संवलन कैलकुलेटर

(a * b)[k] = Σᵢ a[i] × b[k − i] length = m + n − 1

a, b

दोनों अनुक्रम, जिन्हें अर्धविराम से अलग करके संख्याओं के रूप में लिखा जाता है। इनका क्रम मायने नहीं रखता — संवलन क्रमविनिमेय है, इसलिए दोनों बॉक्स की संख्याएँ आपस में बदल देने पर भी वही परिणाम आता है। दोनों की लंबाई समान होनी ज़रूरी नहीं, और किसी में भी दशमलव या ऋणात्मक मान चल सकते हैं। हर बॉक्स में दो सौ तक संख्याएँ डाली जा सकती हैं। अलग करने के लिए अर्धविराम ही लगाइए: दो अंकों के बीच अल्पविराम लिखने पर कैलकुलेटर उसे दशमलव बिंदु पढ़ लेता है और 1,5 को दो संख्याओं के बजाय 1.5 मान लेता है

k

उस पद का सूचकांक जो अभी बन रहा है, जो 0 से लेकर परिणाम की लंबाई घटा एक तक चलता है। यह हर मान के बग़ल में नहीं छपता, क्योंकि अल्पविराम से जुड़ी पंक्ति में क्रम पहले से है — पहली संख्या k बराबर 0 है, दूसरी k बराबर 1। नीचे की संदर्भ तालिका चालू जोड़ी के लिए सूचकांक खोलकर लिखती है, एक-एक पंक्ति में, और जगहों की जाँच करनी हो तो वहीं देखिए

a[i] × b[k − i]

योग में आने वाला एक गुणनफल। हर k के लिए i ऐसी हर जगह पर चलता है जहाँ दोनों अनुक्रमों का कोई पद मौजूद हो, इसलिए जुड़ने वाले गुणनफलों की संख्या दोनों सिरों पर एक से शुरू होती है और बीच में छोटे अनुक्रम की लंबाई तक पहुँच जाती है। यही चढ़ाव-उतार पूरा विचार है: एक अनुक्रम दूसरे के सामने से सरकता है और गुणनफल एक-एक स्तंभ में बटोरे जाते हैं

Σᵢ

उन गुणनफलों का योग, यानी परिणाम का एक पद। हर पद छह दशमलव तक गोल किया जाता है, और पंक्ति के बग़ल में दिखने वाला कुल उन गोल किए हुए पदों का जोड़ है, बिना गोल किए हुए पदों का नहीं — इसलिए पैनल पर छपी संख्याएँ हाथ से जोड़ने पर ठीक वही कुल देती हैं जो पैनल छापता है

m + n − 1

परिणाम की लंबाई, जो अपनी अलग पंक्ति में दिखती है। तीन-तीन पदों के दो अनुक्रम पाँच पद देते हैं; एक अकेली संख्या और तीन पदों का अनुक्रम मिलकर तीन पद। दोनों में से लंबे अनुक्रम से जो अतिरिक्त पद निकलते हैं, वही इस हिसाब को पूरा संवलन बनाते हैं — वह किस्म नहीं जो सिर्फ़ उन जगहों को रखती है जहाँ दोनों अनुक्रम पूरे-पूरे ऊपर पड़ते हैं

यह पेज तब खोलिए जब दो अनुक्रमों को मिलाकर एक वितरण बनाना हो: दो पासों के सारे योग कितने-कितने तरीक़ों से आ सकते हैं, चलती औसत की खिड़की किसी शृंखला पर क्या असर डालती है, या दो बहुपद गुणा करने पर उनके गुणांक क्या बनते हैं। जब सवाल सिर्फ़ एक ही अनुक्रम के बारे में हो — उसके पद, उसका योग, उसका पैटर्न — तो अनुक्रम कैलकुलेटर वह काम करता है, और जब चुनना यह हो कि चलती औसत की खिड़की कितनी चौड़ी रखनी है, तो औसत कैलकुलेटर वह पेज है जिसमें उसका नाम है।

1. एक, दो, तीन बनाम चार, पाँच, छह

   1. k = 0: सिर्फ़ पहले पद ऊपर पड़ते हैं, इसलिए 1 × 4 = 4
   2. k = 1: 1 × 5 + 2 × 4 = 5 + 8 = 13
   3. k = 2: 1 × 6 + 2 × 5 + 3 × 4 = 6 + 10 + 12 = 28
   4. k = 3: 2 × 6 + 3 × 5 = 12 + 15 = 27
   5. k = 4: सिर्फ़ आख़िरी पद ऊपर पड़ते हैं, 3 × 6 = 18
   6. परिणाम 4, 13, 28, 27, 18 है और उसका कुल 90, जो 6 × 15 भी है

   आख़िरी पंक्ति वह जाँच है जिससे यह पेज भरोसेमंद बनता है: संवलन का कुल हमेशा दोनों अनुक्रमों के योगों के गुणनफल के बराबर होता है, यहाँ 1 + 2 + 3 = 6 बनाम 4 + 5 + 6 = 15। यह बीजगणित से अपने आप निकलता है, क्योंकि परिणाम का हर पद ऐसे गुणनफलों का जोड़ है जिनमें एक-एक पद हर अनुक्रम से आया है, और ऐसी हर जोड़ी ठीक एक ही पद में आती है।

2. दो पासे और उनके योगों का आकार

   1. पासे के छहों फलक एक-एक तरीक़े से आ सकते हैं, इसलिए हर अनुक्रम छह एक हैं
   2. इनका संवलन हर योग बनाने वाली जोड़ियाँ गिनता है: k = 0 पर 1 × 1 = 1, यानी योग 2 आने का एक तरीक़ा
   3. k = 1 पर 1 + 1 = 2, यानी योग 3 के दो तरीक़े, और गिनती आगे बढ़ती जाती है
   4. सबसे ऊँचा पद 6 है, बीच में, और वह योग 7 के मुताबिक़ है
   5. परिणाम 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 है और उसका कुल 36

   केंद्रीय सीमा प्रमेय का यह छोटे पैमाने पर मानक उदाहरण है: दो सपाट वितरणों का संवलन त्रिभुजाकार वितरण देता है, और तीसरा पासा भी मिला दिया जाए तो आकार और गोल होकर घंटी की तरफ़ बढ़ता जाता है। कुल 36 भी वही जाँच है — दोनों योगों का गुणनफल 6 × 6 है, यानी फलकों की हर क्रमबद्ध जोड़ी, हर नतीजे के लिए ठीक एक।

3. एक अकेली संख्या पूरे अनुक्रम का पैमाना बदल देती है

   1. एक पद वाले अनुक्रम के सामने पड़ने को कुछ है ही नहीं, इसलिए परिणाम का हर पद उसी संख्या गुणा दूसरे अनुक्रम के एक पद के बराबर है
   2. k = 0: 2 × 1 = 2
   3. k = 1: 2 × 2 = 4
   4. k = 2: 2 × 3 = 6
   5. परिणाम 2, 4, 6 है और कुल 12, जो 2 × 6 है

   यह सबसे सीमांत मामला एक बार चला लेना काम का है, क्योंकि इससे दिखता है कि सरकने की तस्वीर का भी एक छोर है: जब एक अनुक्रम की लंबाई एक ही हो तो जोड़ने को कभी एक से ज़्यादा गुणनफल होता ही नहीं, और संवलन घटकर सादा गुणा रह जाता है। इसी वजह से लंबाई का सूत्र m + n − 1 यहाँ 1 + 3 − 1 = 3 देता है, इससे बड़ा कुछ नहीं।

यह पेज पूरा संवलन निकालता है, और सिर्फ़ पूरा संवलन। परिणाम का एक हिस्सा रखने वाली दोनों किस्में यहाँ नहीं हैं: वह किस्म जो लंबे इनपुट जितनी लंबी पंक्ति लौटाती है, और वह जो सिर्फ़ उन जगहों को रखती है जहाँ दोनों अनुक्रम पूरे-पूरे ऊपर पड़ते हैं। दोनों बराबर लंबाई वाले अनुक्रमों के लिए ठीक से परिभाषित ही नहीं होतीं, और पूरे परिणाम में दोनों शामिल हैं — छोटी किस्में उसी की कटी हुई पट्टियाँ हैं, अलग हिसाब नहीं। हर अनुक्रम में दो सौ तक पद हो सकते हैं, और हर संख्या का मान 1000000 तक जाता है, जो प्रदर्शन की सीमा है: संवलन पहले गुणा करता है और फिर जोड़ता है, इसलिए बड़ी संख्याएँ दोहरी परिशुद्धता की सीमा तक पहुँचने से बहुत पहले पढ़ने लायक दायरा पार कर जाती हैं। संख्याएँ अर्धविराम से अलग कीजिए, अल्पविराम से नहीं: दो अंकों के बीच लिखा अल्पविराम कैलकुलेटर के लिए दशमलव बिंदु बन जाता है, इसलिए 1,5 का मतलब दो संख्याएँ नहीं बल्कि 1.5 है। परिणाम के हर पद को छह दशमलव तक गोल किया जाता है, और दिखाया गया कुल उन्हीं गोल किए हुए पदों का जोड़ है, इसलिए छपी हुई संख्याएँ हाथ से जोड़ने पर ठीक वही कुल मिलता है जो पैनल छापता है। परिणाम में संख्याएँ अल्पविराम से जुड़ी एक पंक्ति के रूप में छपती हैं और वह पंक्ति स्थानीय नहीं की जाती, इसलिए दशमलव बिंदु हर भाषा में वही रहता है और हज़ारों पर कोई समूह-चिह्न नहीं लगता। जगहें ही सूचकांक बता देती हैं और हर पद पर अलग नाम नहीं लिखा जाता; चालू जोड़ी के सूचकांक नीचे की संदर्भ तालिका में खोलकर लिखे गए हैं। और एक चीज़ जिसकी उम्मीद किसी को नहीं होती: 0.000001 जैसे छोटे मानों का संवलन पैनल पर सादा शून्य दिखाता है, क्योंकि ठीक मान 10⁻¹² के आसपास होता है और छह दशमलव तक गोल होने पर वह शून्य बन जाता है।

दो अनुक्रमों का संवलन हाथ से कैसे निकालें?

एक अनुक्रम को दूसरे के सामने से सरकाइए और हर जगह गुणनफल जोड़ते जाइए। 1; 2; 3 और 4; 5; 6 के साथ पहला पद 1 × 4 = 4 है, दूसरा 1 × 5 + 2 × 4 = 13, और इसी तरह आख़िर में 3 × 6 = 18। परिणाम में पाँच पद आते हैं, क्योंकि तीन-तीन पदों के दो अनुक्रम मिलकर 3 + 3 − 1 लंबाई देते हैं। संवलन कैसे निकालें यह पूछने पर यही सबसे छोटा जवाब है, और बाक़ी सब इसी के बड़े रूप हैं।

संवलन सही है या नहीं, यह कैसे जाँचूँ?

परिणाम का कुल जोड़िए और उसे दोनों अनुक्रमों के योगों के गुणनफल से मिलाइए। 1; 2; 3 और 4; 5; 6 के लिए यह 90 बनाम 6 × 15 है, और दोनों का मेल होना ही चाहिए। वजह यह है कि परिणाम का हर पद जोड़ी-दर-जोड़ी गुणनफलों का योग है, और दोनों अनुक्रमों की हर मुमकिन जोड़ी इन योगों में से ठीक एक में आती है। यही जाँच हर आकार के संवलन पर चलती है, इसलिए इसे याद रखना काम का है।

दोनों अनुक्रमों से ज़्यादा पद परिणाम में क्यों आते हैं?

क्योंकि पूरा संवलन उन जगहों को भी रखता है जहाँ दोनों अनुक्रम आधे-अधूरे ऊपर पड़ते हैं। 1; 2; 3 और 4; 5; 6 के साथ ऐसी पाँच जगहें हैं: दोनों सिरों पर एक-एक, जहाँ सिर्फ़ एक जोड़ी मिलती है, और बीच में तीन, जहाँ कई मिलती हैं। इस क्रिया की दोनों छोटी किस्में — जो लंबे इनपुट जितनी लंबी पंक्ति देती है, और जो सिर्फ़ पूरे ऊपर पड़ने वाली जगहें रखती है — इसी परिणाम की कटी हुई पट्टियाँ हैं।

दो पासों के संवलन का प्रायिकता से क्या रिश्ता है?

यह नतीजे गिनता है। एक पासा छह एकों का अनुक्रम है, हर फलक के लिए एक, और उसी अनुक्रम का ख़ुद से संवलन उन क्रमबद्ध जोड़ियों को गिनता है जो हर योग बनाती हैं: 2 बनाने का एक तरीक़ा, 3 बनाने के दो, बढ़ते हुए 7 बनाने के छह तरीक़े, और फिर घटते हुए। परिणाम का कुल 36 क्रमबद्ध जोड़ियों की संख्या है, और इसीलिए हर पद को उससे बाँटने पर प्रायिकता मिल जाती है।

क्या चलती औसत भी संवलन है?

हाँ, है। चलती औसत बराबर भार की एक खिड़की लेती है — जैसे पाँच दिन, हर एक का भार एक-पाँचवाँ — और उसे शृंखला पर सरकाती है, जो ठीक उस खिड़की के साथ संवलन है जिसे दो अनुक्रमों में से एक रखा गया हो। इसीलिए यह क्रिया चिकनी करने, फ़िल्टर और छवि प्रसंस्करण में मिलती है: जो सरकाया जाता है वह भारों का समूह है, और जिसे चिकना किया जाता है वह शृंखला।

संख्याओं के बीच अल्पविराम लगाने से जवाब क्यों बदल जाता है?

क्योंकि दो अंकों के बीच फँसा अल्पविराम कैलकुलेटर के लिए दशमलव बिंदु है, अलग करने का चिह्न नहीं। 1,5 लिखने पर वह दो संख्याओं 1 और 5 के बजाय एक ही संख्या 1.5 पढ़ता है, और तब परिणाम की लंबाई भी बदल जाती है। इसलिए आदत डालिए कि संख्याएँ अर्धविराम से अलग की जाएँ, और 1; 5 लिखा जाए — यही रूप हर हाल में वही पढ़ा जाता है जो आपका मतलब है। यह बात दोनों बॉक्स पर एक जैसी लगती है, अनुक्रम A पर भी और अनुक्रम B पर भी।

• Convolution — the definition, the sum over overlapping products, and the length of the result — Wolfram MathWorld (United States)
• Cauchy Product — the same rule applied to the coefficients of two power series, which is what convolving two polynomial coefficient lists computes — Wolfram MathWorld (United States)
• Convolution Theorem — why the transform of a convolution is the product of the transforms, and where the operation is met in signal processing — Wolfram MathWorld (United States)