बिंदु-ढाल रूप कैलकुलेटर

y − y₁ = m(x − x₁) ढाल-अंतःखंड रूप: y = mx + (y₁ − m·x₁)

m

ढाल: रेखा कितनी तेज़ी से चढ़ती या गिरती है, चिह्नित संख्या के रूप में। यह दाईं ओर कोष्ठक के सामने खड़ा गुणांक है, और समीकरण को क्रम में लिखने पर x का गुणांक बन जाता है। ढाल 0 हो तो रेखा क्षैतिज हो जाती है, और तब कैलकुलेटर कोष्ठक को किसी चीज़ से गुणा करने के बजाय सादा 0 लिखता है।

x₁, y₁

वह अकेला ज्ञात बिंदु। यहाँ एक ही चाहिए: ढाल दिशा तय करती है और बिंदु स्थान, और दोनों मिलकर रेखा तय कर देते हैं। ये अधोलेख उसी सूत्र के हैं, किसी सूची की क्रम-संख्या के नहीं — इस पेज पर दूसरा बिंदु है ही नहीं।

y-अंतःखंड

जहाँ रेखा y अक्ष को काटती है, यानी समीकरण को क्रम में लिखने पर जो स्थिरांक बचता है। यह उन्हीं तीन इनपुट से निकलता है: रेखा दिए गए बिंदु से होकर जाती है, इसलिए x के शून्य पर उसकी ऊँचाई वही है जो उस बिंदु की ऊँचाई में से वह चढ़ाई घटाने पर बचती है जो ढाल वहाँ तक पहुँचने में लगाती। ढाल-अंतःखंड रूप में यही संख्या अंत में अकेली खड़ी दिखती है।

x, y

वे दो चर जिन्हें यह समीकरण जोड़ता है। इनमें से किसी को कोई मान नहीं दिया जाता: जवाब एक नियम है जो रेखा के हर बिंदु पर एक साथ लागू होता है, और इसीलिए मुख्य पाठ एक संख्या के बजाय पूरा समीकरण है।

इसे तब उठाइए जब रेखा की ढाल और उस पर का एक बिंदु मालूम हो और समीकरण लिखना हो: किसी दर और शुरुआती मान से, किसी ज्ञात जगह पर खींची गई स्पर्श रेखा की ढाल से, या दो बिंदुओं से जब उनके बीच की ढाल निकाल ली गई हो। उलटी दिशा में जाना, यानी दो बिंदुओं से ढाल निकालना, ढाल कैलकुलेटर का काम है; और बने हुए समीकरण से रेखा पर आगे किसी x का मान निकालना रैखिक अंतर्वेशन कैलकुलेटर का। इस पेज की अपनी पहचान वे तीन इनपुट हैं — एक ढाल और एक बिंदु — और उनसे लिखा गया समीकरण, जो तीनों में से किसी दूसरे पेज पर नहीं छपता।

1. (1, 3) से जाती ढाल 2 की रेखा

   1. ढाल और बिंदु को ढाँचे में रखिए: y − y₁ = m(x − x₁)
   2. बायाँ पक्ष y − 3 बनता है और कोष्ठक (x − 1)
   3. बिंदु-ढाल रूप है y − 3 = 2(x − 1)
   4. कोष्ठक खोलिए: 2(x − 1) = 2x − 2
   5. −3 को उधर ले जाइए: y = 2x − 2 + 3 = 2x + 1
   6. ढाल-अंतःखंड रूप y = 2x + 1 है, इसलिए y-अंतःखंड 1

   डिफ़ॉल्ट मामला, और वही जिसे इनपुट के सामने रखकर पढ़ना चाहिए: कोष्ठक के भीतर बैठी दोनों संख्याएँ वही निर्देशांक हैं जो भरे गए थे, बस घटाने की वजह से उनके चिह्न उलट गए हैं। बिंदु-ढाल रूप इसी काम का है — यह दिए गए बिंदु को पढ़ने लायक बनाए रखता है, किसी स्थिरांक में समेट देने के बजाय।

2. ढाल −1, जहाँ कोष्ठक रहना ही होगा

   1. ढाँचा देता है y − 5 = m(x − 2)
   2. ढाल −1 को −1 लिखने के बजाय अकेला ऋण चिह्न लिखा जाता है, ठीक वैसे ही जैसे गुणांक 1 छोड़ दिया जाता है
   3. कोष्ठक बना रहता है: −x − 2 लिखना कोई दूसरी ही रेखा होती
   4. बिंदु-ढाल रूप है y − 5 = −(x − 2)
   5. खोलिए: −(x − 2) = −x + 2, फिर y = −x + 2 + 5
   6. ढाल-अंतःखंड रूप y = −x + 7 है और y-अंतःखंड 7

   यही पंक्ति है जहाँ ग़लती की गुंजाइश सबसे ज़्यादा है। ढाल 1 और ढाल −1 दोनों बिना दिखने वाली संख्या के लिखे जाते हैं, पर ऋण चिह्न को कोष्ठक के बाहर रहना ही होगा: कोष्ठक हटाने से −(x − 2) से −x − 2 बन जाता है, यानी ऐसे समीकरण के ठीक बीच में एक चिह्न-दोष जो बाक़ी सब कुछ सामान्य दिखता रहता है।

3. भिन्न वाली ढाल

   1. ढाल 0.5 को दशमलव में लिखने के बजाय ठीक भिन्न 1/2 के रूप में रखा जाता है
   2. ढाँचा देता है y − 1 = (1/2)(x − 4)
   3. भिन्न पर कोष्ठक लगता है, क्योंकि 1/2(x − 4) पढ़ने में एक बटा दुगुना कोष्ठक लगता है
   4. वही कोष्ठक ढाल-अंतःखंड रूप में भी दोहराया जाता है: y = (1/2)x − 1
   5. y-अंतःखंड −1 है

   यह मामला एक साथ दो परंपराएँ तय करता है। भिन्न ठीक-ठीक रखे जाते हैं ताकि समीकरण लगभग-लगभग के बजाय समीकरण ही रहे, और भिन्न वाले गुणांक पर कोष्ठक लगता है ताकि वह कोष्ठक से जुड़ा रहे, चर से नहीं। दोनों परंपराएँ वही हैं जो इसी उपश्रेणी के बाक़ी पेज इन्हीं तरह की संख्याओं के लिए निभाते हैं।

ढाल और दोनों निर्देशांक दस लाख के परिमाण तक सीमित हैं, यानी −10,00,000 से 10,00,000 तक; इससे बाहर कोई भी इनपुट जवाब देने से इनकार करा देता है। यह सीमा सिर्फ़ तीनों इनपुट बॉक्स पर है: बाहर निकलने वाले मानों का कोई अपना बंधन नहीं है, और तीनों इनपुट अपनी हद पर खड़े हों तो y-अंतःखंड 10,00,00,10,00,000 तक चला जाता है। भिन्न वाले इनपुट तब भिन्न के रूप में लिखे जाते हैं जब छोटा करने के बाद बचा हर ठीक-ठीक बैठता हो और हज़ार से बड़ा न हो — इसलिए 0.5 से 1/2 बनता है और 0.001 भी बच जाता है, जबकि 0.0001 और 1/3 जैसे मामले छह दशमलव तक गोल होकर लौटते हैं। यह नियम सिर्फ़ समीकरण में लिखी संख्याओं पर लागू है, और नीचे अलग से छपने वाले y-अंतःखंड पर नहीं — वह हमेशा छह दशमलव तक गिनकर छपता है, इसलिए एक ही जवाब में समीकरण + 3/5 कहेगा और संख्या 0.600000। ढाल और निर्देशांक सिर्फ़ दशमलव में लिए जाते हैं; पेज पाठ की तरह टाइप किया गया भिन्न नहीं लेता, इसलिए 1/3 को उसके गोल किए दशमलव के रूप में भरना पड़ता है। खड़ी रेखा इस रूप में लिखी ही नहीं जा सकती: उसकी ढाल परिभाषित ही नहीं है, और m का कोई मान उसे नहीं बनाता, इसलिए दिए गए बिंदु से जाती खड़ी रेखा उन रेखाओं में है ही नहीं जिन्हें यह पेज बयान कर सकता है। जो काम यह पेज नहीं करता: यह दो बिंदुओं से ढाल निकालकर नहीं देता, और यह भी नहीं बताता कि रेखा x अक्ष को कहाँ काटती है।

बिंदु-ढाल रूप क्या है?

रेखीय समीकरण लिखने का वह तरीक़ा जो रेखा पर का एक ज्ञात बिंदु दिखता हुआ रखता है: y में से उस बिंदु की ऊँचाई घटाइए, बराबर, ढाल गुणे x में से बिंदु की जगह घटाइए। कोई भी बिंदु और कोई भी ढाल इस तरह लिखे जा सकते हैं, और समीकरण पढ़कर वापस पता चल जाता है कि उसे किस बिंदु और किस ढाल ने बनाया।

जब ढाल-अंतःखंड रूप ज़्यादा सीधा है तो यह काम का क्यों है?

क्योंकि यह सीधे उसी से बना है जो मालूम है। ढाल-अंतःखंड रूप से रेखा खींचना ज़्यादा साफ़-सुथरा है, पर उसे पाने के लिए कोष्ठक खोलकर पद जोड़ने पड़ते हैं, और हिसाब की कोई भी चूक किसी स्थिरांक के भीतर छिप जाती है। बिंदु-ढाल रूप दी गई संख्याओं को वहीं रखता है जहाँ वे भरी गई थीं, इसलिए उसे एक नज़र में जाँचा जा सकता है।

y-अंतःखंड से क्या पता चलता है?

यह कि रेखा y अक्ष से कहाँ मिलती है, यानी x के शून्य होने पर उसकी ऊँचाई क्या है। यह उन्हीं तीन इनपुट से निकलता है: ज्ञात बिंदु से शुरू कीजिए और उतनी चढ़ाई उलट दीजिए जितनी ढाल अक्ष से वहाँ तक पहुँचने में लगाती। अगर ज्ञात बिंदु पहले से अक्ष पर हो, तो अंतःखंड बस उसकी ऊँचाई है।

ढाल 1 बिना किसी संख्या के क्यों लिखी जाती है?

उसी वजह से जिससे गुणांक 1 हर जगह छोड़ दिया जाता है: 1(x − 2) लिखने से एक ऐसा चिह्न जुड़ जाता है जिसमें कोई सूचना नहीं है। ढाल −1 अपना ऋण चिह्न रखती है पर अंक फिर भी छोड़ देती है, और वहीं कोष्ठक को टिकना ही होता है — ऋण उसके बाहर का है, और कोष्ठक हटाने से रेखा ही बदल जाती है।

भिन्न वाली ढाल पर कोष्ठक क्यों लगता है?

ताकि भिन्न कोष्ठक से जुड़ा रहे, x से नहीं। बिना कोष्ठक लिखने पर 1/2(x − 4) पढ़ा जाता है एक बटा दुगुना कोष्ठक, जो एक अलग ही व्यंजक है। कोष्ठक लगाने से (1/2)(x − 4) मिलता है और गुणा का क्रम एकदम साफ़ हो जाता है।

क्या खड़ी रेखा इस तरह लिखी जा सकती है?

नहीं। खड़ी रेखा की कोई ढाल होती ही नहीं — उसकी चढ़ाई असली है जबकि उसका दौड़ शून्य है — इसलिए m का कोई मान उसे नहीं बनाता और बिंदु-ढाल रूप उसका बयान नहीं कर सकता। ऐसी रेखा x बराबर किसी स्थिरांक के रूप में लिखी जाती है, और वह रूप इस पेज के दायरे से बाहर है।

• Point-Slope Form — the arrangement this page starts from, and the reason a slope and a single point are enough — Wolfram MathWorld (United States)
• Linear Equation — the general form the two outputs are both special cases of, and the standard form the answer can be rearranged into — Wolfram MathWorld (United States)
• Slope — the number that fixes the line's direction, and the quantity that has no value at all for a vertical line — Wolfram MathWorld (United States)