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CalcMax

Calculatrice de quantité de mouvement

Intervalle : 0,00 kg – 100 000 kg

Intervalle : 0 m/s – 10 000 m/s

Résultat

37 500,0 kg·m/s

Quantité de mouvement

Quantité de mouvement (lb·ft/s)
271 238,0 lb·ft/s

Ce qu’il faut pour calculer la quantité de mouvement d’un objet qui bouge : sa masse fois sa vitesse, en kg·m/s et en lb·ft/s. La quantité de mouvement est la grandeur qui répond à la question de savoir si quelque chose est difficile à arrêter, laquelle n’est pas celle de savoir combien d’énergie cela porte. La formule quantité de mouvement tient en une seule multiplication, p = mv, et elle est linéaire dans les deux entrées — doubler la masse double la quantité de mouvement, doubler la vitesse la double aussi. Cette linéarité fait toute la différence avec la page de l’énergie cinétique qui la suit, où la vitesse entre au carré : deux véhicules peuvent porter la même quantité de mouvement et des énergies très différentes, et les exemples ci-dessous sont construits autour de ce couple. Le tableau fait tourner plusieurs masses de véhicules usuelles à 90 km/h et ajoute une seconde lecture dans la dernière colonne — la force de freinage nécessaire pour arrêter chacun en un dixième de seconde, d’après le théorème de l’impulsion. C’est là que la quantité de mouvement gagne sa place : les concepteurs de glissières de sécurité, les assureurs et les ingénieurs d’essais de choc travaillent tous en p = mv, parce que ce qu’une structure doit absorber est la variation de quantité de mouvement, et non l’énergie.

Quantité de mouvement de véhicules usuels à 90 km/h, et la force pour arrêter chacun en 0,1 s

Masse (kg)Quantité de mouvement (kg·m/s)Force de freinage en 0,1 s (kN)
50012500125
100025000250
150037500375
200050000500
300075000750

La première colonne est une masse et la troisième une force, et les deux sont exprimées ici dans des unités distinctes — c’est pourquoi l’unité est écrite en toutes lettres dans chaque en-tête. La troisième colonne applique la relation entre impulsion et quantité de mouvement, F = Δp ÷ Δt, pour Δt = 0,1 s ; ce 0,1 est un nombre rond choisi pour l’échelle et non une durée de choc mesurée, et un impact réel se situe entre 0,01 s et 0,3 s, donc cette colonne se lit comme un ordre de grandeur. La quantité de mouvement est linéaire en masse, si bien que les lignes sont proportionnelles à la première colonne : les véhicules de 500, de 1 500 et de 3 000 kg donnent 12 500, 37 500 et 75 000 kg·m/s. Toutes les lignes valent pour une vitesse de 90 km/h, soit 25 m/s, la même que celle de la page de l’énergie cinétique.

Formule

quantité de mouvement = masse × vitesse force de freinage = masse × vitesse ÷ durée d’arrêt

m
Masse en kilogrammes — le champ accepte aussi les livres, les tonnes et les grammes, et les convertit avant que la multiplication ne s’exécute
v
Vitesse en mètres par seconde — le champ accepte aussi les km/h, les mph, les ft/s et les nœuds. Rigoureusement, c’est la norme de la vitesse : la quantité de mouvement est un vecteur, et la page n’en affiche que la valeur
p
Quantité de mouvement en kg·m/s, l’unité du Système international ; la deuxième ligne de résultat donne la même grandeur en lb·ft/s, où la livre est une livre de masse et non une livre-force
t
Durée d’arrêt en secondes, utilisée seulement par la dernière colonne du tableau, qui suppose 0,1 s — un ordre de grandeur pour un choc, et non une constante

Prenez cette page quand la question porte sur la force plutôt que sur l’énergie : ce qu’une glissière doit encaisser, ce qu’un airbag doit étaler, si un recul vous fera tomber. La raison pour laquelle la quantité de mouvement est la bonne grandeur est que la force est la vitesse de variation de la quantité de mouvement : une même variation étalée sur une durée d’arrêt plus longue donne une force plus petite, et c’est tout le principe de la zone de déformation. Deux habitudes rendent les réponses plus utiles. D’abord, rappelez-vous que la quantité de mouvement a une direction même si cette page n’en affiche que la valeur : un choc frontal et un choc par l’arrière ont des sommes vectorielles différentes, et la page ne sait pas les distinguer. Ensuite, pour comparer deux véhicules, comparez séparément les quantités de mouvement et les énergies — un camion chargé au pas égale une voiture à vitesse d’autoroute sur la première et en est très loin sur la seconde. La page de l’impulsion regarde la même relation depuis la force et la durée, et non depuis l’état de l’objet.

Exemples détaillés

  1. Une voiture de 1 497 kg à 96,6 km/h

    1. 3 300 lb = 1 496,855 kg (le champ de masse calcule en kilogrammes ; les livres se saisissent dans son menu d’unités)
    2. 60 mph = 26,8224 m/s, soit environ 96,6 km/h
    3. Quantité de mouvement : 1 496,855 × 26,8224 = 40 149,2 kg·m/s
    4. La même grandeur dans l’autre système : 40 149,2 ÷ 0,138254954376 = 290 400 lb·ft/s
    5. Force de freinage en 0,1 s : 40 149,2 ÷ 0,1 = 401,5 kN, soit environ 90 260 lbf

    C’est la ligne du milieu du tableau, atteinte depuis la même voiture. Remarquez que la ligne impériale tombe sur le nombre rond 290 400 — ce n’est pas un hasard, et la deuxième étape mérite d’être relue : diviser par les facteurs livre-kilogramme et pied-mètre redonne exactement 3 300 × 88, parce qu’une masse en livres multipliée par une vitesse en pieds par seconde, c’est la définition même du lb·ft/s. C’est la ligne métrique qui porte tout l’arrondi.

  2. Un camion de 2 994 kg à 48,3 km/h

    1. 6 600 lb = 2 993,710 kg, soit le double de la voiture ci-dessus
    2. 30 mph = 13,4112 m/s, soit la moitié de la vitesse ci-dessus
    3. Quantité de mouvement : 2 993,710 × 13,4112 = 40 149,2 kg·m/s — les mêmes 290 400 lb·ft/s que la voiture
    4. Énergie cinétique, sur l’autre page : 269 225 J contre 538 449 J pour la voiture
    5. Force de freinage en 0,1 s : les mêmes 401,5 kN

    Tout l’intérêt de cet exemple est ce qui ne change pas. Doublez la masse, divisez la vitesse par deux, et la quantité de mouvement est identique — donc la force nécessaire pour l’arrêter dans le même temps l’est aussi. L’énergie, elle, ne l’est pas : le camion porte 269 kJ contre 538 kJ pour la voiture, parce que l’énergie suit la masse fois la vitesse au carré, et non la masse fois la vitesse. Deux pages, les deux mêmes entrées, et la réponse à la question de savoir lequel est le plus dangereux dépend entièrement de si l’on parle de la force sur une glissière ou de la chaleur dans les freins.

  3. Une balle de fusil, 0,008 kg à 800 m/s

    1. Masse : 0,008 kg, soit les 8 g de la case
    2. Quantité de mouvement : 0,008 × 800 = 6,4 kg·m/s
    3. Dans l’autre système : 6,4 ÷ 0,138254954376 = 46,3 lb·ft/s
    4. À comparer à un coureur de 70 kg à 3 m/s : 210 kg·m/s, environ 33 fois plus
    5. Énergie cinétique de la même balle : 2 560 J, contre 315 J pour le coureur

    Cet exemple fait jouer les deux pages l’une contre l’autre, et c’est la raison pour laquelle elles sont séparées. La balle porte huit fois l’énergie du coureur — 2 560 J contre 315 J — mais seulement un trente-troisième de sa quantité de mouvement. Un gilet pare-balles est en même temps un problème de quantité de mouvement et un problème de chaleur, et il se résout avec des matériaux différents pour chacun : l’aramide arrête la quantité de mouvement sur une durée plus longue, et la déformation étale l’énergie. Le recul du fusil, qui est ces mêmes 6,4 kg·m/s partant vers l’arrière, explique que ce soit l’épaule du tireur qui recule, et non l’arme.

Limites

La quantité de mouvement est un vecteur et cette page n’en affiche que la valeur. Il n’y a pas d’entrée de direction : un choc frontal et un choc par l’arrière aux mêmes vitesses donnent donc le même nombre ici, et la page ne peut pas faire la somme vectorielle dont l’analyse d’un accident réel a besoin. La ligne en lb·ft/s prend la livre comme unité de masse, ce qui est l’une de deux conventions en circulation — l’autre est le slug·ft/s, et les deux diffèrent d’un facteur 32,174, si bien qu’une valeur annoncée en lb·ft/s peut être lue comme des poundals par quelqu’un qui attend des livres-force. La force de freinage du tableau suppose un dixième de seconde ; un choc rigide est plutôt de l’ordre du centième, et une voiture à zone de déformation avec un occupant ceinturé plutôt du tiers, donc cette colonne est un ordre de grandeur et non une prévision. Il n’y a aucune analyse de conservation : la page décrit un objet avant ou après une interaction, jamais les deux côtés d’une collision, et elle ne peut donc pas vous donner la vitesse de recul d’un ensemble qui se couple ni la part de quantité de mouvement absorbée par un mur. C’est l’expression classique, p = mv, exacte aux vitesses usuelles et qui sous-estime la quantité de mouvement à mesure que l’on approche de celle de la lumière. Le moment cinétique est une grandeur entièrement distincte et n’est pas calculé ici, pas plus que l’impulsion d’une force qui varie dans le temps — cette page ne connaît que la valeur moyenne. Enfin, la masse est supposée constante : une fusée qui brûle son carburant, un camion qu’on charge, ou tout corps dont la masse change en cours de mouvement sort de ce qu’un seul p = mv peut décrire. Les unités et les facteurs de conversion employés sont ceux du Système international, tels que le BIPM et le NIST les définissent.

Questions fréquentes

Comment calculer la quantité de mouvement ?
On multiplie la masse par la vitesse, en kilogrammes et en mètres par seconde. Une voiture de 1 497 kg à 96,6 km/h donne 1 496,855 kg × 26,8224 m/s = 40 149,2 kg·m/s. Il n’y a ni carré ni division par deux : le calcul tient en une étape, et c’est précisément pourquoi la quantité de mouvement se raisonne plus facilement que l’énergie et impressionne moins.
Qu’est-ce que le théorème de l’impulsion ?
Il dit que l’impulsion reçue par un objet — la force multipliée par la durée pendant laquelle elle agit — est égale à la variation de sa quantité de mouvement : F × Δt = Δp. Réarrangé, F = Δp ÷ Δt, ce qui est la relation qu’utilise la dernière colonne du tableau. Arrêter 40 149,2 kg·m/s en 0,1 s demande 401,5 kN ; étaler le même arrêt sur 0,3 s n’en demande plus que 133,8 kN, et ce facteur trois est tout l’argument technique des zones de déformation et des airbags.
En quoi la quantité de mouvement diffère-t-elle de l’impulsion ?
La quantité de mouvement, p = mv, décrit un état : elle appartient à l’objet à un instant donné et ne dépend que de sa masse et de sa vitesse. L’impulsion, elle, décrit un processus : c’est l’intégrale d’une force sur la durée pendant laquelle elle agit, et elle est égale à la variation de quantité de mouvement, F × Δt = Δp. Autrement dit, l’impulsion est ce que l’on fait subir à l’objet, et la quantité de mouvement est ce que l’objet possède. Les deux se mesurent dans la même unité, le kg·m/s ou le N·s, ce qui prête souvent à confusion.
Quelles sont les unités de la quantité de mouvement ?
Le kg·m/s dans le Système international, sans nom particulier — contrairement à l’énergie, qui reçoit le joule et le newton-mètre. La page affiche aussi des lb·ft/s, où la livre est une livre de masse ; l’autre convention impériale est le slug·ft/s, et les deux diffèrent d’un facteur 32,174, si bien qu’un même mouvement peut s’annoncer 290 400 ou 9 027 selon celle que l’on entend.
En quoi la quantité de mouvement diffère-t-elle de l’énergie cinétique ?
La quantité de mouvement vaut mv et l’énergie ½mv², et c’est cette différence qui rend deux pages nécessaires. Doublez la vitesse : la quantité de mouvement double et l’énergie quadruple ; doublez la masse : les deux doublent. Un camion de 2 994 kg à 48,3 km/h et une voiture de 1 497 kg à 96,6 km/h portent les mêmes 40 149,2 kg·m/s, et les arrêter en un dixième de seconde demande la même force — mais la voiture porte deux fois l’énergie, donc elle met deux fois plus de chaleur dans les freins.
Pourquoi la force de freinage n’est-elle pas un nombre fixe ?
Parce qu’elle dépend du temps que l’on s’accorde pour l’arrêt, et rien dans l’objet en mouvement ne décide de ce temps. F = Δp ÷ Δt : une même quantité de mouvement étalée sur une durée plus longue donne une force plus petite. Le tableau suppose 0,1 s pour cette raison et le dit dans sa note ; une glissière rigide contre un objet rigide est plutôt à 0,01 s, et un occupant ceinturé derrière une zone de déformation plutôt à 0,3 s, ce qui donne des forces allant de dix fois à un tiers des valeurs tabulées.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice d’énergie cinétiqueÉnergie cinétique à partir de la masse et de la vitesse.Calculatrice d’énergie élastiqueÉnergie stockée dans un ressort étiré ou comprimé.Calculatrice de vitesse limiteVitesse limite selon la masse, la traînée et la section.Calculatrice de poussée d’ArchimèdePoussée d’Archimède sur un corps immergé ou flottant.