Calculatrice d’énergie élastique

énergie élastique = ½ × constante de raideur × allongement² force de rappel = constante de raideur × allongement

k

Constante de raideur en newtons par mètre — le champ accepte aussi les kN/m, les N/mm et les lbf/in. C’est la force nécessaire pour déplacer le ressort d’une unité de longueur : un ressort raide a donc un grand k

x

Allongement en centimètres — de combien le ressort est étiré ou comprimé par rapport à sa longueur au repos, dans l’unité par défaut du champ. Le signe n’a pas d’importance : l’énergie est la même en traction et en compression

E

Énergie potentielle élastique en joules, c’est-à-dire le travail fourni pour déformer le ressort ; la troisième ligne de résultat donne la même énergie en ft·lb

F

Force de rappel en newtons, d’après la loi de Hooke, F = kx — la force à la position d’allongement maximal, et non la moyenne sur toute la course

Cette page est la bonne dès qu’un ressort, un élastique, un arc, un trampoline ou une suspension entre en jeu et que vous voulez savoir combien d’énergie il emmagasine ou avec quelle force il tire. Les deux questions qui reviennent le plus sont le dimensionnement d’un ressort pour une énergie donnée — un lanceur, un contrepoids, un mécanisme de porte — et ce qui se passe s’il lâche. Deux habitudes rendent les réponses plus utiles. D’abord, vérifiez l’unité de l’allongement avant de croire au nombre : le champ travaille par défaut en centimètres, et une valeur voulue à 10 mm saisie comme 10 cm donne cent fois l’énergie. Ensuite, rappelez-vous que l’énergie varie comme le carré de l’allongement alors que la force de rappel n’est que linéaire : la dernière partie de la compression contient l’essentiel de l’énergie, un ressort comprimé aux neuf dixièmes ne tient encore que 81 % de la valeur finale, et le dernier dixième apporte le cinquième restant. La façon de déterminer la constante de raideur d’une pièce inconnue est expliquée dans les questions ci-dessous.

1. Un ressort souple de 175,127 N/m étiré de 5,08 cm

   1. 5,08 cm d’allongement, soit 0,0508 m — le champ prend des centimètres, la formule calcule en mètres
   2. Force de rappel : 175,127 × 0,0508 = 8,90 N, c’est-à-dire les 2 lbf que vous sentiriez au bout
   3. Allongement au carré : 0,0508 × 0,0508 = 0,002581
   4. Énergie : ½ × 175,127 × 0,002581 = 0,226 J
   5. Dans l’autre unité : 0,226 ÷ 1,3558179 = 0,167 ft·lb

   C’est la ligne de 5 cm du tableau de référence, et les nombres sont volontairement petits : un ressort souple étiré de quelques centimètres tient un cinquième de joule, à peu près l’énergie d’une pomme qui tombe. Le plus intéressant est le rapport entre les deux sorties : la force vaut 8,90 N et le ressort a été déplacé de 5,08 cm contre une force qui valait en moyenne la moitié de cela. L’énergie est un produit de la force par la distance, et la force n’était pas constante — elle est passée de zéro à 8,90 N —, et c’est exactement de là que vient le ½ de ½kx². Les 5,08 cm ne sont pas une valeur quelconque : c’est exactement deux pouces, et la raideur de 175,127 N/m est l’équivalent métrique d’une livre-force par pouce.

2. Un ressort de suspension de 31 522,830 N/m comprimé de 7,62 cm

   1. 7,62 cm d’allongement, soit 0,0762 m — autrement dit trois pouces
   2. Force de rappel : 31 522,830 × 0,0762 = 2 402,04 N
   3. Allongement au carré : 0,0762 × 0,0762 = 0,005806
   4. Énergie : ½ × 31 522,830 × 0,005806 = 91,518 J
   5. Dans l’autre unité : 67,5 ft·lb

   Un vrai ressort de suspension, et le nombre à retenir est la force : 2 402 N sur ce coin de châssis, soit environ un sixième du poids d’une berline. Remarquez aussi combien l’énergie reste faible : 91,5 J, moins que l’énergie cinétique d’un ballon lancé. Les ressorts ne sont pas énergétiques parce qu’ils sont raides, mais parce qu’ils se déplacent loin. Un ressort de suspension voyage sur sept centimètres, un arc bande sur plus d’un demi-mètre, et c’est de là que vient son énergie.

3. Le même ressort à 15,24 cm — deux fois plus loin

   1. Allongement : 15,24 cm, soit le double de l’exemple précédent
   2. Force de rappel : 31 522,830 × 0,1524 = 4 804,08 N, exactement le double — la loi de Hooke est linéaire
   3. Allongement au carré : 0,1524 × 0,1524 = 0,023226, soit quatre fois les 0,005806 ci-dessus
   4. Énergie : ½ × 31 522,830 × 0,023226 = 366,071 J, exactement quatre fois les 91,518 J ci-dessus
   5. Dans l’autre unité : 270 ft·lb

   Mettez cet exemple à côté du précédent et toute la page tient dans les deux rapports. Deux fois la compression donne deux fois la force et quatre fois l’énergie. C’est la raison pour laquelle un ressort qui paraît inoffensif sur son premier centimètre peut devenir réellement dangereux au quatrième, et celle pour laquelle un arc s’annonce par l’énergie qu’il emmagasine et non par la tension de bande en fin de course — la tension de bande est la part linéaire, l’énergie est le carré.

Cette page décrit la loi de Hooke, qui ne vaut que tant que le ressort reste dans son domaine élastique. Au-delà de la limite d’élasticité, la force cesse d’être proportionnelle à l’allongement ; si l’on comprime le ressort jusqu’à ce que les spires se touchent, la raideur change complètement et le ½kx² surestime l’énergie. Il n’y a ici ni amortissement, ni hystérésis, ni masse : un ressort réel perd un peu d’énergie par frottement interne à chaque cycle, et un ressort qui a une masse possède sa propre énergie cinétique pendant qu’il bouge. La page ne modélise pas un ressort précontraint — ressort de soupape, ressort derrière un boulon — pour lequel l’énergie emmagasinée est la différence entre deux états et non le total par rapport à une référence sans allongement : le nombre affiché est l’énergie mesurée depuis la longueur au repos. Elle suppose que tout le ressort se déplace de la même quantité : un ressort conique, un empilement en série de deux ressorts différents, ou tout montage où les spires ne se partagent pas l’allongement à parts égales, ne se décrit pas par un seul k. Elle est également statique : elle ne dit rien de l’oscillation qui suit le relâchement, laquelle demande aussi la masse et appartient à une autre page. Enfin, elle ne se demande pas si l’énergie emmagasinée sera restituée utilement — les mêmes 366 J peuvent lancer un projectile ou partir en chaleur dans un amortisseur — et elle suppose que l’allongement est mesuré le long de l’axe du ressort, et non de biais. Les constantes et les facteurs de conversion employés sont ceux du Système international, tels que le BIPM et le NIST les définissent ; aucune tolérance de fabrication ni aucune valeur propre à un fabricant de ressorts n’entre dans le calcul.

Quelle est la formule de l’énergie potentielle élastique ?

E = ½kx², où k est la constante de raideur en newtons par mètre et x l’allongement en mètres. Le ½ vient de ce que la force croît de zéro à kx pendant que le ressort se déplace : la force moyenne sur toute la course ne vaut donc que la moitié de la valeur finale. Un ressort de 175,127 N/m étiré de 5,08 cm emmagasine 0,226 J, et le détail du calcul se trouve plus haut si vous voulez le refaire à la main.

Pourquoi l’allongement est-il au carré et pas simplement multiplié ?

Parce que le travail fourni au ressort est le produit de la force par la distance, et que la force n’est pas constante : elle vaut zéro au départ et kx à l’arrivée, donc ½kx en moyenne, et le travail vaut ½kx fois x. La conséquence pratique est que deux fois l’allongement donnent quatre fois l’énergie mais seulement deux fois la force de rappel : c’est pourquoi la fin d’une compression est la partie pénible, et pourquoi une arbalète s’évalue par l’énergie emmagasinée plutôt que par la tension de bande.

Qu’est-ce que la constante de raideur et comment la trouver ?

C’est la force nécessaire pour déplacer le ressort d’une unité de longueur ; elle se mesure donc en N/m, ou en N/mm et en lbf/in, que le champ accepte aussi. On la détermine en suspendant une masse connue, en relevant l’allongement puis en divisant : un ressort qui s’allonge de 4 cm sous 8 N a k = 8 ÷ 0,04 = 200 N/m. Un ressort de suspension automobile tourne autour de 30 N/mm, soit 30 000 N/m, et un ressort de laboratoire souple plutôt autour de 100 N/m.

L’énergie est-elle la même en compression qu’en traction ?

Oui, tant que le ressort est symétrique, ce qui est le cas de la plupart des ressorts hélicoïdaux. La formule utilise x² : une compression de 5 cm et un allongement de 5 cm emmagasinent donc tous deux ½ × k × 0,0025 J. Les ressorts réels ne sont pas parfaitement symétriques — un ressort hélicoïdal peut flamber quand on le comprime trop, et un ressort à spire auxiliaire est bien plus raide dans un sens que dans l’autre —, l’égalité vaut donc dans la plage de travail, et non jusqu’aux butées.

Quelle énergie emmagasine un ressort comprimé à fond ?

On prend l’allongement en fin de compression et on applique ½kx². Un ressort de suspension de 30 N/mm comprimé de 10 cm emmagasine 150 J ; le même à 20 cm en emmagasine 600 J, soit quatre fois plus pour deux fois la course. Vérifiez tout de même où la course s’arrête réellement : dès que les spires se touchent, le ressort cesse de se comporter comme un ressort et la formule ne décrit plus ce qui se passe.

Comment convertir une raideur de lbf/in en N/m ?

On multiplie par 175,127 — c’est une livre-force (4,448222 N) divisée par un pouce (0,0254 m). Un ressort de 180 lbf/in vaut donc 31 522,83 N/m, et un ressort de 300 lbf/in vaut 52 538,05 N/m. Les deux facteurs sont exacts par définition, la conversion n’ajoute donc aucune erreur ; si votre valeur est fausse d’un facteur d’environ 9,8, c’est probablement que des livres-masse ont été prises pour des livres-force quelque part.

• Hooke's Law: Stress and Strain Revisited (College Physics 2e, §16.1) — F = kx and the elastic potential energy stored in a deformed spring — OpenStax
• Elasticity: Stress and Strain (College Physics 2e, §5.3) — the elastic limit and the point past which the linear relation between force and displacement stops holding — OpenStax
• NIST Guide to the SI — the newton per metre as the coherent unit of stiffness, and the exact factors for pounds (0.45359237 kg) and inches (0.0254 m) that the lbf/in conversion is built from — National Institute of Standards and Technology