Calculatrice d’énergie potentielle

énergie potentielle = masse × accélération gravitationnelle × hauteur de levage

m

La masse soulevée, en kilogrammes, avec les grammes, les tonnes et les livres dans le même champ. Elle multiplie l’énergie de façon linéaire : masse double, joules doubles, quelle que soit la hauteur. Elle n’apparaît en revanche pas du tout dans la vitesse de chute — c’est le seul endroit de cette page où la masse s’élimine, et cela vaut la peine d’y faire attention

h

La hauteur dont l’objet est levé, en mètres, en pieds, en centimètres ou en pouces. C’est une différence et non une altitude : en montant une caisse du premier au troisième étage, h vaut l’écart entre les deux niveaux, soit environ six mètres, et non la hauteur au-dessus du niveau de la mer ni la distance au centre de la Terre. Zéro est accepté et c’est une vraie réponse — pas de levage, pas d’énergie emmagasinée

g

L’accélération gravitationnelle là où le levage a lieu, en m/s², en ft/s² ou en multiple de la pesanteur normale. C’est le champ qui rend la page utile : il vaut 9,80665 par défaut, et le tableau à côté de la calculatrice liste six astres pour que la valeur puisse y être recopiée directement. Les 1,62 de la Lune font un sixième de ceux de la Terre, donc le même levage y stocke un sixième de l’énergie : les 274 du Soleil font vingt-huit fois la Terre, et une personne de 70 kg y pèserait 19,2 kN

U

L’énergie emmagasinée, en joules sur la ligne principale, avec les kilojoules et les ft·lb en dessous pour ceux qui travaillent dans l’une ou l’autre unité. C’est le travail que la pesanteur rendra quand l’objet redescendra, et le travail qu’il a fallu fournir pour le monter — c’est pourquoi on parle d’énergie potentielle de pesanteur et non simplement d’énergie potentielle. Sur Terre, une personne de 70 kg soulevée de 2 m stocke 1 372,93 J, soit environ un tiers d’une calorie alimentaire

√(2gh)

La vitesse que l’objet atteindrait s’il était lâché depuis cette hauteur — sa vitesse d’impact — en m/s. C’est la même énergie vue par l’autre bout : tout le U emmagasiné devient de l’énergie cinétique pendant la chute, et comme les deux membres de ½mv² = mgh portent un m, la masse se simplifie et la réponse ne dépend plus que de la hauteur et de l’accélération gravitationnelle. Doubler la hauteur ne fait pas atterrir deux fois plus vite, mais 1,41 fois plus vite

Prenez cette page quand vous cherchez ce que coûte un levage ou ce que délivre une chute : dimensionner un palan ou un moteur de grue, chiffrer l’énergie d’une retenue de pompage-turbinage ou d’une horloge à poids, comparer ce qu’une batterie doit fournir pour élever une charge, ou répondre à la question de cours sur l’endroit où passe l’énergie d’une balle tenue au-dessus du sol. Le champ de l’accélération gravitationnelle est ce qui sépare cette page d’une simple multiplication mgh — mettez-y 1,62 et le même levage coûte six fois moins, ce qui explique que la préparation des missions lunaires et martiennes se soucie de ce nombre. La seconde raison d’ouvrir la page est la vitesse de chute : si vous avez une hauteur et que vous voulez savoir avec quoi l’objet atterrit, la masse que vous ignorez peut-être n’a aucune importance. Deux réserves : la hauteur est un écart entre deux niveaux, donc le résultat est celui de ce levage-là, et le champ gravitationnel est supposé constant sur toute la montée.

1. Les valeurs par défaut : 70 kg soulevés de 2 m sur Terre

   1. Masse 70 kg, hauteur 2 m, accélération gravitationnelle 9,80665 m/s²
   2. Énergie : U = m × g × h = 70 × 9,80665 × 2 = 1 372,931 J, affiché 1 372,93 J
   3. En kilojoules : 1 372,931 ÷ 1 000 = 1,372931, affiché 1,3729 kJ
   4. En ft·lb : 1 372,931 ÷ 1,3558179483 = 1 012,6219, affiché 1 012,62 ft·lb
   5. Vitesse de chute : √(2 × 9,80665 × 2) = √39,2266 = 6,2631, affiché 6,26 m/s
   6. Vérification de la dernière ligne : ½ × 70 × 6,2631² = 1 372,9 J — la vitesse de chute est la même énergie écrite autrement, pas un fait séparé

   L’énergie vaut environ un tiers d’une calorie alimentaire, ce qui est l’ordre de grandeur utile à avoir en tête : monter une personne d’un étage coûte à peu près un tiers de calorie de travail mécanique, et le corps en dépense plusieurs fois plus parce que les muscles n’ont pas un rendement de 100 pour cent. La dernière étape explique pourquoi la vitesse de chute figure sur cette page. Ce n’est pas une formule supplémentaire rajoutée : c’est la même énergie de 1 372,93 J écrite comme un mouvement au lieu d’une hauteur, et la vérification le confirme. Remarquez aussi ce que la vitesse de chute ne contient pas : aucune masse. Lâchez une personne de 70 kg et un sac de 1 kg depuis 2 m et les deux touchent le sol à 6,26 m/s, ce qui explique que la hauteur d’une chute donne la vitesse d’arrivée et que le poids ne donne que les dégâts.

2. Une bouteille d’eau posée sur un bureau : 1 kg, 1 m

   1. Masse 1 kg, hauteur 1 m, accélération gravitationnelle 9,80665 m/s²
   2. Énergie : U = 1 × 9,80665 × 1 = 9,80665 J, affiché 9,81 J
   3. En kilojoules : 0,00980665, affiché 0,0098 kJ — quatre décimales et non deux
   4. En ft·lb : 9,80665 ÷ 1,3558179483 = 7,2330, affiché 7,23 ft·lb
   5. Vitesse de chute : √(2 × 9,80665 × 1) = √19,6133 = 4,4287, affiché 4,43 m/s

   C’est la ligne qui explique pourquoi le résultat en kilojoules garde quatre décimales au lieu de deux. À cette échelle, la ligne à deux décimales afficherait 0,01 kJ, ce qui est faux dès le deuxième chiffre et incohérent avec la ligne en joules imprimée juste à côté — 9,81 J font 0,00981 kJ, et le panneau le dit ainsi. La vitesse de chute mérite un second regard : 4,43 m/s font environ 16 km/h, soit un footing soutenu, et c’est ce qu’atteint une bouteille qui tombe d’une étagère à hauteur de bureau. Petites hauteurs, petites énergies — et la racine carrée fait que les vitesses sont moins petites qu’on ne l’attendrait.

3. Le même levage sur la Lune : 70 kg, 2 m, g = 1,62

   1. Masse 70 kg, hauteur 2 m, accélération gravitationnelle 1,62 m/s² — la Lune
   2. Énergie : U = 70 × 1,62 × 2 = 226,8 J, exactement un sixième des 1 372,93 J que coûte le même levage sur Terre
   3. En kilojoules : 0,2268, affiché 0,2268 kJ
   4. En ft·lb : 226,8 ÷ 1,3558179483 = 167,2791, affiché 167,28 ft·lb
   5. Vitesse de chute : √(2 × 1,62 × 2) = √6,48 = 2,5456, affiché 2,55 m/s

   Chaque ligne diminue dans le rapport des deux accélérations gravitationnelles, 1,62 ÷ 9,80665 = 0,1652, et ce rapport est toute la raison de faire de la pesanteur une entrée plutôt que d’écrire 9,81 en dur dans la formule. La vitesse de chute diminue elle aussi, mais par la racine carrée de ce rapport et non par le rapport lui-même — 6,2631 × √0,1652 = 2,5456, affiché 2,55 — et cette différence entre une réponse linéaire et une réponse en racine carrée vaut la peine d’être remarquée. C’est pour cette raison que les astronautes des images d’Apollo avancent par bonds plutôt qu’en marchant : la même poussée de jambe qui les soulève de 20 cm sur Terre les soulève de 1,2 m ici, et la retombée depuis cette hauteur est plus lente et plus douce.

La hauteur est une différence entre deux niveaux, donc la réponse est l’énergie de ce levage-là et non l’énergie totale qu’un objet possède de par sa position : le niveau de référence est celui que vous choisissez. L’accélération gravitationnelle est supposée constante sur toute la montée, ce qui est exact à l’échelle d’un immeuble et faux sur une distance comparable au rayon d’une planète. Rien ici ne couvre le mouvement latéral : l’objet part et arrive au repos. La résistance de l’air est ignorée dans la vitesse de chute, comme la rotation de la Terre et la poussée d’Archimède de l’air.

Quelle est la formule de l’énergie potentielle ?

U = m × g × h : la masse multipliée par l’accélération gravitationnelle, puis par la hauteur de levage. Une personne de 70 kg soulevée de 2 m sur Terre stocke 70 × 9,80665 × 2 = 1 372,93 J. La formule est une seule multiplication, et c’est pourquoi la partie intéressante de cette page n’est pas l’arithmétique mais les deux grandeurs qu’elle laisse varier : l’accélération gravitationnelle, qui fait qu’un même levage ne stocke plus qu’un sixième de l’énergie sur la Lune, et la hauteur, qui est une différence entre deux niveaux et non une altitude.

Pourquoi la vitesse d’impact ne dépend-elle pas de la masse ?

Parce que la masse figure dans les deux membres du bilan d’énergie et qu’elle se simplifie. La chute transforme l’énergie emmagasinée en énergie cinétique, donc m × g × h = ½ × m × v², et en divisant les deux membres par m il reste g × h = ½v², soit v = √(2gh). Une personne de 70 kg et un sac de 1 kg lâchés de 2 m touchent tous deux le sol à 6,26 m/s. Les objets plus lourds portent plus d’énergie — ce sont les 1 372,93 J — mais il leur en faut aussi plus pour être accélérés, et les deux effets s’annulent exactement.

Que fait le fait de soulever deux fois plus haut ?

Cela double l’énergie emmagasinée mais ne multiplie la vitesse de chute que par 1,41, la racine carrée de deux. Passer de 2 m à 4 m fait grimper un levage de 70 kg de 1 372,93 J à 2 745,86 J, tandis que la vitesse d’arrivée passe de 6,26 m/s à 8,86 m/s et non à 12,5. Cela vaut la peine d’être intégré, parce que c’est la même relation qui fait que les distances de freinage augmentent avec le carré de la vitesse : l’énergie suit la hauteur, et la vitesse ne suit que la racine carrée de celle-ci.

Quelle valeur d’accélération gravitationnelle prendre pour la Lune ou Mars ?

Le tableau à côté de la calculatrice donne les deux : la Lune à 1,62 m/s² et Mars à 3,71, contre les 9,80665 définis pour la Terre. Ce sont des moyennes de surface, qui varient d’environ un pour cent d’un point à l’autre d’un même astre — bien moins que les écarts entre astres, donc ce sont les bonnes valeurs pour chiffrer une mission. Jupiter est listée à 24,79 m/s², mais sa « surface » est le niveau de pression de 1 bar plutôt qu’un sol solide, et les 274 du Soleil sont ceux de sa photosphère : une personne de 70 kg y pèserait 19,2 kN.

L’énergie potentielle est-elle la même chose que l’énergie cinétique ?

Ce sont la même grandeur sous deux formes, et la seconde moitié de cette page en donne le taux de change. L’énergie stockée par la hauteur est restituée sous forme d’énergie de mouvement pendant la descente, donc les 1 372,93 J d’un levage de 70 kg à 2 m deviennent 1 372,93 J d’énergie cinétique juste avant l’atterrissage, ce qui correspond exactement aux 6,26 m/s que la page affiche. La calculatrice d’énergie cinétique part de l’autre bout et donne la hauteur nécessaire pour une vitesse donnée : les deux pages sont inverses l’une de l’autre plutôt que redondantes.

• Gravitational Potential Energy (College Physics 2e, §7.3) — U = mgh, the choice of reference level, and the conversion between stored energy and falling speed — OpenStax
• Gravitational energy — the mgh form, its limits, and why the mass cancels out of the impact speed — Wikipedia
• NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI), Appendix B.8 — Factors for Units Listed Alphabetically: the foot pound-force row (1 ft·lbf = 1.355 818 J) that this page's third row is converted with — NIST