गुणा कैलकुलेटर

a × b: गुणक के अंकों को b₀ + 10·b₁ + … की तरह लिखिए, a × b_k को अपनी अलग पंक्ति में लीजिए, उसे k स्थान खिसकाइए, फिर पंक्तियाँ जोड़ दीजिए गुणनफल = (a × b), जिसमें दशमलव बिंदु दाईं ओर से उतने स्थान अंदर पड़ता है जितने दोनों गुणकों के दशमलव स्थान जोड़कर बनते हैं

a

गुण्य, यानी वह संख्या जिसे गुणा किया जा रहा है। इसका पूरा का पूरा हिस्सा दूसरी संख्या के हर अंक से बारी-बारी गुणा होता है, इसलिए यह एक ही टुकड़े में रहती है जबकि दूसरी संख्या खोली जाती है।

b

गुणक, यानी वह संख्या जिसके अंक दाईं ओर से एक-एक करके उठाए जाते हैं। इसका हर अंक एक पंक्ति बनाता है, शून्य वाला अंक भी, क्योंकि वह पंक्ति यह दर्ज करती है कि वह अंक किस स्थान पर बैठा था — ख़ाली पड़ा स्थान भी जानकारी है।

खिसकाव

पंक्ति कितने स्थान बाईं ओर लिखी जाती है, और यह गुणक के उस अंक की जगह के बराबर होता है। यही स्थानीय मान काम कर रहा है: 45 में 4 का मोल चालीस है, इसलिए उसका आंशिक गुणनफल उससे दस गुना बड़ा होता है जो 5 से बनता है। काग़ज़ पर यह खिसकाव पंक्ति को और बाईं ओर से शुरू करके दिखाया जाता है; तालिका में उसे एक संख्या बनना पड़ता है।

दशमलव स्थान

दशमलव बिंदु के बाद के अंकों की संख्या, जो दोनों गुणकों में गिनकर जोड़ी जाती है, किसी एक से नहीं ली जाती। 2.3 में एक है और 4.5 में एक, इसलिए गुणनफल में दो आते हैं और 1035 से 10.35 बनता है। अंकों के काम का इससे कोई वास्ता नहीं: पूरा गुणा पूर्ण संख्याओं पर चलता है और बिंदु बाद में बैठाया जाता है।

यह तब काम आता है जब दो संख्याओं का गुणा हाथ से करके हल साथ रखना हो: काग़ज़ पर निकाले गए गुणनफल की जाँच करते समय, खिसकाव का क़दम सिखाते समय, या दशमलव वाले गुणा में जहाँ बिंदु की जगह ही गड़बड़ाती है। किसी संख्या को बार-बार उसी से गुणा करना घातांक वाले पेज का काम है, और भिन्नों का गुणा अपने अलग नियम से चलता है — ऊपर को ऊपर से, नीचे को नीचे से।

1. 23 × 45

   1. एक के अंक से गुणा कीजिए: 23 × 5 = 115, बिना खिसकाव लिखा जाता है
   2. दहाई के अंक से गुणा कीजिए: 23 × 4 = 92
   3. दहाई का अंक दस गुना मोल रखता है, इसलिए यह पंक्ति एक स्थान बाईं ओर खिसककर 920 बनती है
   4. पंक्तियाँ जोड़िए: 115 + 920 = 1035
   5. किसी भी गुणक में दशमलव स्थान नहीं है, इसलिए गुणनफल में भी नहीं
   6. गुणनफल है 1035

   यह डिफ़ॉल्ट हाल है। 920 के आख़िर में जो 0 दिखता है वह खिसकाव का दिखता हुआ रूप है — काग़ज़ पर वह पंक्ति बस एक ख़ाना और बाईं ओर से शुरू होती है, और यहाँ पढ़ते समय वह एक ऐसा अंक बन जाता है जिसे लिखना पड़ता है। जोड़ी गई दोनों पंक्तियाँ साधारण स्तंभ जोड़ हैं, और वही अगला पेज है।

2. वही अंक, दशमलव बिंदुओं के साथ

   1. बिंदुओं को नज़रअंदाज़ कीजिए और अंकों को गुणा कीजिए: 23 × 45, यानी पिछला ही उदाहरण
   2. आंशिक गुणनफल 115 और 920 हैं, ज़रा भी नहीं बदलते
   3. दशमलव स्थान गिनिए: 2.3 में एक है और 4.5 में एक, इसलिए गुणनफल में दो होंगे
   4. 1035 में दाईं ओर से दो अंक अंदर बिंदु बैठाइए
   5. गुणनफल है 10.35

   यहाँ दशमलव का काम सबसे साफ़ दिखता है: अंकों का हिसाब 23 × 45 जैसा ही है, और सारा फ़र्क़ यह है कि बिंदु कहाँ पड़ता है। इसीलिए दशमलव स्थान किसी एक गुणक से गिनकर नहीं, दोनों का जोड़ बताया जाता है।

3. गुणक में एक शून्य अंक

   1. एक के अंक से गुणा कीजिए: 23 × 0 = 0, बिना खिसकाव लिखा जाता है
   2. दहाई के अंक से गुणा कीजिए: 23 × 4 = 92, एक स्थान बाईं ओर खिसका, यानी 920
   3. पंक्तियाँ जोड़िए: 0 + 920 = 920
   4. गुणनफल है 920

   शून्य वाली पंक्ति हटाई नहीं जाती, रखी जाती है। हाथ से लिखते समय उसे आम तौर पर छोड़ दिया जाता है, पर यहाँ दर्ज होने वाली चीज़ उसकी जगह है — वह बताती है कि 40 का एक का अंक कुछ नहीं जोड़ता — और पंक्तियों का जोड़ गुणनफल तक पहुँचता है, यह जाँच तभी बैठती है जब वह पंक्ति मौजूद हो। यह उस FOIL पेज से उलटा चुनाव है जहाँ शून्य बनने वाला पद गिरा दिया जाता है: वहाँ ख़ाली पद होता ही नहीं, जबकि यहाँ एक पंक्ति असल में लिखी जाती है।

दोनों गुणकों के दशमलव स्थान जोड़कर छह से ज़्यादा नहीं हो सकते, यानी हद किसी एक संख्या पर नहीं बल्कि दोनों के जोड़ पर लगती है: 0.0001 × 0.0001 पर 4 + 4 = 8 होता है और पेज मना कर देता है, वहीं 0.001 × 0.001 = 0.000001 अभी चलता है। यह हद इनपुट पर ही लग जाती है, इसलिए ग़लत जवाब चुपचाप छपने का मौक़ा नहीं आता — और चूँकि जोड़ छह पर टिका है, किसी भी ग़ैर-शून्य गुणनफल का मान 0.000001 से छोटा बन ही नहीं सकता, इसलिए शून्य की जगह 0.000000 छपने वाली बात यहाँ होती ही नहीं। हर गुणक का परिमाण दस लाख तक सीमित है: 1000000 तक चलता है, पर 1000000.1 और 3000000 इनपुट की जाँच में ही बाहर हो जाते हैं। इसी वजह से सबसे बड़ा संभव गुणनफल 10,00,00,00,00,000 बनता है, जो सुरक्षित पूर्णांक की हद से बहुत नीचे है — यानी जो छत वाक़ई छूटी है वह हर गुणक की दस लाख है, पूर्णांक की नहीं। गुणनफल हमेशा छह दशमलव तक छपता है, इसलिए 1035 जैसे पूर्णांक भी 1,035.000000 दिखते हैं। ऋणात्मक गुणक चलते हैं और आंशिक गुणनफल तब भी बिना चिह्न के छपते हैं; चिह्न सिर्फ़ आख़िरी गुणनफल पर आता है, और ऋणात्मक संख्या को शून्य से गुणा करने पर 0.000000 छपता है, -0 नहीं। गुणक में अकेला अंक हो तो आंशिक गुणनफल की एक ही पंक्ति बनती है, दो या ज़्यादा अंक हों तो हर अंक की अपनी। यह पेज गुणा करता है; भाग की अपनी अलग स्तंभ विधि है।

लंबा गुणा क्या है?

दो संख्याओं को इस तरह गुणा करना कि एक के अंक खोलकर लिए जाएँ: गुणक का हर अंक एक पंक्ति बनाता है, उस अंक की जगह के हिसाब से पंक्ति बाईं ओर खिसकाई जाती है, और आख़िर में सारी पंक्तियाँ जोड़ दी जाती हैं। गुणनफल वही आता है जो कैलकुलेटर देता है, पर बीच की पंक्तियाँ साथ रहती हैं।

आंशिक गुणनफल खिसकाए क्यों जाते हैं?

क्योंकि किसी अंक का मोल उसकी जगह से तय होता है। 45 में 4 का मोल चालीस है, इसलिए उससे जो कुछ बनता है वह 5 से बने माल से दस गुना बड़ा होना चाहिए, और पंक्ति को एक स्थान और बाईं ओर से लिखना यही दर्ज करता है। यही वह नियम है जिससे स्तंभ जोड़ में ख़ाने सीध में बैठते हैं।

दशमलव बिंदु कहाँ पड़ेगा, यह कैसे पता चलेगा?

दोनों गुणकों के दशमलव स्थान गिनकर जोड़ दीजिए। 2.3 में एक है और 4.5 में एक, तो गुणनफल में दो होंगे और 1035 से 10.35 बन जाएगा। अंकों को बिंदु दिखता ही नहीं — पूरा गुणा पूर्ण संख्याओं पर चलता है और बिंदु आख़िर में बैठाया जाता है।

शून्यों की पंक्ति रखी क्यों जाती है?

क्योंकि पंक्ति की जगह ही असली जानकारी है। जब गुणक का एक का अंक शून्य हो, तो वह पंक्ति बताती है कि एक के स्थान से कुछ नहीं आया, और उसे गिरा देने पर यह तथ्य खो जाता कि बची हुई पंक्ति खिसकी हुई है। इसे रखने से एक फ़ायदा और है: पंक्तियों का जोड़ हमेशा गुणनफल तक पहुँचता है, और यही वह जाँच है जिसके लिए यह पेज बना है।

ऋणात्मक गुणकों का क्या होता है?

जब दोनों में से ठीक एक गुणक ऋणात्मक हो तो गुणनफल ऋणात्मक आता है, और जब दोनों ऋणात्मक हों तो धनात्मक। आंशिक गुणनफल दोनों हालत में बिना चिह्न के छपते हैं, ठीक वैसे ही जैसे हाथ से लिखते समय ऋण चिह्न हल के बाहर रखा जाता है — और इसी वजह से वे जुड़कर गुणनफल तक पहुँच पाते हैं।

पूर्णांक गुणनफल के आगे शून्यों की कतार क्यों छपती है?

क्योंकि पैनल गुणनफल हमेशा छह दशमलव तक छापता है, इसलिए 1035 वहाँ 1,035.000000 बन जाता है। दूसरा रास्ता गुणनफल को पाठ की तरह छापना होता, पर तब जवाब में अंग्रेज़ी शैली का बिंदु आ जाता — जिन देशों में दशमलव चिह्न अल्पविराम है वहाँ यह ग़लत होता, और कुछ शून्यों से भी बुरा।

• Base — why shifting a partial product one place left multiplies it by ten, which is what the shift column records — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponentiation — multiplication applied to a number and itself, the case where both factors are the same — Wolfram MathWorld (United States)
• Division — the inverse operation, and the reason it needs a different column procedure rather than a variation on this one — Wolfram MathWorld (United States)