घटाव कैलकुलेटर

स्तंभ k: कच्चा मान = अंक_k(बड़ी संख्या) − आने वाला उधार − अंक_k(छोटी संख्या) जाने वाला उधार = 1, अगर कच्चा मान < 0 हो, वरना 0 लिखा जाने वाला अंक = कच्चा मान + 10 × जाने वाला उधार

जिसमें से घटाना है

वह संख्या जिसमें से घटाया जाता है — पूर्ण संख्या, और एक लाख करोड़ से ज़्यादा नहीं। यह हिसाब की ऊपरी पंक्ति पर बैठती है, और हर स्तंभ उसी के अंकों के सामने पढ़ा जाता है — उन स्तंभों में भी जहाँ उसका कोई अंक बचा ही नहीं, और वहाँ गिनती शून्य से होती है।

जो घटाना है

वह संख्या जो घटाई जाती है, नीचे लिखी हुई और इकाई के स्तंभ पर सीध में। यह दोनों में से बड़ी भी हो सकती है — तब हिसाब उलटी दिशा में होता है और अंतर के आगे ऋण चिह्न लग जाता है।

स्तंभ k

दाईं ओर से k-वाँ स्थान, जहाँ इकाई का स्तंभ शून्य है। कोई स्तंभ तभी निपट सकता है जब उसका दाहिना स्तंभ निपट चुका हो, क्योंकि उधार बाईं ओर चलता है — इसीलिए इकाई का स्तंभ अपने ऊपर के सब कुछ का फ़ैसला करता है।

उधार

वह 1 जो अगले बाएँ स्तंभ से तब उठाया जाता है जब ऊपर का अंक नीचे के अंक से छोटा हो। जिस स्तंभ में वह पहुँचता है वहाँ उसकी क़ीमत दस है, इसलिए 4 − 7 यानी 14 − 7, और जिस स्तंभ से वह आया वह एक कम हो गया।

अंतर

जवाब, और वही संख्या जिसके सामने उधार की शृंखला नापी जाती है: बड़ी संख्या के हर स्तंभ के लिए शृंखला में एक प्रविष्टि होती है, इसलिए उसकी आख़िरी प्रविष्टि हमेशा 0 रहती है। आगे के शून्य कभी नहीं लिखे जाते, इसलिए 099 का मतलब 99 है।

यह तब काम आता है जब दो पूर्ण संख्याओं का अंतर सिर्फ़ जवाब नहीं, पूरा हल बनाकर चाहिए — बच्चों को ठीक उस मोड़ पर उधार समझाते समय जहाँ ऊपर का अंक नीचे के अंक के लिए छोटा पड़ जाता है, या हाथ से निकाले गए किसी अंतर की जाँच करते समय। इसके साथ जो जाँच चलती है वह जोड़ है: अंतर को नीचे वाली संख्या में जोड़कर देखिए, ऊपर वाली संख्या लौट आनी चाहिए।

1. 1234 − 567

   1. इकाई का स्तंभ: 4 − 7 नहीं चलता, इसलिए दहाई से 1 उधार लेकर इसे 14 − 7 = 7 पढ़िए
   2. दहाई का स्तंभ: 3 में से उस उधार का 1 जा चुका है, इसलिए 2 − 6 भी नहीं चलता — फिर उधार लेकर 12 − 6 = 6
   3. सैकड़े का स्तंभ: 2 में से भी 1 जा चुका, इसलिए 1 − 5 नहीं चलता — उधार लेकर 11 − 5 = 6
   4. हज़ार का स्तंभ: 1 में से 1 जा चुका, बचा 0 − 0 = 0
   5. सबसे ऊँचे स्तंभ से नीचे की ओर लिखे गए अंक हैं 0, 6, 6, 7
   6. अंतर 667 है और उधार की शृंखला 1, 1, 1, 0

   यह डिफ़ॉल्ट हिसाब है, और यही दिखाता है कि हल लिखना क्यों ज़रूरी है: जो स्तंभ उधार लेता है वह अपने ऊपर वाले स्तंभ को एक कम कर देता है, इसलिए उधार उस स्तंभ के अपने अंक पढ़े जाने से पहले पहुँच जाता है। आख़िरी प्रविष्टि 0 है क्योंकि सबसे ऊपर के स्तंभ के ऊपर उधार लेने को कुछ है ही नहीं — वह शून्य शृंखला का रुकना है, कोई छूटा हुआ क़दम नहीं। एक बात और गिनने लायक़ है: 5000 − 4999 का अंतर 1 है, यानी एक ही अंक, पर उधार की शृंखला फिर भी 1, 1, 1, 0 — चार प्रविष्टियाँ, क्योंकि शृंखला की लंबाई जवाब की नहीं, बड़ी संख्या के स्तंभों की होती है।

2. 1000 − 1, शून्यों के आर-पार उधार

   1. इकाई का स्तंभ: 0 − 1 नहीं चलता, इसलिए दहाई के स्तंभ से उधार
   2. दहाई के स्तंभ में 0 है और वह दे नहीं सकता, इसलिए वह पहले सैकड़े से उधार लेता है
   3. सैकड़े के स्तंभ में भी 0 है, इसलिए वह हज़ार से उधार लेता है — 1000 बनता है 990, और सैकड़े में दस आ जाता है
   4. उन दस में से एक दहाई के स्तंभ को देने पर वहाँ 9 बचते हैं और इकाई में दस पहुँच जाता है
   5. इकाई: 10 − 1 = 9। दहाई: 9 − 0 = 9। सैकड़े: 9 − 0 = 9
   6. अंतर 999 है और उधार की शृंखला 1, 1, 1, 0

   शृंखला में वही चार प्रविष्टियाँ हैं जो डिफ़ॉल्ट हिसाब में थीं, और यही मुद्दा है: उधार संख्या की पूरी चौड़ाई चलता है और जवाब नौ का पूरक बन जाता है। बीच का शून्य ऐसा स्थान नहीं है जो दे सके — उसे पहले बाईं ओर से उधार लेना पड़ता है, और काग़ज़ पर यही वह काटी हुई शृंखला है जो शिक्षक जोड़ के ऊपर लिखते हैं। चौड़ाई की बात यहाँ साफ़ पकड़ में आती है: 1000000 − 1 पर जवाब 9,99,999 छपता है (अंग्रेज़ी में 999,999 — पाँच अंकों तक दोनों एक जैसे रहते हैं, छह से आगे रास्ते बँट जाते हैं) और शृंखला सात प्रविष्टियों की बनती है। ऊपरी सिरे पर भी यही चलता है: एक लाख करोड़ में से 1 घटाइए तो अंतर 9,99,99,99,99,999 आता है और शृंखला तेरह प्रविष्टियों की बनती है — बारह बार 1, और आख़िर में 0।

3. 3 − 5, जहाँ जवाब ऋणात्मक हो जाता है

   1. ऊपर की संख्या नीचे की संख्या से छोटी है, इसलिए घटाव उलटी दिशा में होता है: 5 − 3
   2. इकाई का स्तंभ: 5 − 3 = 2, उधार लेने की ज़रूरत नहीं
   3. लिखे गए अंक बस 2 हैं
   4. चूँकि दोनों संख्याएँ बदली गईं, इसलिए जवाब के आगे ऋण चिह्न लगता है
   5. अंतर −2 है और उधार की शृंखला 0

   हल हमेशा बड़ी संख्या में से छोटी घटाकर होता है, इसलिए नीचे की तालिका के अंकों वाले स्तंभ में कभी ऋणात्मक पंक्ति नहीं दिखती — ऋण चिह्न सिर्फ़ जवाब पर रहता है, और कहीं नहीं। यही उधार की शृंखला को पढ़ने लायक़ बनाता है: बड़ी संख्या के हर स्तंभ के लिए एक प्रविष्टि, जो स्तंभों के उलटी दिशा में चलने पर कभी तय लंबाई की न होती। दो जोड़ी और साथ रखकर देखिए — 999 − 1000 का अंतर −1 है और शृंखला 1, 1, 1, 0, यानी उलटी दिशा में भी ठीक वही, जो 1000 − 999 देता; और 100 − 100 पर अंतर 0 है जबकि शृंखला 0, 0, 0 — तीन प्रविष्टियाँ, क्योंकि बड़ी संख्या के तीन स्तंभ हैं और एक भी उधार नहीं लिया गया।

सिर्फ़ पूर्ण संख्याएँ चलती हैं, और ठीक दो। दशमलव संख्याओं को भी स्तंभों में घटाया जा सकता है, पर उसके लिए पहले दशमलव बिंदु पर सीध में बैठाना और शून्य से पूरा करना पड़ता है, और तब स्तंभ का मतलब ही बदल जाता है — इसलिए दशमलव चुपचाप पूर्ण संख्या मान लेने के बजाय ठुकरा दिए जाते हैं। ऋणात्मक संख्याएँ भी इसी वजह से ठुकराई जाती हैं: ऋण चिह्न कोई अंक नहीं है, और उसके लिए अपना एक स्तंभ तथा अपना एक नियम चाहिए। जिस क्षण दोनों संख्याओं का जोड़ा एक-दूसरे से उलटा हो, अंतर के आगे ऋण चिह्न लग जाता है, पर हल में दिखने वाले अंक बड़ी में से छोटी घटाकर बनते हैं — इसलिए तालिका को जैसा लिखा गया था वैसा मत पढ़िए, वह जैसा हल हुआ है वैसा है। हर संख्या एक लाख करोड़ पर रुक जाती है, और यह हद अंकों की जाँच पर नहीं, इस पेज के अपने नियम पर टिकी है: इससे ऊपर की कोई भी संख्या सीधे ठुकरा दी जाती है, इसलिए यहाँ कभी ऐसी पंक्ति नहीं छप सकती जिसके अंक जवाब से मेल न खाएँ — और संख्या को सचमुच रोकने की ज़रूरत भी नहीं है, क्योंकि जिस सबसे बड़े पूर्णांक को यह भाषा ठीक-ठीक रख सकती है वह सोलह अंकों का है, और एक लाख करोड़ तेरह अंकों का। इनपुट की दो ठुकराहटें दो अलग जगहों पर लगती हैं, और यह फ़र्क़ नज़र आता है: ऋणात्मक संख्या या एक लाख करोड़ से बड़ी संख्या इनपुट बॉक्स पर ही रुक जाती है, जबकि 1.5 जैसी दशमलव संख्या बॉक्स से निकलकर हिसाब में असफल होती है — इसलिए वहाँ लाल निशान नहीं, हिसाब का त्रुटि-संदेश दिखता है। इस पेज का अंतर हमेशा एक संख्या है, और जाँच का एक ही रास्ता है: उसे नीचे वाली संख्या में जोड़कर देखिए। तीन या ज़्यादा संख्याओं की लंबी कटौती एक के बाद एक कई घटाव हैं, एक पेज का काम नहीं।

दीर्घ घटाव क्या है?

संख्याओं को उसी तरह घटाना जैसे वे लिखी जाती हैं: अंकों को स्थानीय मान के हिसाब से सीध में रखिए, इकाई के स्तंभ से बाईं ओर चलिए, और जहाँ ऊपर का अंक छोटा पड़े वहाँ अगले स्तंभ से दस उधार ले लीजिए। जवाब वही आता है जो कैलकुलेटर देता है, बस बीच के क़दम फेंके नहीं जाते।

उधार लेने का मतलब क्या है?

बाएँ स्तंभ से एक उठाकर यहाँ उसे दस की तरह ख़र्च करना। 4 − 7 नहीं चलता, इसलिए एक दहाई इधर आ जाती है और स्तंभ 14 − 7 = 7 पढ़ा जाता है। जिस स्तंभ से वह आई वह अब एक कम है — इसीलिए हर उधार एक नहीं, दो स्तंभों को छूता है।

क्या उधार लेना और पुनर्समूहन एक ही बात है?

हाँ — पुनर्समूहन, नाम बदलना और विनिमय तीनों एक ही चाल के अलग-अलग नाम हैं, और कक्षा में कौन-सा शब्द चलता है यह बस चलन की बात है। उधार में हमेशा अगले बाएँ स्थान की एक इकाई इस स्थान की दस इकाइयों से बदली जाती है, इसलिए कुछ बनता नहीं और कुछ मिटता नहीं।

उधार की शृंखला के आख़िर में शून्य क्यों आता है?

क्योंकि सबसे ऊपर का स्तंभ कभी उधार नहीं लेता। उधार तभी होता है जब कोई स्तंभ अपने नीचे का अंक न सँभाल पाए, और बड़ी संख्या का सबसे ऊँचा स्तंभ छोटी संख्या के पूरे योग से भी बड़ा रहता है, इसलिए शृंखला वहीं रुक जाती है। आख़िरी शून्य वही रुकना है, और इसीलिए शृंखला में आपके असल उधारों से एक प्रविष्टि ज़्यादा होती है।

जवाब की जाँच कैसे करूँ?

अंतर को नीचे वाली संख्या में जोड़कर देखिए कि ऊपर वाली संख्या लौटती है या नहीं। 1234 − 567 = 667, और 667 + 567 = 1234। यह जाँच बिलकुल ठीक बैठती है और इसमें एक स्तंभ जोड़ने जितना ही समय लगता है — इसीलिए घटाव और जोड़ एक ही विधि की दो दिशाएँ पढ़ाए जाते हैं, बस चिह्न बदल जाता है।

क्या छोटी संख्या में से बड़ी संख्या घटा सकते हैं?

हाँ, और तब अंतर ऋणात्मक आता है। हल फिर भी बड़ी में से छोटी घटाकर होता है, क्योंकि स्तंभ-दर-स्तंभ विधि को किसी न किसी स्तंभ में ऊपर के अंक बड़े चाहिए; बदलता सिर्फ़ अंतर का चिह्न है। 3 − 5 को 5 − 3 = 2 की तरह हल करके −2 लिखा जाता है।

• Subtraction — the operation itself, and the fact that a difference can be checked by adding it back — Wolfram MathWorld (United States)
• Base — how a digit's worth comes from the column it sits in, which is why a borrow is worth exactly ten — Wolfram MathWorld (United States)
• Subtraction with regrouping — the column-by-column procedure taught in schools, and the names it goes by — SplashLearn (United States)