Calculatrice de travail

travail = force × distance × cos θ, où θ est l’angle entre la force et le déplacement

F

La force qui fournit le travail, en newtons, avec les kilonewtons, les livres-force et les kilogrammes-force dans le même champ. Seule la composante dirigée le long du mouvement compte, donc une même force accomplit d’autant moins que son orientation s’écarte de la direction du déplacement : à 60 degrés, la moitié de cette valeur travaille et l’autre moitié ne travaille pas

d

La distance dont l’objet se déplace pendant que la force agit, en mètres, en pieds, en centimètres, en pouces ou en kilomètres. C’est la distance parcourue par le point où la force est appliquée, ce qui revient au déplacement de l’objet pour une poussée simple et n’y revient pas du tout pour un levier. Zéro est refusé : pas de mouvement, pas de travail, quelle que soit la force exercée

θ

L’angle entre la force et la direction du mouvement, en degrés, en radians ou en grades. Il va de 0 à 180, et son cosinus porte toute l’histoire : 0 donne l’effet complet, 60 le divise par deux, 90 le supprime entièrement, et au-delà de 90 le travail devient négatif. Une force qui tire vers l’arrière à 180 fournit exactement l’opposé de la même force qui tire vers l’avant

W

Le travail fourni par cette force, en joules sur la ligne principale, avec les kilojoules et les ft·lb en dessous. Il est signé, et le signe est une information et non une erreur : une valeur négative signifie que la force retirait de l’énergie au mouvement, ce que font exactement le frottement et le freinage. Le joule vaut un newton-mètre, donc 100 N sur 5 m font 500 joules

F cos θ

La part de la force couchée le long du déplacement, en newtons — le champ de la force multiplié par le cosinus de l’angle. C’est la version honnête de ce champ, et la lire à côté du travail est le moyen le plus rapide de voir d’où vient la réponse : 100 N à 60 degrés font le travail de 50 N, et 100 N à 90 degrés font le travail de rien du tout

Prenez cette page quand vous voulez savoir ce qu’une traction, une poussée ou un tirage accomplit réellement : quelle part de la tension d’une corde fournit un travail utile quand vous tirez un traîneau en biais, quelle énergie un moteur doit fournir sur un trajet donné, ou quelle quantité de travail le frottement retire à une caisse qui glisse jusqu’à s’arrêter. Le cosinus est ce qui rend la page intéressante, parce que la réponse est en général plus petite qu’on ne l’attend et parfois nulle — une force perpendiculaire au mouvement ne fournit aucun travail, et une force dirigée vers l’arrière en fournit un négatif. Ce cosinus est aussi la raison de la forme du théorème de l’énergie cinétique : le travail fourni à un objet égale sa variation d’énergie cinétique, et c’est le seul endroit de ce groupe de pages où cette affirmation a sa place. Deux réserves : la force est supposée constante, et une seule force est suivie à la fois.

1. Les valeurs par défaut : 100 N sur 5 m, droit le long du mouvement

   1. Force 100 N, distance 5 m, angle 0 degré
   2. Toute la force est couchée le long du mouvement : F cos 0 = 100 × 1 = 100 N, soit la deuxième ligne du panneau
   3. Travail : W = 100 × 5 = 500 J
   4. En kilojoules : 500 ÷ 1 000 = 0,5 kJ
   5. En ft·lb : 500 ÷ 1,3558179483 = 368,7811, affiché 368,78 ft·lb

   C’est le cas vers lequel la formule se réduit quand rien n’est en biais, et il vaut la peine d’être vu une fois avant que les angles n’entrent en jeu : le travail se mesure en joules, un joule vaut un newton-mètre, et 500 J représentent une poussée ferme maintenue sur la longueur d’une petite pièce. Comparez plus tard avec les calories d’une étiquette alimentaire et l’échelle devient claire — 500 J font environ un huitième d’une calorie alimentaire, ce qui explique que soulever et porter paraissent un travail à vos muscles tout en ne représentant presque rien dans le bilan énergétique de l’objet. Votre corps dépense bien plus que 500 J pour y parvenir, parce que les muscles n’ont pas un rendement parfait et que maintenir une charge coûte de l’énergie même quand rien ne bouge.

2. La même poussée à 60 degrés : la moitié de la force travaille

   1. Force 100 N, distance 5 m, angle 60 degrés
   2. Le long du mouvement : F cos 60 = 100 × 0,5 = 50 N — la moitié de la force, et le panneau l’affiche
   3. Travail : W = 50 × 5 = 250 J
   4. En kilojoules : 250 ÷ 1 000 = 0,25 kJ
   5. En ft·lb : 250 ÷ 1,3558179483 = 184,3905, affiché 184,39 ft·lb

   La ligne qui accompagne le résultat est ici tout l’intérêt. Ne changez que l’angle et la force le long du déplacement comme le travail sont divisés par deux, parce que le cosinus apparaît dans les deux : 100 N deviennent 50 N de traction utile, et le travail suit. Un lecteur qui s’attend à ce que le travail ne dépende que de l’intensité de la force se trompera d’un facteur deux sur ce cas et d’un facteur infini sur le suivant. C’est pourquoi la page affiche du tout la force le long du déplacement — elle transforme un cosinus en quelque chose de visible sur le même écran que le travail qu’il produit.

3. Porter une caisse à l’horizontale : le travail est exactement nul

   1. Force 100 N, distance 5 m, angle 90 degrés — la force est verticale, le mouvement est horizontal
   2. Le long du mouvement : F cos 90 = 100 × 0 = 0 N
   3. Travail : W = 0 × 5 = 0 J
   4. Les kilojoules et les ft·lb sont nuls eux aussi, donc les trois lignes d’énergie affichent 0
   5. La force est réelle et la distance est réelle, et le travail n’en est pas moins nul

   C’est la ligne qui fait comprendre la définition, et c’est celle avec laquelle on discute. Vous portez une lourde caisse à travers une pièce, vos bras vous font mal, et le travail mécanique que vous avez fourni à la caisse est exactement nul — parce que la force que vos bras exercent est verticale et que la caisse se déplace horizontalement, donc la force et le déplacement sont perpendiculaires et leur produit s’annule. L’énergie que votre corps a brûlée est partie en chaleur, dans la tension maintenue des muscles et dans la biochimie de cette tension. Elle n’est pas allée dans la caisse. Cette page ne mesure que la seconde chose.

4. Le frottement : 180 degrés, et le travail devient négatif

   1. Force 100 N, distance 5 m, angle 180 degrés — la force pointe exactement vers l’arrière
   2. Le long du mouvement : F cos 180 = 100 × (−1) = −100 N
   3. Travail : W = −100 × 5 = −500 J
   4. En kilojoules : −0,5 kJ : en ft·lb : −368,78 ft·lb
   5. Chaque ligne est le cas à 0 degré avec le signe inversé

   Un travail négatif n’est pas une erreur et pas une convention de signe que l’on pourrait ignorer : c’est ce que font le frottement, la traînée et le freinage toute la journée. Un traîneau qui glisse jusqu’à s’arrêter subit une force de frottement dirigée vers l’arrière le long du mouvement, donc le frottement fournit −500 J de travail, et le traîneau perd exactement 500 J d’énergie cinétique. Lisez les deux ensemble comme un bilan : la poussée apporte de l’énergie, le frottement en retire, et la différence est ce que l’objet garde. Une version de cette page qui renverrait la valeur absolue du travail serait incapable d’énoncer cela, et elle aurait l’air parfaitement normale.

Seule une force constante est couverte : si la force change de direction ou d’intensité pendant que l’objet se déplace, le travail devient une intégrale et ces lignes ne s’appliquent plus. La distance est celle dont se déplace le point où la force est appliquée, ce qui, pour un levier ou une roue qui tourne, n’est pas la distance parcourue par l’objet. Une seule force est suivie, alors que les objets réels en subissent en général plusieurs à la fois. Tenir une caisse immobile consume de l’énergie dans vos muscles, mais le travail mécanique est nul.

Quelle est la formule du travail ?

W = F × d × cos θ : la force multipliée par la distance sur laquelle elle agit, puis par le cosinus de l’angle entre la force et le mouvement. Une traction de 100 N sur 5 m droit dans la direction du déplacement vaut 500 J, tandis que la même traction à 60 degrés vaut 250 J et à 90 degrés vaut zéro. Le cosinus n’est pas une décoration — il sélectionne la part de la force qui fournit réellement le travail, ce qui explique que la page affiche aussi cette part sur sa propre ligne.

Pourquoi l’angle change-t-il le travail ?

Parce que seule la composante de la force le long du déplacement déplace l’objet dans la direction où il va. Séparez la force en une part le long du mouvement et une part en travers : la part le long fournit tout le travail, et la part en travers n’en fournit aucun, quelle que soit son importance. À 60 degrés, la part utile vaut la moitié de la force : à 90 degrés, elle ne vaut rien. Tirer un traîneau avec une corde tenue à 60 degrés gaspille donc réellement la moitié de votre effort du point de vue du mouvement du traîneau.

Le travail peut-il être négatif ?

Oui, et le signe a un sens. Quand la force pointe à l’opposé du mouvement, le cosinus est négatif, donc le travail est négatif : la force retire de l’énergie à l’objet au lieu de lui en ajouter. Le frottement et le freinage fournissent un travail négatif, et c’est ainsi qu’une caisse qui glisse perd de la vitesse. Cette page conserve le signe au lieu de prendre une valeur absolue, donc 100 N de frottement sur 5 m s’affichent −500 J, et c’est ce chiffre qu’il faut ajouter aux +500 J de la poussée pour voir la variation nette.

Porter une caisse à travers une pièce, est-ce un travail ?

Pas au sens que cette page définit. Vos bras poussent vers le haut sur la caisse tandis que la caisse se déplace horizontalement, donc la force et le déplacement sont à 90 degrés et le travail mécanique est nul. Vos muscles consomment quand même de l’énergie, et même beaucoup, mais cette énergie part en chaleur et dans le maintien de la tension plutôt que dans la caisse. La distinction compte parce que c’est exactement celle qui rend la définition physique utile : elle mesure l’énergie transférée à l’objet.

Quel est le lien entre le travail et l’énergie cinétique ?

Le travail fourni à un objet égale sa variation d’énergie cinétique — c’est le théorème de l’énergie cinétique. Poussez un traîneau avec 500 J de travail net et il gagne 500 J d’énergie cinétique : laissez le frottement en fournir −500 J et il en perd autant. C’est pourquoi la calculatrice d’énergie cinétique prend une masse et une vitesse et donne une énergie, tandis que cette page prend une force, une distance et un angle et donne la même grandeur par l’autre bout. Les deux se rejoignent au milieu, et ce point de rencontre est ce théorème.

• Work: The Scientific Definition (College Physics 2e, §7.1) — the definition of work as force times displacement times the cosine of the angle between them, and the cases where it comes out zero or negative — OpenStax
• Work (physics) — the sign convention, the work energy theorem, and why a force perpendicular to the displacement does no work — Wikipedia
• NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI), Appendix B.8 — Factors for Units Listed Alphabetically: the foot pound-force row (1 ft·lbf = 1.355 818 J) that this page's third row is converted with — NIST