दीर्घ जोड़ कैलकुलेटर

स्तंभ k: कुल = अंक_k(a₁) + … + अंक_k(aₙ) + आने वाला हासिल लिखा जाने वाला अंक = कुल mod 10 जाने वाला हासिल = floor(कुल ÷ 10)

a₁ … aₙ

जोड़े जाने वाले अंक: दो से दस पूर्ण संख्याएँ, हर एक 1,00,00,00,00,000 (एक लाख करोड़) से बड़ी नहीं। पहला स्तंभ हर संख्या का एक के स्थान वाला स्तंभ होता है, इसीलिए संख्याओं को उनके अंकों के साथ सीध में लिखे बिना यह प्रक्रिया मायने ही नहीं रखती।

स्तंभ k

दाईं ओर से k-वाँ स्थान, जहाँ एक के स्थान को शून्य गिना जाता है। हर स्तंभ में हर जोड़े जाने वाले अंक का एक अंक आता है, और जो संख्या इतनी दूर तक पहुँचती ही नहीं वह छूटने के बजाय शून्य देती है — किसी अंक का स्थानीय मान यह तय करता है कि वह किस स्तंभ में बैठा है, न कि वह किस संख्या से आया।

हासिल

अगले बाएँ स्तंभ में जाने वाली मात्रा। लिखा जाने वाला अंक निकाल लेने के बाद जो बचता है वही यह है — कुल का दहाई वाला हिस्सा। एक स्तंभ से अधिकतम 9 ही आगे जा सकता है, और सबसे बायाँ स्तंभ सबसे लंबी संख्या की चौड़ाई से एक स्थान आगे भी जा सकता है — इसी से 9 + 9 का उत्तर दो अंकों का बनता है।

योग

कुल जोड़, और वही संख्या जिससे हासिल की शृंखला नापी जाती है: शृंखला में हर स्तंभ का एक पद होता है, इसलिए उसकी लंबाई योग के अंकों की संख्या के बराबर होती है। आगे के शून्य कभी नहीं लिखे जाते, इसलिए 007 का उत्तर 7 है।

यह तब काम आता है जब जोड़ का उत्तर भर नहीं, पूरा हल दिखाना हो: हासिल का क़दम सिखाते समय, हाथ से निकाले गए योग की जाँच करते समय, या एक साथ कई संख्याएँ जोड़ते समय जहाँ बीच के हासिल ही गड़बड़ाते हैं। कुल जोड़ निकालने के बाद अगला सवाल औसत का होता है, और औसत कैलकुलेटर वही सूची ले लेता है।

1. 1234 + 567 + 89

   1. एक के स्तंभ में: 4 + 7 + 9 = 20, इसलिए 0 लिखिए और 2 आगे भेजिए
   2. दहाई के स्तंभ में: 3 + 6 + 8 + 2 = 19, इसलिए 9 लिखिए और 1 आगे भेजिए
   3. सैकड़े के स्तंभ में: 2 + 5 + 0 + 1 = 8, इसलिए 8 लिखिए और 0 आगे भेजिए
   4. हज़ार के स्तंभ में: 1 + 0 + 0 + 0 = 1, इसलिए 1 लिखिए और 0 आगे भेजिए
   5. सबसे ऊँचे स्तंभ से नीचे तक लिखे गए अंक हैं 1, 8, 9, 0
   6. योग 1890 है और हासिल की शृंखला 2, 1, 0, 0

   तीनों जोड़े जाने वाले अंकों में चार, तीन और दो अंक हैं, इसलिए छोटी दो संख्याएँ ऊँचे स्तंभों तक पहुँचती ही नहीं और वहाँ कुछ नहीं जोड़तीं। शृंखला में चार पद हैं और योग में चार अंक — यही मेल वह जाँच है जिस पर यह पेज टिका है, और यह हर इनपुट पर बैठता है, उन पर भी जहाँ कुछ भी आगे नहीं जाता।

2. 9 + 9, जहाँ एक नया स्तंभ खुलता है

   1. एक के स्तंभ में: 9 + 9 = 18, इसलिए 8 लिखिए और 1 आगे भेजिए
   2. अब कोई स्तंभ बचा ही नहीं, इसलिए हासिल एक नया स्तंभ खोलता है: 1 लिखिए और 0 आगे भेजिए
   3. अंक हैं 1 और 8
   4. योग 18 है, इसलिए हासिल की शृंखला 1, 0 है

   दो एक-अंकीय संख्याएँ और दो अंकों का उत्तर। शृंखला में उस स्तंभ का पद भी है जो जोड़े जाने वाले अंकों में कभी था ही नहीं, और इसीलिए शृंखला सबसे चौड़ी संख्या से एक पद लंबी हो सकती है। 1, 0 को उत्तर से घटाव पढ़ना ग़लती होगी — पद एक के स्तंभ से ऊपर की ओर चलते हैं, तो पहला पद एक के स्तंभ का हासिल है।

3. ऐसा जोड़ जिसमें कुछ भी आगे नहीं जाता

   1. एक के स्तंभ में: 0 + 0 + 0 = 0, 0 लिखिए, 0 आगे भेजिए
   2. दहाई के स्तंभ में: 0 + 0 + 0 = 0, 0 लिखिए, 0 आगे भेजिए
   3. सैकड़े के स्तंभ में: 1 + 2 + 3 = 6, 6 लिखिए, 0 आगे भेजिए
   4. योग 600 है और हासिल की शृंखला 0, 0, 0

   यहाँ कुछ भी आगे नहीं जाता, फिर भी शून्य छपते हैं। जो शृंखला पहले ग़ैर-शून्य पद पर रुक जाए वह स्तंभों के सामने पढ़ी ही नहीं जा सकती, और इस पाठ का पूरा मतलब शृंखला के पदों का स्तंभों से मेल है। इस उदाहरण में जोड़े जाने वाले अंक अर्धविराम के बजाय सिर्फ़ जगह से अलग किए गए हैं; अर्धविराम और जगह, दोनों चलते हैं, और जगह वाला तरीक़ा अल्पविराम से बचाता है क्योंकि कई देशों में वह दशमलव बिंदु पढ़ा जाता है।

सिर्फ़ पूर्ण संख्याएँ ली जाती हैं। दशमलव बिंदु के लिए पहले जोड़े जाने वाले अंकों को उस पर सीध में लाकर बराबर लंबाई तक शून्य भरना पड़ता है, जो स्तंभ जोड़ने से अलग प्रक्रिया है — इसीलिए दशमलव को चुपचाप पूर्ण संख्या मान लेने के बजाय अस्वीकार कर दिया जाता है। ऋणात्मक अंक भी इसी तरह अस्वीकार होते हैं: ऋण चिह्न कोई अंक नहीं है, और उसके लिए अपना स्तंभ तथा अपना नियम चाहिए। दो से दस अंक लिए जाते हैं; ग्यारहवाँ जोड़ने पर पेज मना कर देता है, और एक अकेली संख्या पर भी वहीं रुक जाता है क्योंकि उसका कोई स्तंभ नहीं बनता। हर जोड़ा जाने वाला अंक 1,00,00,00,00,000 (एक लाख करोड़) तक सीमित है, और यही सीमा असल में लगती भी है: दस संख्याओं का सबसे बड़ा संभव योग 99,99,99,99,99,990 बनता है, जो सुरक्षित पूर्णांक की हद से बहुत नीचे है — यानी जो छत वाक़ई छूटी है वह हर जोड़े जाने वाले अंक की 1,00,00,00,00,000 है, योग की नहीं। हज़ारों अलग करने वाला अल्पविराम यहाँ दशमलव बिंदु पढ़ा जाता है — 1,5 लिखने पर वह एक ही संख्या 1.5 बन जाती है और पेज उसे पूर्ण संख्या न मानकर अस्वीकार कर देता है, इसलिए जोड़े जाने वाले अंकों को अर्धविराम या जगह से अलग कीजिए। 1e12 जैसा वैज्ञानिक संकेतन भी नहीं चलता; अंक पूरा लिखना पड़ता है। यह पेज जोड़ता है; घटाना, गुणा और भाग में से हर एक का अपना स्तंभ तरीक़ा है, वे यहाँ नहीं हैं।

दीर्घ जोड़ क्या है?

संख्याओं को उसी तरह जोड़ना जैसे वे काग़ज़ पर लिखी जाती हैं: अंकों को स्थान के हिसाब से सीध में रखिए, एक के स्तंभ से बाईं ओर चलिए, और जो बचे उसे अगले स्तंभ में भेज दीजिए। योग वही आता है जो कैलकुलेटर देता है, पर बीच के क़दम फेंके नहीं जाते।

शुरुआत एक के स्तंभ से ही क्यों?

क्योंकि हासिल बाईं ओर चलता है। हर स्तंभ को अपने में आने वाला हासिल चाहिए, और वह उसके दाएँ वाले स्तंभ से आता है — इसलिए दहाई के स्तंभ से पहले एक के स्तंभ को तय करना पड़ता है। कहीं और से शुरू करने पर हासिल आने के बाद लौटना पड़ेगा।

हासिल की शृंखला से क्या पता चलता है?

यह गिनाती है कि हर स्तंभ ने अगले में क्या भेजा, और शुरुआत एक के स्तंभ से होती है। इसकी लंबाई योग के अंकों की संख्या के बराबर होती है, इसलिए यह जाँच का काम भी करती है: कोई हासिल छूटा या कोई स्तंभ रह गया, तो दोनों लंबाइयाँ मेल खाना बंद कर देती हैं।

उत्तर सबसे लंबी संख्या से ज़्यादा अंकों का क्यों हो सकता है?

क्योंकि आख़िरी स्तंभ से भी हासिल आगे जा सकता है। 9 और 9 जोड़ने पर एक का स्तंभ भर जाता है और हासिल के पास जाने की जगह नहीं बचती, इसलिए उसे रखने के लिए नया स्तंभ खुलता है और 9 + 9 का उत्तर 8 के बजाय 18 बनता है। यही अतिरिक्त स्तंभ शृंखला को सबसे चौड़ी संख्या से एक पद लंबी बनाता है।

क्या मैं दशमलव जोड़ सकता हूँ?

इस पेज पर नहीं। दशमलव भी स्तंभों में जोड़े जा सकते हैं, पर पहले उन्हें दशमलव बिंदु पर सीध में लाकर शून्य से भरना पड़ता है, और तब स्तंभ का मतलब ही बदल जाता है — स्थानीय मान की जगह बिंदु के बाद की जगह। पेज 1.5 को 15 मान लेने के बजाय इनपुट अस्वीकार कर देता है।

क्या जोड़े जाने वाले अंकों का क्रम मायने रखता है?

नहीं। योग तो किसी भी क्रम में वही रहता है, और हासिल की शृंखला भी वही रहती है — किसी संख्या का किसी स्तंभ में योगदान उस संख्या की अपनी बनावट से तय होता है, इस बात से नहीं कि वह सूची में कहाँ लिखी है। 1234; 567; 89 और 89; 567; 1234, दोनों का योग 1890 ही आता है और दोनों की शृंखला 2, 1, 0, 0 ही रहती है।

• Base — how a digit's worth comes from the column it sits in, which is what makes the ones column the right place to start — Wolfram MathWorld (United States)
• Binary — the identical carry procedure in base two, where a single 1 + 1 already carries and the chain is easiest to watch — Wolfram MathWorld (United States)
• Additive Inverse — the opposite of a number, and the reason a negative addend cannot simply be written into the column — Wolfram MathWorld (United States)