 3 − 1 = 2
   2. x में हर 1 के बदले रेखा y में 3 चढ़ती है, इसलिए ढाल 3 है
   3. x = 2, 2 इकाई के अंतराल पर 1 इकाई चल चुका है, इसलिए रेखाखंड पर स्थिति 1 ÷ 2 = 0.5
   4. दोनों मानों को उसी अनुपात में मिलाइए: (1 − 0.5) × 2 + 0.5 × 8 = 1 + 4 = 5
   5. अंतर्वेशित मान y = 5

   डिफ़ॉल्ट मामला, और वही जिसे दो बार पढ़ने लायक है: आधे पर जवाब दोनों y मानों, 2 और 8, का सीधा औसत होता है। यह ठीक बीच में गिरने का संयोग है, नियम नहीं — रास्ते के एक-चौथाई पर जवाब 3.5 होता।

2. नीचे गिरती हुई रेखा

   1. y में बदलाव −20 − 0 = −20 है, और x में बदलाव 10 − 0 = 10
   2. ढाल −20 ÷ 10 = −2 है, यानी x में हर 1 चलने पर रेखा y में 2 नीचे गिरती है
   3. x = 4, 10 इकाई के अंतराल पर 4 इकाई चल चुका है, इसलिए रेखाखंड पर स्थिति 0.4
   4. मिलाइए: 0.6 × 0 + 0.4 × (−20) = −8
   5. अंतर्वेशित मान y = −8

   इसके दोनों सिरे चिह्नित हैं, और यही इसे हाथ से जाँचने लायक बनाता है: दौड़ 10 है, −10 नहीं, और जवाब दोनों ज्ञात मानों के बीच गिरता है, उनके पार नहीं। अंतराल को उलटकर पढ़ने पर ढाल और भाग दोनों का चिह्न पलट जाता और y जहाँ था वहीं रहता — इसीलिए जवाब के बग़ल में भाग भी छपता है।

3. आख़िरी बिंदु के आगे पूछना

   1. पहले उदाहरण वाली ही रेखा: x में हर 1 के बदले y में 3 की चढ़ाई
   2. x = 4, 2 इकाई के अंतराल पर 3 इकाई चल चुका है, इसलिए रेखाखंड पर स्थिति 3 ÷ 2 = 1.5
   3. भाग 1 से ऊपर है, और यही बताता है कि बिंदु दूसरे ज्ञात मान के पार पड़ता है
   4. मिलाइए: (1 − 1.5) × 2 + 1.5 × 8 = −1 + 12 = 11
   5. मान y = 11

   यह बहिर्वेशन है, और यही वजह है कि स्थिति को अंतराल में क़ैद करने के बजाय सादा संख्या छापा जाता है। 1.5 का भाग कहता है कि बिंदु दूसरे सिरे से आधा खंड आगे बैठा है; अंकगणित अंतर्वेशन जैसा ही है, सिर्फ़ पढ़ने का तरीक़ा बदलता है।

दोनों ज्ञात बिंदुओं के x अलग-अलग होने चाहिए। एक ही x पर खड़े दो बिंदु खड़ी रेखा बताते हैं, जहाँ एक x के सामने अनगिनत y मान आते हैं और कोई अकेला अंतर्वेशित जवाब मौजूद नहीं होता — इसलिए वह इनपुट अनंत लौटाने के बजाय ठुकरा दिया जाता है। पाँचों संख्याएँ यानी पाँचों इनपुट बॉक्स दस लाख के परिमाण तक सीमित हैं, यानी −10,00,000 से 10,00,000 तक; इससे बाहर की कोई संख्या डालने पर पेज जवाब देने से इनकार कर देता है। यह सीमा सिर्फ़ इनपुट पर है — निकलने वाले तीनों मानों का कोई अपना बंधन नहीं है और वे इससे कई गुना बड़े आ सकते हैं: दो बिंदु जो 0.000001 की दूरी पर हों, उनकी ढाल 20,00,00,00,00,000 छपती है, और भाग 10,00,000 तक जाता है। अंतराल से बाहर के x स्वीकार किए जाते हैं और बताए जाते हैं, ठुकराए नहीं जाते: स्थिति 1 से ऊपर या 0 से नीचे लौटकर आती है, और वही पेज का यह कहना है कि उसने बहिर्वेशन किया है। जो बात यह पेज आपको नहीं बता सकता वह यह है कि बहिर्वेशन समझदारी थी या नहीं — दो बिंदुओं से खींची गई सीधी रेखा उनके आगे क्या होगा इस पर कुछ नहीं कहती, और कोई विश्वास-आँकड़ा भी नहीं छपता, क्योंकि दो बिंदु उसे सँभाल ही नहीं सकते।

रैखिक अंतर्वेशन क्या है?

दो ज्ञात बिंदुओं से होकर सीधी रेखा खींचना और उनके बीच के किसी स्थान पर मान पढ़ लेना। 'रैखिक' शब्द वह मान्यता मुँह पर कह देता है: अंतराल भर में मात्रा एक ही दर से बदलती मानी गई है, इसलिए जवाब दोनों ज्ञात मानों का भारित मिश्रण है, कोई नाप नहीं।

रेखाखंड पर स्थिति से क्या पता चलता है?

पहले ज्ञात बिंदु से नापकर, बिंदु रेखा पर कितनी दूर आ चुका है। पहले पर यह 0 है, ठीक बीच में 0.5 और दूसरे पर 1। मान को उन्हीं अनुपातों में मिलाए गए दोनों ज्ञात y मानों के रूप में लिखा जा सकता है, यानी भाग ही वह पूरी चीज़ है जो अंतर्वेशन इन दो बिंदुओं के ऊपर जोड़ता है।

क्या दोनों बिंदुओं के बाहर भी अंतर्वेशन कर सकते हैं?

कर सकते हैं, और यह पेज करता भी है — पर तब वह क्रिया बहिर्वेशन कहलाती है, और स्थिति 1 से ऊपर या 0 से नीचे लौटकर आकर यही बताती है। दो बिंदुओं से खींची सीधी रेखा उनके बीच के अंतराल के बारे में एक अनुमान है; किसी भी सिरे से आगे बढ़ाने पर वह ऐसी चीज़ के बारे में ज़्यादा पक्का अनुमान बन जाती है जिसे आँकड़ों ने कभी छुआ ही नहीं।

एक ही x वाले दो बिंदु क्यों ठुकरा दिए जाते हैं?

क्योंकि देने को कोई अकेला जवाब होता ही नहीं। एक ही x पर बैठे दो बिंदु एक के ऊपर एक रहते हैं, और उनसे जाती रेखा उस एक x के सामने एक साथ हर y मान रख देती है। पेज यह इनपुट नाम लेकर ठुकराता है, अनंत लौटाकर नहीं — अनंत जवाब जैसा दिखता है।

क्या दोनों बिंदुओं का क्रम मायने रखता है?

रेखा पर पढ़े गए मान के लिए नहीं, पर ढाल और स्थिति दोनों को बदल देता है। दोनों बिंदु आपस में बदलने पर ढाल और रेखाखंड पर स्थिति दोनों का चिह्न पलट जाता है जबकि अंतर्वेशित y वहीं रहता है, क्योंकि वही रेखा दूसरी दिशा से बयान हो रही है।

कोई विश्वास-आँकड़ा क्यों नहीं छपता?

क्योंकि दो बिंदु उसे सँभाल नहीं सकते। दो बिंदुओं पर नापी गई फ़िट बनावट से ही उत्तम होती है, इसलिए कोई भी गुणवत्ता-संख्या हर बार अपने सबसे अच्छे मान पर निकलती, चाहे असली आँकड़े जो भी कर रहे हों। इसके बदले पेज ढाल और स्थिति छापता है, जो रेखा के बारे में तथ्य हैं, आँकड़ों के बारे में दावे नहीं।

• Cartesian Coordinates — the two-axis frame the known points and the wanted position are both written in — Wolfram MathWorld (United States)
• Slope — the constant ratio the interpolated values step by, and the quantity that has no meaning when the two x values match — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — the object two distinct points determine, and the assumption that makes reading a value between them meaningful — Wolfram MathWorld (United States)