निरपेक्ष मान कैलकुलेटर

|x| = x (x ≥ 0) |x| = −x (x < 0) विपरीत = −x

x

जो संख्या आप डालते हैं। इस पेज की सीमा के भीतर कोई भी वास्तविक संख्या चलती है: धनात्मक, ऋणात्मक, शून्य, पूर्ण या दशमलव। ख़ाने में कुछ भी रोका नहीं गया, क्योंकि निरपेक्ष मान हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है — इस साइट पर यही एक ऐसी क्रिया है जिसके लिए बताने को कोई सीमा बचती ही नहीं।

|x|

निरपेक्ष मान, यानी मुख्य जवाब: संख्या रेखा पर शून्य से उस संख्या तक की दूरी, जो कभी ऋणात्मक नहीं होती। इसे एक नहीं, दो नियमों के रूप में लिखा जाता है, क्योंकि नियम ठीक शून्य पर बदलता है — ग़ैर-ऋणात्मक संख्या पर कुछ भी हटाना नहीं पड़ता, और ऋणात्मक संख्या पर उसका ऋणात्मक लिया जाता है, और उसी से जवाब धनात्मक बनता है।

−x

विपरीत संख्या, यानी शून्य के दूसरी ओर उतनी ही दूरी पर पड़ी संख्या। यह निरपेक्ष मान वाली क्रिया नहीं है: 7 का विपरीत −7 है जबकि 7 का निरपेक्ष मान 7 है, और दोनों तभी मिलते हैं जब इनपुट शून्य या ऋणात्मक हो। दूसरे ख़ाने में चिह्न देखकर इसे कैलकुलेटर की ग़लती मान लेना ठीक नहीं — ऋणात्मक संख्या पर यही उस क्रिया की परिभाषा है।

1. धनात्मक संख्या का निरपेक्ष मान

   1. 7 ऋणात्मक नहीं है, इसलिए पहला नियम लगता है: |7| = 7
   2. निरपेक्ष मान 7 ही रहा, बदला नहीं
   3. विपरीत −7 है, यानी शून्य के दूसरी ओर उतनी ही दूरी पर
   4. दोनों जवाब अलग-अलग हैं, और धनात्मक इनपुट पर यही आम बात है

   वही मामला जिसके साथ पेज खुलता है, और यह देखने का सबसे साफ़ तरीक़ा कि दोनों ख़ाने दो अलग सवालों का जवाब दे रहे हैं। काग़ज़ पर चिह्न हटाना और चिह्न पलटना एक जैसे लगते हैं, पर धनात्मक संख्या पर दोनों अलग जवाब देते हैं, और यह पंक्ति देख लेने के बाद कोई पढ़ने वाला इन्हें फिर नहीं मिलाएगा।

2. ऋणात्मक संख्या का निरपेक्ष मान

   1. −9 ऋणात्मक है, इसलिए दूसरा नियम लगता है: |−9| = −(−9)
   2. वह 9 है, यानी शून्य से −9 तक की दूरी
   3. −9 का विपरीत भी 9 है
   4. दोनों ख़ाने 9 छापते हैं — एक ही संख्या दो बार, और यह ग़लती नहीं

   यही वह पंक्ति है जिसे लोग सबसे ज़्यादा ग़लती बताकर रिपोर्ट करते हैं। इनपुट ऋणात्मक हो तो दोनों क्रियाएँ एक ही जगह पहुँचती हैं, क्योंकि चिह्न हटाना और चिह्न पलटना यहाँ एक ही बात है: ऋणात्मक x के लिए −x ही निरपेक्ष मान है। दोनों ख़ानों का मिल जाना जानकारी है, दोहराया हुआ हिसाब नहीं — यह बताता है कि इनपुट ऋणात्मक था।

3. 1 और −1 के बीच की कोई संख्या

   1. 0.125 धनात्मक है, इसलिए निरपेक्ष मान 0.125 है
   2. विपरीत −0.125 है
   3. दोनों संख्याएँ 1 से छोटी हैं, जिससे कोई नियम नहीं बदलता
   4. निरपेक्ष मान फिर भी शून्य से दूरी ही है

   दशमलव संख्याएँ यहाँ पूर्ण संख्याओं की तरह ही चलती हैं — नियम सिर्फ़ चिह्न के बारे में हैं, और कुछ नहीं, इसलिए आकार का इसमें कोई रोल नहीं। शून्य और एक के बीच पड़ी संख्या का निरपेक्ष मान छोटा होता है और विपरीत भी उतना ही छोटा, और यह जोड़ी संख्या रेखा पर शून्य के आस-पास सममित ही बैठी रहती है।

यह पेज एक संख्या लेता है और उसका निरपेक्ष मान तथा उसका विपरीत लौटाता है। यह दो बिंदुओं के बीच की दूरी नहीं निकालता, चाहे वह दूरी निरपेक्ष मान की खड़ी पट्टियों में ही लिखी जाती हो — a और b के बीच के फ़ासले की लंबाई |a − b| है, जिसके लिए दो संख्याएँ चाहिए, और पेज के नीचे जुड़ा दूरी वाला कैलकुलेटर दोनों निर्देशांक लेता है। जब इनपुट ऋणात्मक हो तो दोनों ख़ाने एक ही संख्या छापते हैं, और यह परिभाषा का नतीजा है, पूर्णांकन की ख़राबी नहीं: ऋणात्मक x के लिए निरपेक्ष मान और विपरीत, दोनों एक ही व्यंजक −x हैं। शून्य ही अकेली ऐसी संख्या है जो अपने ही विपरीत के बराबर है, और उसका निरपेक्ष मान भी शून्य ही है। इनपुट 10¹⁵ तक ही स्वीकार होते हैं; उससे बड़े मान पर संख्या सादे रूप में छपने के बजाय वैज्ञानिक संकेतन में जानी पड़ती, और यह पेज सादा रूप छापता है। नतीजा दिखाने के लिए छह दशमलव तक पूर्णांकित किया जाता है, जबकि पीछे का हिसाब पूरी परिशुद्धता पर चलता है। इस पेज पर कोई वर्गीकरण बैज नहीं है, क्योंकि इनपुट धनात्मक था, ऋणात्मक था या शून्य, यह दोनों संख्याओं में ख़ुद दिख जाता है।

किसी संख्या का निरपेक्ष मान क्या होता है?

यह संख्या रेखा पर उस संख्या से शून्य तक की दूरी है, इसीलिए यह कभी ऋणात्मक नहीं होता। −9 का निरपेक्ष मान 9 है और 9 का निरपेक्ष मान भी 9: दोनों संख्याएँ शून्य से नौ इकाई दूर हैं, बस शून्य के आमने-सामने। संख्या के दोनों ओर की खड़ी पट्टियाँ उसी दूरी का संकेतन हैं, कोई कोष्ठक नहीं।

ऋणात्मक संख्या डालने पर कैलकुलेटर एक ही संख्या दो बार क्यों छापता है?

क्योंकि ऋणात्मक संख्या के लिए निरपेक्ष मान और विपरीत एक ही व्यंजक हैं। परिभाषा कहती है कि x ऋणात्मक हो तो |x| = −x, और विपरीत भी परिभाषा से −x ही है, इसलिए दोनों ख़ानों का मिलना ज़रूरी है। −9 का विपरीत 9 है और निरपेक्ष मान भी 9। यह दोहराया हुआ हिसाब कतई नहीं, बल्कि एक जानकारी देता है: यह बताता है कि इनपुट ऋणात्मक या शून्य था।

निरपेक्ष मान और विपरीत संख्या में क्या फ़र्क़ है?

निरपेक्ष मान चिह्न हटाता है; विपरीत उसे पलट देता है। धनात्मक संख्या पर ये दो अलग क्रियाएँ हैं — 7 का निरपेक्ष मान 7 है और विपरीत −7। ऋणात्मक संख्या पर दोनों एक ही जगह पहुँचती हैं, और शून्य पर दोनों शून्य देती हैं। पेज दोनों ख़ाने साथ दिखाता है ताकि यह फ़र्क़ आँखों के सामने रहे, पढ़ने वाले को भरोसे पर न मानना पड़े।

क्या निरपेक्ष मान कभी ऋणात्मक हो सकता है?

नहीं। यह एक दूरी है, और दूरियाँ ऋणात्मक नहीं होतीं। यह हर वास्तविक संख्या पर लागू होता है, बहुत बड़ी ऋणात्मक संख्याओं पर भी: −10,00,000 का निरपेक्ष मान 10,00,000 है। अगर किसी हिसाब में निरपेक्ष मान ऋणात्मक निकले तो किसी एक चरण में परिभाषा ग़लत लगी है — आम तौर पर किसी ऐसी संख्या का ऋणात्मक ले लेने से जो पहले से धनात्मक थी।

शून्य के निरपेक्ष मान पर कोई चिह्न लगता है?

वह शून्य है, और शून्य ही अकेली संख्या है जो अपने ही विपरीत के बराबर होती है। जावास्क्रिप्ट के हिसाब में शून्य का ऋणात्मक लेने पर ऋणात्मक शून्य बन सकता है, जो छपता 0 है पर कड़ी तुलना में 0 से अलग गिना जाता है। पेज दोनों ख़ानों को सामान्य कर देता है, इसलिए शून्य डालने पर दोनों में सादा शून्य आता है और मान के भीतर कोई भटका हुआ ऋण चिह्न नहीं छिपा रहता।

क्या यह पेज दो बिंदुओं के बीच की दूरी निकालता है?

नहीं। यह एक संख्या लेता है, और दो बिंदुओं के बीच की दूरी के लिए दो चाहिए — a और b के बीच का फ़ासला |a − b| है। नीचे दी गई तालिका वही हिसाब संख्या रेखा पर दिखाती है, और पेज के नीचे जुड़ा दूरी वाला कैलकुलेटर यही काम समतल में करता है, जहाँ जवाब एक घटाव के बजाय दो वर्गों के जोड़ का वर्गमूल होता है।

• Absolute Value — the two-case definition, the number-line reading as distance from zero, and the notation — Wolfram MathWorld (United States)
• Additive Inverse — the opposite of a number, the operation behind the page's second column — Wolfram MathWorld (United States)
• Real Line — the axis whose every point is a real number: the picture the absolute value is a distance on, and where the opposite sits — Wolfram MathWorld (United States)