पासा रोलर

ways(total) = (x + x² + … + x^sides)^diceCount में x^total का गुणांक → संभावना = ways(total) / sides^diceCount

पासों की संख्या

पासों की संख्या, अधिकतम 20। एक पासा सपाट बंटन देता है जिसमें हर फलक बराबर मुमकिन है; दो या ज़्यादा पासे बीच के कुल जमा कर देते हैं, और यही वजह है कि किसी कुल की संभावना बताना काम की बात है

पासे के फलक

हर पासे के फलक, 2 से 100 तक। यहाँ जाना-पहचाना d6 भी आता है, और बीस फलक वाला तथा सौ फलक वाला पासा भी

ways(total)

मुमकिन नतीजों में से कितने उस कुल तक जोड़ते हैं। पासों के लिए ईमानदार इकाई तरीक़ों की गिनती है — दो छह-फलक पासों पर कुल 7 के छत्तीस में से छह तरीक़े हैं, और यही अनुपात संभावना है

रैंडम सीड

रैंडम सीड: फेंकना कहाँ से शुरू होगा, 0 से 4,29,49,67,295 तक कोई भी पूर्ण संख्या। एक ही सीड और एक ही सेट वही फलक देते हैं, जिससे कोई फेंक दोबारा चलाकर जाँचा जा सकता है

पासों का कुल

फलकों का जोड़। यह पासों की संख्या (सब एक) से लेकर पासों की संख्या × फलक (सब ऊपरी फलक) तक चलता है, इसलिए एक सेट जितने कुल बना सकता है वह पासों की संख्या × फलक − पासों की संख्या + 1 होता है

इसे तब उठाइए जब कुल मायने रखता हो और अलग-अलग फलक बारीक़ी हों: यह देखने के लिए कि 3d6 का फेंक किसी लक्ष्य संख्या को पार कर पाएगा या नहीं, खेल से पहले 2d6 के जोड़ की संभावना जाँचने के लिए, या ऐसा फेंक निकालने के लिए जिसे सीड से ठीक दोहराया जा सके। सीड वाला फेंक ही इसे महज़ तमाशे से ज़्यादा बनाता है — लेवल बनाने वाले प्रोग्राम, कोई परिदृश्य दोबारा खेलने वाले समूह और कोई नियम जाँचने वाले लोग, सबको ऐसा फेंक चाहिए जो दोबारा पैदा किया जा सके, और सीड ही एक फेंक को सबके दोहराए जा सकने वाले फेंक में बदलता है। यह भौतिक यादृच्छिकता के मतलब में निष्पक्ष पासों का सिम्युलेटर नहीं है: संख्याएँ एक छोटे नियतात्मक क्रम से आती हैं, इसलिए जहाँ किसी खिलाड़ी को फलक पहले से नहीं जानने चाहिए वह सब इसके दायरे से बाहर है।

1. दो छह-फलक पासे, सीड 1: 4 और 1, कुल 5

   1. सेट में दो छह-फलक पासे हैं, इसलिए फलकों के 6 × 6 = 36 बराबर मुमकिन जोड़े बनते हैं
   2. सीड 1 जोड़ी को 4 और 1 तय कर देता है, और कुल 4 + 1 = 5 है
   3. कुल 5 इस तरह आता है: 1+4, 2+3, 3+2 और 4+1 — छत्तीस में से चार तरीक़े
   4. 4 / 36 = 0.1111…, इसलिए संभावना 11.11% है

   11.11% ही वह वजह है जिससे फेंक को संभावना के बग़ल रखा जाता है: कुल 5 देखने में साधारण लगता है, और है भी तीसरा सबसे मुमकिन कुल, फिर भी यह करीब नौ में से एक बार ही आता है। कुल 2 और 12 सबसे दुर्लभ हैं — हर एक 2.78% — क्योंकि उन्हें बनाने का ठीक एक-एक तरीक़ा है, जबकि 7 के छह तरीक़े हैं और 16.67%। एक ही पासे पर यह पूरी बनावट मौजूद ही नहीं होती — हर फलक 1/फलक होता है — इसीलिए संभावना चौंकाने वाली लगे तो सबसे पहले पासों की संख्या देखिए।

2. तीन छह-फलक पासे, सीड 5: 5, 5 और 2, कुल 12

   1. तीन छह-फलक पासे 6 × 6 × 6 = 216 बराबर मुमकिन नतीजे देते हैं
   2. सीड 5 फलक 5, 5 और 2 देता है, जिनका जोड़ 12 है
   3. यह सेट 3 × 6 − 3 + 1 = 16 अलग-अलग कुल बना सकता है, 3 से 18 तक
   4. कुल 12 के 216 में से 25 तरीक़े हैं, इसलिए संभावना 11.57% है

   तीन पासे दायरे के बीच के हिस्से को दो पासों से कहीं ज़्यादा भीड़भाड़ वाला बना देते हैं: सबसे मुमकिन कुल 10 और 11 हैं, हर एक 12.5%, और 12 करीब-करीब तीसरे स्थान पर 11.57% के साथ। वही कुल 12 दो पासों पर बिलकुल दूसरी बात है, जहाँ वह सबसे दुर्लभ नतीजा है — 2.78% — इसलिए किसी कुल के लिए बताई गई संभावना अर्थहीन है जब तक उसके साथ पासों की संख्या न बताई जाए। ये 16 संभव कुल यह भी दिखाते हैं कि गिनती "फलकों की संख्या" भर नहीं है: तीन पासों पर कुल 3 से 18 तक चलते हैं और उनकी गिनती 16 है, न 18 और न 6।

3. एक बीस-फलक पासा, सीड 7

   1. अकेले पासे के पास जोड़ने को कोई दूसरा फलक नहीं होता, इसलिए हर फलक बराबर मुमकिन है
   2. सीड 7 फलक 1 देता है
   3. बीस में से एक फलक 1 / 20 = 5% है

   यही वह मामला है जहाँ बंटन सपाट रहता है: बीच में कुछ जमा नहीं होता क्योंकि पासा एक ही है, इसलिए 1 और 20 बाक़ी सबके बराबर ही मुमकिन हैं। अतिरिक्त पासे असल में क्या कर रहे हैं, यह यहीं सबसे साफ़ दिखता है — 2d6 पर किनारे के कुल दुर्लभ हैं, 1d20 पर कुछ भी दुर्लभ नहीं, और पूरा तंत्र इसी में है कि हर कुल कितने तरीक़ों से बन सकता है। बग़ल वाला रैंडम नंबर जनरेटर यही बात दूसरी तरफ़ से कहता है: एक अकेला एकरूप निकाल, कई निकालों के जोड़ जैसा नहीं होता।

4. सीड अपनी ऊपरी सीमा पर

   1. सीड 4,29,49,67,295 तक जा सकता है, जो 2³² − 1 है — जनरेटर की अवस्था जितना बड़ा मान रख सकती है उतना बड़ा
   2. वही दो पासे जो पहले उदाहरण में थे, पर दूसरा सीड, इसलिए दूसरा हाथ
   3. 6 और 2 का जोड़ 8 है, और कुल 8 के छत्तीस में से पाँच तरीक़े हैं
   4. 5 / 36 = 13.89%

   4,29,49,67,295 आज़माने लायक़ है क्योंकि यह वह अकेला सीड मान है जहाँ जनरेटर की अवस्था को लापरवाही से लिखा गया कोई हिसाब ऐसे तरीक़े से टूटता है जो दिखता नहीं: अवस्था 32-बिट अचिह्न पूर्णांक में रखी जाती है, और सबसे बड़ा मान ठीक वही जगह है जहाँ उस स्टेप में एक का फ़र्क़ छिपा नहीं रह पाता। यहाँ दिखने वाला नतीजा 6 और 2 का एक साधारण हाथ है — पैनल को अलग दिखना चाहिए भी नहीं — और इसीलिए यह सीमा एक परीक्षण है, किसी के इस्तेमाल की सुविधा नहीं।

ये फलक पहले से जाने नहीं जा सकते, ऐसा नहीं है। वे उसी तरह के छोटे सीड वाले क्रम से आते हैं जो आम सॉफ़्टवेयर इस्तेमाल करता है, इसलिए जो सीड जानता है वह पूरा हाथ दोबारा निकाल सकता है, और जो कुछ हाथ देख ले वह सीड तक पहुँच सकता है। यह इस पेज को हर उस काम से बाहर कर देता है जहाँ किसी खिलाड़ी को फेंक का अंदाज़ा लगाने या उसे दोबारा बनाने की छूट नहीं होनी चाहिए — जिस पर पैसा लगा हो ऐसा निकाल, कोई कुंजी, कोई टोकन, कोई एक-बार वाला कोड — और उन सबके लिए क्रिप्टोग्राफ़िक रैंडम स्रोत ही एकमात्र सही जवाब है। सीड वाले फेंक दोबारा खेलने, बनाने और जाँचने के लिए हैं, जहाँ दोहराया जा सकना ही मुद्दा है। दो और सीमाएँ सीधे शब्दों में बताने लायक़ हैं। कैलकुलेटर के नीचे की संदर्भ तालिका दो छह-फलक पासों का बयान करती है और आपके भरे हुए पासों के पीछे नहीं चलती: तालिका तय संदर्भ है, और नतीजे के पैनल वाली संभावना ही वह है जो आपके सेट से मिलती है। और किसी कुल की संभावना निष्पक्ष पासे मानकर बताई जाती है — झुकाव वाला असली पासा इन संख्याओं से मेल नहीं खाएगा, चाहे सेट कोई भी हो।

कैलकुलेटर के नीचे की तालिका मेरे भरे हुए पासों से मेल क्यों नहीं खाती?

क्योंकि संदर्भ तालिका दो छह-फलक पासों पर तय है। वह इनपुट से नहीं बल्कि एक स्थिर संख्या से बनती है, इसलिए आपके सेट बदलने पर भी वह अपनी जगह रहती है — नतीजे के पैनल पर दिखने वाली संभावना ही आपके पासों के पीछे चलती है, और जब दोनों में फ़र्क़ हो तो वही पढ़ने लायक़ संख्या है। तालिका इसीलिए है क्योंकि पासों की संभावना पूछते समय लोगों का मतलब आम तौर पर 2d6 ही होता है: बीच में 7, किनारों पर 2 और 12। किसी और सेट की संभावना चाहिए तो पैनल आपके पड़े हुए कुल की संभावना देता है, और आप वही सीड दोबारा चलाकर जिस किसी कुल को देखना चाहें उसे जाँच सकते हैं।

सीड क्या करता है, और वही हाथ हर बार क्यों लौटता है?

सीड वह अवस्था है जहाँ से फेंकना शुरू होता है, इसलिए एक ही सीड और एक ही सेट हमेशा वही फलक देते हैं। यह ख़ास बात है, कोई शॉर्टकट नहीं: सीड वाला फेंक ही किसी सत्र को ठीक-ठीक दोबारा खेलने, किसी बनाए गए लेवल को हर बार वैसा ही रखने, और किसी नियम को एक तय हाथ पर जाँचने का तरीक़ा है। सीड बदलिए तो उसी सेट से दूसरा हाथ मिलेगा। अगर हर फेंक अलग चाहिए तो फेंकों के बीच सीड बदलते रहिए — पैनल चुपचाप अपने आप आगे नहीं बढ़ता।

क्या ये फेंक ऐसे खेल के लिए ठीक हैं जहाँ किसी को नतीजा पहले से नहीं जानना चाहिए?

नहीं, और यह फ़र्क़ मायने रखता है। फलक एक छोटे नियतात्मक क्रम से आते हैं, इसलिए सीड से पूरा हाथ दोबारा बनाया जा सकता है, और कुछ हाथ देखकर सीड तक पहुँचा जा सकता है। जहाँ किसी भाग लेने वाले को फेंक का अंदाज़ा लगाने या उसे दोबारा बनाने की छूट नहीं होनी चाहिए, वहाँ क्रिप्टोग्राफ़िक रैंडम स्रोत चाहिए। टेबलटॉप दोबारा खेलना, लेवल बनाना, नियम जाँचना और दोहराया जा सकने वाला नमूना लेना — ये सब ठीक हैं, और ये वही मामले हैं जहाँ फेंक दोबारा बना पाना ही इसे इस्तेमाल करने की वजह है।

दो पासों पर कुल 7 सबसे मुमकिन क्यों है, पर तीन पर नहीं?

क्योंकि बीच में जो जमा होता है वह इस बात की गिनती है कि कोई कुल कितने तरीक़ों से बन सकता है, और वह सेट पर निर्भर करता है। दो छह-फलक पासों पर 36 जोड़े बनते हैं और उनमें से छह 7 के हैं (1+6 से 6+1 तक), जो किसी भी और कुल से ज़्यादा है। तीन पासों पर सबसे मुमकिन कुल 10 और 11 हैं, हर एक 12.5%, और 7 सूची में काफ़ी नीचे चला जाता है। इसलिए वही कुल अलग-अलग सेटों पर अलग-अलग बात कहता है, और इसीलिए पैनल कुल के साथ हमेशा उसी सेट की संभावना भी बताता है जो आपने तय किया।

एक सेट कितने कुल बना सकता है?

सबसे छोटे मुमकिन कुल से, यानी सब एक से, सबसे बड़े कुल तक, यानी हर पासे पर उसका ऊपरी फलक: पासों की संख्या और हर पासे के फलक के साथ यह पासों की संख्या × फलक − पासों की संख्या + 1 अलग-अलग कुल बनते हैं। 2d6 के लिए यह 11 कुल हैं, 2 से 12 तक; 3d6 के लिए 16, 3 से 18 तक; और 20d100 के लिए 1981। यह गिनती फलकों की संख्या नहीं है, और दायरे के दोनों सिरे हमेशा सबसे दुर्लभ कुल होते हैं, क्योंकि उनमें से हर एक ठीक एक ही तरीक़े से बन सकता है।

पैनल की संभावना कुल के लिए है या ठीक उन्हीं फलकों के लिए?

कुल के लिए। दो पासे 4 और 1 दिखाएँ या 1 और 4, कुल दोनों बार 5 ही है, और बताई गई संभावना उस कुल की संभावना है, जिसमें उस तक जोड़ने वाला हर जोड़ गिना जाता है — 5 के लिए छत्तीस में से चार तरीक़े। ठीक उसी क्रम वाले हाथ की संभावना एक अलग और बहुत छोटी संख्या है (किसी भी तय जोड़ी के लिए 1/36), और पैनल वह नहीं बताता, क्योंकि कुल ही वह संख्या है जो तय करती है कि कोई फेंक किसी लक्ष्य को पार करेगा या नहीं।

• Dice — from Wolfram MathWorld (the generating-function form of the sum of dice, and the coefficient that counts the ways each total can be made) — Wolfram MathWorld
• Uniform Sum Distribution — from Wolfram MathWorld (the distribution of a sum of uniform draws, which is what the total of several dice is) — Wolfram MathWorld
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods (the frequency distribution of a variable, and how a probability is read off the outcomes it counts) — National Institute of Standards and Technology (NIST)