Calculatrice de vitesse limite

vitesse limite = √( 2 × masse × g ÷ ( masse volumique du fluide × surface frontale × coefficient de traînée ) ) force de traînée = masse × g

m

Masse de l’objet qui tombe, en kilogrammes — le champ accepte aussi les livres, les grammes et les tonnes

g

Pesanteur normale, 9,80665 m/s² — la valeur employée partout dans cette page ; il s’agit d’une chute au voisinage de la surface terrestre, pas sur Mars ni sur la Lune

ρ

Masse volumique du fluide traversé, en kg/m³ — 1,225 pour l’air au niveau de la mer à 15 °C, 1 025 pour l’eau de mer. Le champ accepte aussi les g/cm³ et les lb/ft³

A

Surface frontale en mètres carrés — la silhouette que l’objet présente à l’écoulement, et pour une personne c’est toute la différence entre 197 km/h à plat ventre et 340 km/h tête en bas

Cd

Coefficient de traînée, sans dimension — le caractère plus ou moins émoussé de la forme. Environ 1,28 pour une plaque plane face à l’écoulement et 0,3 pour une voiture ; le tableau de référence en donne six

Prenez cette page dès qu’un objet tombe d’assez haut pour que l’air compte — un parachutiste, une voilure, un grêlon, un drone, un outil échappé, une balle. Elle répond aux deux questions que la formule de la chute libre laisse sans réponse : à quelle vitesse l’objet arrive réellement, et si c’est assez rapide pour être dangereux. La chute libre, elle, continue de prédire toujours plus de vitesse, ce qui cesse d’être vrai au bout de quelques secondes dans l’air ; cette page donne le plafond à la place. Deux habitudes rendent les réponses plus utiles. D’abord, soignez la surface frontale, parce que c’est l’entrée que l’on estime le plus mal et celle dont la vitesse dépend le plus finement : une personne la fait varier d’un facteur trois en changeant seulement de posture, ce qui fait un facteur 1,7 sur la vitesse. Ensuite, traitez le coefficient de traînée comme le nombre d’ordre de grandeur qu’il est, et servez-vous du tableau plutôt que d’une décimale mémorisée — le coefficient d’une sphère passe de 0,47 à environ 0,1 avec le nombre de Reynolds, ce qui est exactement l’effet que les alvéoles d’une balle de golf exploitent.

1. Un parachutiste de 91 kg, à plat ventre

   1. 200 lb = 90,718 kg ; 7,5 ft² = 0,6968 m² (le champ de surface attend des mètres carrés)
   2. Force de traînée à la vitesse limite : 90,718 × 9,80665 = 889,64 N, c’est-à-dire simplement le poids — et c’est la définition même de la vitesse limite
   3. Dénominateur : 1,225 × 0,6968 × 0,7 = 0,5975
   4. Numérateur : 2 × 889,64 = 1 779,29
   5. Vitesse limite : √(1 779,29 ÷ 0,5975) = √2 978 = 54,6 m/s
   6. Dans les autres unités : 196,5 km/h, soit 122,1 mph

   Voilà le nombre que tout parachutiste finit par apprendre : environ 120 mph, à plat ventre, dans un arc normal. Remarquez ce que dit vraiment la deuxième étape — la force de traînée est égale au poids, parce que c’est la définition même du régime limite. La page l’affiche séparément précisément pour que l’on voie cet équilibre au lieu de le prendre pour acquis. Remarquez aussi que la masse s’élimine d’une façon intéressante : un parachutiste plus lourd tombe plus vite, mais seulement comme la racine carrée, si bien que 20 % de poids en plus achètent environ 10 % de vitesse en plus.

2. Le même parachutiste, tête en bas

   1. Même masse et même coefficient de traînée — seule la surface frontale change, de 7,5 ft² à 2,5 ft²
   2. 2,5 ft² = 0,2323 m², soit le tiers de la surface à plat ventre
   3. Dénominateur : 1,225 × 0,2323 × 0,7 = 0,1992
   4. Vitesse limite : √(1 779,29 ÷ 0,1992) = √8 932 = 94,5 m/s
   5. Dans les autres unités : 340,3 km/h, soit 211,4 mph
   6. Force de traînée : inchangée à 889,64 N

   Réduisez la surface au tiers et la vitesse monte de √3 = 1,73, de 197 km/h à 340 km/h — et c’est toute la raison d’être du saut de vitesse en compétition, comme de la différence entre la même personne en jean et en combinaison moulante. La force de traînée est identique dans les deux postures, parce que le poids n’a pas changé ; ce qui a changé, c’est la vitesse à laquelle cette force est atteinte. Pour situer, 340 km/h est à peu près la vitesse limite qu’atteint un corps humain sans parachute, et c’est pourquoi la procédure d’urgence en cas d’incident est de se mettre à plat, et non d’attraper quelque chose.

3. Le même parachutiste sous une voilure de 50 m²

   1. 540 ft² = 50,168 m² — c’est la surface de la voilure, et non celle du sauteur
   2. Coefficient de traînée d’une voilure ouverte : 1,42, la forme la plus émoussée du tableau de référence
   3. Dénominateur : 1,225 × 50,168 × 1,42 = 87,28
   4. Vitesse limite : √(1 779,29 ÷ 87,28) = √20,39 = 4,5 m/s
   5. Dans les autres unités : 16,3 km/h, soit 10,1 mph
   6. Descente depuis 914 m à cette vitesse : environ 3,4 minutes

   Toute la page en une seule comparaison : la même personne, le même poids, une force de traînée qui n’a pas bougé d’un newton, et une vitesse de descente douze fois plus faible. Rien n’a changé chez le sauteur ; la surface a été multipliée par 72 et le coefficient par deux, et la vitesse a suivi la racine carrée de tout cela. Le chiffre de 16 km/h est celui qu’il faut confronter à l’expérience — une descente sous voilure, c’est un pas depuis un mur assez haut, ce qui explique à la fois l’importance de la technique d’atterrissage et le fait qu’une voilure mal ouverte reste souvent survivable.

La formule suppose que la force de traînée croît comme le carré de la vitesse, ce qui est une bonne approximation aux nombres de Reynolds élevés et une mauvaise aux faibles : pour un objet très petit ou très lent — un grain de poussière, une cellule qui sédimente, un ballon — la traînée est plus proche d’une loi linéaire en vitesse, et la vitesse limite réelle différera de ce que cette page annonce. Le coefficient de traînée n’est pas une constante, même pour une forme donnée ; il dépend du nombre de Reynolds, si bien que le 0,47 de la sphère ci-dessus est la valeur d’une sphère lisse sur une plage particulière et descend vers 0,1 aux vitesses plus élevées, ce que les alvéoles d’une balle de golf provoquent délibérément. La page ne dit rien de l’approche de la vitesse limite : elle donne le plafond, pas le temps qu’il faut pour l’atteindre, et les premières secondes d’une chute sont réellement décrites par la formule de la chute libre. Elle suppose le fluide immobile et uniforme, donc le vent, les ascendances thermiques, la traversée d’un nuage et la descente dans un air plus dense près du sol sortent tous de son cadre — le champ de masse volumique est un nombre unique, et non un profil. Elle suppose que l’objet ne culbute pas, ne tourne pas et ne change pas de forme, ce qui, pour un être humain, revient à supposer une posture tenue ; un corps qui se met à tourner est un autre problème. Elle ignore la poussée d’Archimède, ce qui compte pour tout objet assez léger pour flotter dans le fluide, et elle ignore la compressibilité de l’air au-delà d’environ 100 m/s, vitesse à partir de laquelle les nombres d’ici commencent à surestimer la traînée. Enfin, c’est un calcul à un seul objet : une voilure avec une charge, un ensemble d’objets sur une même ligne, ou quoi que ce soit de retenu par un câble est un système, et non un corps. Les coefficients de traînée du tableau sont les valeurs de référence d’usage, celles que l’on trouve dans les manuels de mécanique des fluides francophones et dans les tables du NIST ; ce sont des ordres de grandeur et non des valeurs normalisées, et un bureau d’études qui travaille sous une norme particulière — norme ISO, règlement européen de certification des parachutes, manuel d’aérodynamique d’un constructeur — doit reprendre la valeur de cette norme.

Quelle est la formule de la vitesse limite ?

v = √(2mg ÷ ρACd). Le numérateur est le double du poids ; le dénominateur est la masse volumique du fluide multipliée par la surface frontale et par le coefficient de traînée, trois grandeurs qui freinent la chute. Pour un parachutiste de 80 kg à plat ventre — 0,7 m² et un coefficient de 0,7 dans de l’air à 1,225 kg/m³ — cela donne 51,1 m/s, soit 114 mph. C’est la racine carrée qui fait que doubler la masse ne donne qu’environ 1,41 fois la vitesse.

À quelle vitesse tombe un parachutiste ?

Environ 197 km/h à plat ventre dans un arc normal, et environ 340 km/h tête en bas, bras et jambes repliés. Les deux viennent de la même formule et du même poids : la seule chose qui change entre les deux est la surface frontale, de 0,7 m² à 0,23 m². Sous une voilure de 50 m², le même sauteur descend à environ 16 km/h, ce qui est un pas depuis un mur plutôt qu’une chute.

Un objet plus lourd tombe-t-il plus vite ?

Il atteint une vitesse limite plus élevée, mais seulement comme la racine carrée de la masse, et l’effet est donc bien plus faible que ce que l’on imagine. Passer de 80 kg à 90,7 kg — 13 % de plus — fait monter la vitesse à plat ventre de 51,1 à 54,6 m/s, soit environ 7 %. Dans le vide il n’y a aucune différence : sans air, tout tombe à la même vitesse. Dans l’air la différence est réelle mais modeste, et la forme compte beaucoup plus que le poids.

Quel coefficient de traînée faut-il prendre ?

Prenez-le dans le tableau de référence plutôt que de mémoire, et traitez-le comme une plage et non comme une décimale : 1,28 pour une plaque plane face à l’écoulement, 1,42 pour une voilure de parachute ouverte, 1,2 pour un long cylindre en travers du flux, 0,7 pour une personne à plat ventre, 0,47 pour une sphère lisse et 0,3 pour une voiture. Si vous hésitez entre deux lignes, prenez la plus émoussée : le coefficient diminue à mesure qu’une forme s’affine, et surestimer garde la réponse du côté prudent.

En quoi la vitesse limite diffère-t-elle de la vitesse de chute libre ?

La chute libre est ce qui se passe avant que l’air ne compte, et elle n’a pas de plafond — la formule v = gt continue de prédire toujours plus de vitesse. La vitesse limite est le plafond qu’impose la traînée, atteint lorsque la force de traînée a crû jusqu’à égaler le poids de l’objet. Pour une personne, cela se produit au bout de 10 à 12 secondes et d’environ 460 m de chute, après quoi la vitesse ne change plus. En dessous d’environ 5 m/s, ou pour des objets plus petits qu’un grain de sable, la loi de traînée quadratique employée ici est le mauvais modèle.

Que se passe-t-il si l’on tombe dans l’eau plutôt que dans l’air ?

La masse volumique du fluide passe de 1,225 kg/m³ à environ 1 025, soit quelques 840 fois plus, et la vitesse limite chute de la racine carrée de ce rapport : une personne atteint environ 1,8 m/s dans l’eau de mer au lieu de 51 m/s. C’est la lecture honnête de la formule, et c’est aussi pourquoi une chute d’une grande hauteur dans l’eau reste mortelle : on arrive à la surface à la vitesse limite dans l’air, et l’eau doit ensuite vous arrêter en une fraction de seconde.

• Drag Forces (College Physics 2e, §5.2) — the quadratic drag law, the drag coefficient, and terminal velocity as the speed where drag equals weight — OpenStax
• Drag coefficient of common shapes — the reference values for a flat plate, a sphere, a cylinder and a car body that the table below is drawn from — Wikipedia
• NIST Guide to the SI — standard gravity as 9.80665 m/s², the density of air and water in kg/m³, and the exact factors behind the square-foot and pound conversions used above — National Institute of Standards and Technology