त्रुटि फ़ंक्शन कैलकुलेटर

erf x = (2 ÷ √π) ∫₀ˣ e^(−t²) dt erfc x = 1 − erf x

x

जिस मान को नापा जा रहा है — एक सादा संख्या, कोई इकाई नहीं। यह ऋणात्मक भी हो सकती है, और तब त्रुटि फ़ंक्शन विषम होने के नाते धनात्मक जवाब का ऋणात्मक लौटाता है: erf(−1) = −0.842701, पर erfc(−1) = 1.842701 यानी एक से बड़ा। काम का दायरा −6 से 6 तक है, जिसके बाहर वक्र इतना चपटा हो चुका होता है कि दोहरे परिशुद्धता वाला मान उसे 1 से अलग बता ही नहीं सकता।

e^(−t²)

गाउसीय घंटी, वही वक्र जिसका समाकलन हो रहा है। इसी का आकार त्रुटि फ़ंक्शन को मायने देता है: दो मानों के बीच इसके नीचे का क्षेत्रफल एक प्रायिकता है, और इसीलिए वही समाकल हर मानक सामान्य बंटन के सवाल में लौटकर आता है। यहाँ यह एक चर नहीं बल्कि वह वक्र है जिस पर सारा हिसाब टिका है।

√π

समाकल के आगे लगा सामान्यीकरण गुणक, करीब 1.772454। इसके बिना पूरा वक्र 1 के बजाय √π तक समाकलित होता, और त्रुटि फ़ंक्शन −1 से 1 तक नहीं चलता। यह यहाँ चर नहीं बल्कि स्थिरांक है, और यह कहने लायक इसलिए है कि देखने में यह चर जैसा लगता है।

erf x

त्रुटि फ़ंक्शन ख़ुद, छह दशमलव स्थानों तक छपा हुआ। यह −1 से 1 तक चलता है, मूल बिंदु पर शून्य को पार करता है, और x = 1 पर 0.842701 तक पहुँचता है। मान असल में एक क्षेत्रफल है, प्रायिकता नहीं: उसे प्रायिकता बनाने के लिए एक जोड़कर आधा किया जाता है, और मानक सामान्य बंटन फ़ंक्शन इसी से बनाया जाता है।

erfc x

पूरक त्रुटि फ़ंक्शन, यानी एक में से erf घटाकर — बड़े ऋणात्मक मानों पर 1 से शुरू होकर शून्य की ओर गिरता हुआ। यह वैज्ञानिक संकेतन में दिखाया जाता है क्योंकि इसका विस्तार बहुत बड़ा है। यह दूसरा माप नहीं, उसी माप का दूसरे सिरे से पढ़ा गया रूप है: erfc पूँछ का क्षेत्रफल है, और x शून्य से दूर हो तो काम की चीज़ ठीक वही पूँछ होती है।

यह पेज तब उठाइए जब जवाब सीधे त्रुटि फ़ंक्शन या उसके पूरक के रूप में चाहिए हो। अगर असल में यह चाहिए कि कोई सामान्य चर किसी मान से नीचे रहने की प्रायिकता क्या है, तो मानक सामान्य बंटन वाला कैलकुलेटर माध्य और मानक विचलन लेकर वही प्रायिकता सीधे लौटाता है — वही संख्या, छोटे रास्ते से। त्रुटि फ़ंक्शन उसके नीचे बैठा मूल है, और यह पेज वह जगह है जहाँ वह मूल ख़ुद पढ़ा जा सकता है।

1. सबसे पहले मिलने वाला मान: x = 1

   1. श्रेणी x = 1 पर जोड़ी जाती है और कुछ दर्जन पदों में ही सिमट जाती है
   2. erf(1) = 0.842701 निकलता है
   3. पूरक उससे एक कम है: 1 − 0.842701 = 0.157299
   4. दोनों पाठ जोड़कर 1.000000 बनते हैं, और यह जाँच इस पेज की किसी भी पंक्ति पर करने लायक है

   दोनों पाठों का एक में जुड़ना गोलाई का इत्तेफ़ाक़ नहीं, पूरक शब्द की परिभाषा है। क्षेत्रफल की भाषा में यह कहता है कि घंटी के नीचे जो कुछ है वह या तो केंद्र से एक इकाई के भीतर है या उसके आगे। यही वह पंक्ति है जो सबसे सीधे उस जानी-पहचानी बात में बदलती है कि मानक विचलन के एक भीतर करीब 68 प्रतिशत आता है।

2. दो, जहाँ पूँछ पतली पड़ने लगती है

   1. erf(2) = 0.995322, यानी वक्र की चढ़ाई लगभग पूरी हो चुकी है
   2. पूरक 1 − 0.995322 = 0.0046777, जो अब आधे प्रतिशत से नीचे है
   3. वैज्ञानिक संकेतन में वही पूँछ 4.677735 × 10⁻³ लिखी जाती है
   4. दोनों पाठ अब भी एक बनाते हैं, और पूरक चार सार्थक अंकों तक बचा है

   निगाह त्रुटि फ़ंक्शन पर नहीं, पूरक पर रखिए। एक के बहुत क़रीब बैठी संख्या को एक में से घटाने पर शुरू के अंक बह जाते हैं, और इस पंक्ति तक पूरक उनमें से ज़्यादातर गँवा चुका है — इसीलिए पेज उसे तय दशमलव स्थानों के बजाय वैज्ञानिक संकेतन में और अपने सार्थक-अंक नियम से छापता है।

3. चार, जहाँ पूरक के अंक ख़त्म होने लगते हैं

   1. erf(4) का असली मान एक में से करीब 1.54 × 10⁻⁸ घटाकर बनता है
   2. दोहरे परिशुद्धता में वह 1 से अलग पहचाना ही नहीं जाता, इसलिए त्रुटि फ़ंक्शन वाला ख़ाना ठीक 1 छापता है
   3. पूरक तब 1 − erf के रूप में निकाला जाता है और 1.541726 × 10⁻⁸ लौटाता है
   4. घटाव ही वह जगह है जहाँ सटीकता जाती है: जवाब में गिने-चुने भरोसेमंद अंक बचते हैं

   यह इस पेज की ईमानदार हद है और यही वजह है कि इनपुट छह पर रुकता है। यहाँ पूरक ऐसी दो संख्याओं का अंतर है जो आठ दशमलव स्थानों तक एक जैसी हैं, यानी यह एक कटौती का छोटा बचा हुआ हिस्सा है; असली मान 1.5417 × 10⁻⁸ है और उसके शुरू के कुछ अंक ही भरोसेमंद हैं। x = 6 पर तो दोनों दोहरे मान बराबर हो जाते हैं और घटाव ठीक शून्य लौटाता है, जबकि सच करीब 2 × 10⁻¹⁷ है।

इनपुट दोनों दिशाओं में छह तक सीमित है, और यह परिशुद्धता की हद है, गति की नहीं: उसके आगे त्रुटि फ़ंक्शन एक के इतना क़रीब होता है कि दोहरे परिशुद्धता वाला मान उस फ़र्क़ को रख ही नहीं सकता, और पेज शोर छापने लगता। दायरे के भीतर भी एक हद जानने लायक है — पूरक घटाव से निकाला जाता है, और x करीब 4.5 से आगे बढ़ते ही वह घटाव ज़्यादातर सार्थक अंक काट देता है: x = 4 पर पूरक 1.541726 × 10⁻⁸ ठीक आता है, पर x = 5 पर 1.536438 × 10⁻¹² मिलता है जबकि सच 1.537460 × 10⁻¹² है, यानी तीन ही अंक भरोसेमंद रहते हैं, और x = 6 पर पूरक ठीक शून्य छपता है जबकि सच करीब 2 × 10⁻¹⁷ है। यह यहाँ ठीक नहीं किया गया, और इसे ठीक करने का मतलब इस कार्यान्वयन में सुधार नहीं बल्कि पूरक के लिए दूसरी विधि लिखना होता। त्रुटि फ़ंक्शन ख़ुद पूरे दायरे में करीब एक-दो इकाई-अंतिम-स्थान (ulp) के भीतर रहता है, सिर्फ़ ऊपरी सिरे पर नहीं: x = 4 पर नापी हुई ग़लती 1.0 ulp है, x = 5 पर 4.5 ulp, और x = 6 पर 4.0 ulp। दिए सिर्फ़ दो मान जाते हैं: मानक सामान्य बंटन फ़ंक्शन यहाँ के आउटपुट में नहीं है, क्योंकि वह वही जानकारी है बस दूसरे रास्ते से, और मानक सामान्य बंटन वाला कैलकुलेटर उसे माध्य तथा मानक विचलन के साथ एक प्रायिकता के रूप में लौटाता है। पूरे पेज पर कहीं कोई इकाई नहीं है; इनपुट एक शुद्ध संख्या है। मान किसी प्लेटफ़ॉर्म की लाइब्रेरी से नहीं बल्कि इसी पेज के लिए लिखी गई श्रेणी से निकाले जाते हैं, क्योंकि भाषा में त्रुटि फ़ंक्शन दिया ही नहीं है।

त्रुटि फ़ंक्शन किस काम आता है?

यह नापने के लिए कि गाउसीय वक्र का कितना हिस्सा केंद्र और किसी दिए बिंदु के बीच पड़ता है, जो मानक सामान्य बंटन में प्रायिकता होने की बात ही है। x = 1 पर मान 0.842701 है, और एक जोड़कर आधा करने पर 0.921351 मिलता है — यानी कोई मानक सामान्य चर माध्य के दोनों ओर एक मानक विचलन के भीतर रहने की प्रायिकता।

erfc क्या है और erf से इसका क्या नाता है?

यह पूरक त्रुटि फ़ंक्शन है, यानी एक में से त्रुटि फ़ंक्शन, इसलिए इस पेज के दोनों पाठ हमेशा ठीक 1 बनाते हैं। यह अलग फ़ंक्शन के रूप में मौजूद है, किसी सोच के बाद जोड़ा गया नहीं, क्योंकि बड़े मानों पर काम का यही है: x = 4 पर त्रुटि फ़ंक्शन 1 पर चपटा हो चुका होता है और जानकारी सिर्फ़ पूरक में बचती है।

छह से बड़ा मान क्यों नहीं भर सकता?

क्योंकि छह के आगे नापने को कुछ बचता ही नहीं। x = 6 पर असली मान एक में से करीब 2 × 10⁻¹⁷ घटाकर बनता है, और दोहरे परिशुद्धता वाला मान उसे 1 से अलग बता नहीं सकता — त्रुटि फ़ंक्शन वाला ख़ाना 1 छापेगा और पूरक ठीक शून्य। यह हद इस बात की है कि क्या रखा जा सकता है, इसकी नहीं कि हिसाब कितना भारी है — वहाँ श्रेणी करीब दो सौ पदों में सिमट जाती है।

बड़े मानों पर पूरक सटीक क्यों नहीं रहता?

क्योंकि वह घटाव से निकाला जाता है। जब त्रुटि फ़ंक्शन 0.99999999999846256 हो, तो उसे एक में से घटाने पर कुछ ही सार्थक अंक बचते हैं और उनसे पहले का सब कटौती का शोर है। x = 5 पर असली पूरक 1.537460 × 10⁻¹² है और यह पेज 1.536438 × 10⁻¹² लौटाता है। त्रुटि फ़ंक्शन ख़ुद इससे नहीं गुज़रता, और इसीलिए वह मुख्य पाठ है।

क्या यहाँ सामान्य बंटन की प्रायिकता मिल सकती है?

सीधे नहीं, और पेज जान-बूझकर वह नहीं देता। मानक सामान्य बंटन फ़ंक्शन त्रुटि फ़ंक्शन से एक जोड़कर आधा करने पर बनता है, पर मानक सामान्य बंटन वाला कैलकुलेटर मान के साथ माध्य और मानक विचलन भी लेता है और प्रायिकता सीधे बताता है — उस सवाल का वह जवाब एक मानकीकृत संख्या से बेहतर है।

क्या erf और erfc ऋणात्मक मान पर भी चलते हैं?

erf चलता है और विषम रहता है, यानी erf(−x) = −erf(x), इसलिए erf(−1) = −0.842701। erfc विषम नहीं है: erfc(−x) = 2 − erfc(x), इसलिए erfc(−1) = 1.842701, जो एक से बड़ा है, और erfc(−6) बिल्कुल 2 छपता है। यही वह जोड़ी है जिस पर इस पेज की सबसे आम ग़लती होती है।

• Erf — the definition as an integral of the gaussian, the series expansion, and the values at small arguments — Wolfram MathWorld (United States)
• DLMF §7.2: Error Functions — the definition, the symmetry relation, and the series used to evaluate them — National Institute of Standards and Technology (NIST), Digital Library of Mathematical Functions
• DLMF §7.12: Asymptotic Expansions for Error Functions — why the complement loses accuracy and how it is recovered — National Institute of Standards and Technology (NIST), Digital Library of Mathematical Functions