Calculatrice de longueur d’onde

longueur d’onde = vitesse de propagation ÷ fréquence

f

Fréquence de l’onde, en hertz par défaut — le champ accepte aussi les kHz, les MHz, les GHz et les THz. C’est le nombre de cycles qui passent par un point fixe chaque seconde, et il doit être supérieur à zéro

v

Vitesse de propagation de l’onde, en mètres par seconde par défaut — le champ accepte aussi les km/h, les mph, les ft/s et c, la vitesse de la lumière. C’est le milieu qui l’impose et non l’onde : c’est une propriété de l’air, de l’eau ou du vide dans lequel vous vous trouvez

λ

Longueur d’onde — le résultat, la distance d’une crête à la suivante, en mètres. Dès que la fréquence devient élevée, la page passe en notation scientifique, parce que 0,0000006 m se lit moins bien que 5,996 × 10⁻⁷ m

Utilisez cette page chaque fois que vous connaissez la fréquence à laquelle une onde se répète et la vitesse à laquelle elle avance, et que ce dont vous avez besoin est une longueur : dimensionner une antenne quart d’onde, savoir si une pièce est assez grande pour qu’une note grave s’y développe, trouver l’espacement d’une ligne de micros ou d’une ligne de haut-parleurs, ou vérifier les 2,45 GHz d’un four à micro-ondes contre la taille des trous de sa porte. La seule chose qui vaut la peine d’être retenue est que la vitesse de propagation appartient au milieu et que la fréquence appartient à la source. Un la à 440 Hz fait 0,780 m dans l’air mais 3,4 m dans l’eau, parce que l’eau transporte le son à 1 482 m/s : la note ne change pas en entrant dans l’eau, c’est la longueur d’onde qui change. Trois vérifications rendent les réponses fiables. D’abord, rappelez-vous que la vitesse du son vaut à peu près 343 m/s dans l’air (331 m/s à 0 °C, 343 m/s à 20 °C), donc quelques centaines de hertz donnent toujours autour d’un mètre. Ensuite, rappelez-vous que la lumière dans le vide vaut exactement 299 792 458 m/s : choisissez c dans la liste d’unités plutôt que de la recopier à la main. Enfin, notez que la fréquence et la longueur d’onde varient en sens inverse : à vitesse fixée, dix fois plus de fréquence donne dix fois moins de longueur d’onde, ce qui explique que tout le spectre électromagnétique soit un seul cadran avec les ondes radio à un bout et les rayons gamma à l’autre.

1. Le la du diapason dans l’air : 440 Hz à 343 m/s

   1. On part de la formule : longueur d’onde = vitesse de propagation ÷ fréquence
   2. On remplace : 343 ÷ 440
   3. On divise : 343 ÷ 440 = 0,7795454… m
   4. À trois décimales, puisque c’est ce qu’affiche la page : 0,780 m
   5. On le lit comme une longueur : un cycle complet de cette note fait 78 cm d’air

   C’est l’état par défaut de la page et le seul cas que chacun peut confronter à son expérience : une note grave mesure des mètres, une note aiguë des centimètres, et la bascule se situe quelque part au milieu d’un piano. Cela montre aussi pourquoi la vitesse devait être une entrée plutôt qu’une constante enfouie dans la page. Le même la à 440 Hz dans l’eau fait 1 482 ÷ 440 = 3,4 m, plus de quatre fois plus long, parce que l’eau transporte le son plus vite ; la note que vous entendez est identique, et seule la longueur change. C’est toute la distinction sur laquelle repose cette page : la fréquence vient de la source, la vitesse vient du milieu, et la longueur d’onde vient des deux ensemble.

2. Un canal WiFi à 2,4 GHz, à la vitesse de la lumière

   1. On choisit c dans la liste d’unités de la vitesse, pour que les 299 792 458 m/s soient exacts plutôt que recopiés
   2. On part de la formule : longueur d’onde = vitesse de propagation ÷ fréquence
   3. On remplace : 299 792 458 ÷ 2 400 000 000
   4. On divise : 299 792 458 ÷ 2 400 000 000 = 0,1249135… m
   5. À trois décimales : 0,125 m, soit 12,5 cm

   Le nombre à retenir est 12,5 cm, parce que l’élément quart d’onde dont une antenne à 2,4 GHz est réellement faite en est le quart : environ 3,1 cm, ce qui explique exactement la taille de ces antennes et pourquoi le brin à l’intérieur d’un téléphone peut être imprimé sur la carte. Cela montre aussi à quoi sert l’entrée en GHz de la liste d’unités. Saisir la fréquence dans la case MHz donne 2 400, et un zéro oublié donne 240 au lieu de 2 400 — une longueur d’onde dix fois trop grande, affichée sans erreur et sans avertissement. C’est le cas où la page risque le plus d’être utilisée avec le mauvais préfixe, et c’est donc le cas que les tests de référence verrouillent.

3. Lumière verte : 500 THz dans le vide

   1. On choisit de nouveau c dans la liste d’unités — la lumière dans le vide est le seul cas où la vitesse est une constante définie
   2. On divise : 299 792 458 ÷ 500 000 000 000 000 = 5,99584916 × 10⁻⁷ m
   3. La page l’affiche 5,996 × 10⁻⁷ m, parce que 0,0000006 est illisible à cette taille
   4. On convertit dans l’unité que les gens utilisent réellement pour la lumière : on multiplie par 10⁹ pour obtenir des nanomètres
   5. 5,996 × 10⁻⁷ m × 10⁹ = 599,6 nm, soit le vert au milieu de la bande visible

   C’est le cas qui fait du formatage des nombres une vraie décision plutôt qu’un choix de style. Une vitesse de propagation divisée par une fréquence aussi grande donne 0,0000005996, et un format décimal ordinaire à trois décimales afficherait 0,001 ou 0,000 — une réponse fausse qui ressemble à une réponse juste. La page garde les décimales ordinaires pour tout ce qui va de 10⁻³ à 10⁶ mètres, si bien que les réponses de tous les jours ne sont pas touchées, et bascule en notation scientifique en dehors de cette fenêtre. La conversion en nanomètres est laissée au lecteur exprès : le nanomètre est une convention d’affichage pour la lumière, pas une unité dont le calcul a besoin, et la page préfère afficher un nombre honnête en mètres plutôt que de deviner si vous pensiez à nm, à µm ou à Å.

La page donne un nombre à partir de deux, et elle suppose que l’onde est une onde périodique simple qui se propage dans un milieu unique et uniforme. Rien ici ne couvre une onde qui traverse une frontière entre deux milieux, où la fréquence reste fixe et où la longueur d’onde change — c’est une autre question, et la réponse dépend de l’indice de réfraction ou de l’impédance acoustique de la frontière. Rien ne couvre la dispersion non plus : dans les milieux réels, y compris l’air et le verre, la vitesse elle-même varie avec la fréquence, si bien que la vitesse que vous saisissez est juste pour une bande de fréquences et légèrement fausse pour une autre. Les ondes stationnaires, les interférences et la résonance ne sont pas modélisées du tout — la page ne sait rien des frontières qui les créent, donc la longueur résonante d’un tuyau d’orgue n’est pas quelque chose qu’elle peut vous donner, seulement la longueur d’onde de la note. L’amplitude, l’énergie et l’intensité sont absentes, parce que la longueur d’une onde ne dit rien de ce qu’elle transporte : un murmure à 440 Hz et un cri à 440 Hz ont exactement la même longueur d’onde. Le son dans l’air est saisi à 343 m/s dans les exemples, ce qui est correct à 20 °C et faux d’environ 3,5 % à 0 °C. Enfin, la page traite la vitesse comme indépendante du sens de déplacement, donc une source qui bouge, un observateur qui bouge ou un milieu emporté par le vent — tout ce dont vit l’effet Doppler — est hors de ce qu’elle peut exprimer.

Comment calculer une longueur d’onde à partir d’une fréquence ?

Divisez la vitesse de propagation par la fréquence : λ = v ÷ f. Dans l’air à 20 °C la vitesse du son vaut 343 m/s, donc 440 Hz donnent 343 ÷ 440 = 0,780 m. Cette division est tout le calcul, et la seule chose qui prend les gens en défaut, ce sont les unités : une fréquence en GHz doit être une fréquence en Hz avant la division, donc 2,4 GHz font 2 400 000 000 Hz et non 2 400. La page fait cette conversion pour vous dès que vous choisissez le GHz dans la liste d’unités à côté du champ, ce qui est la raison pour laquelle cette liste monte aussi haut.

Quelle est la formule de la longueur d’onde ?

λ = v ÷ f, où v est la vitesse à laquelle l’onde se propage et f sa fréquence. Elle vient directement de la définition de la vitesse : une onde parcourt une longueur d’onde pendant le temps que met un cycle à s’achever, et le temps d’un cycle vaut 1 ÷ f, donc la distance vaut v × (1 ÷ f). Réarrangée, la même relation donne f = v ÷ λ pour la fréquence qui se cache derrière une longueur d’onde connue, ce qui est la façon dont on calcule la fréquence de résonance d’une antenne à partir de sa longueur. La page calcule la première forme ; la seconde n’est que la même équation déplacée.

Pourquoi la même note a-t-elle une longueur d’onde différente dans l’eau ?

Parce que la fréquence vient de la source et que la vitesse vient du milieu. Un diapason à 440 Hz vibre 440 fois par seconde dans l’air et 440 fois par seconde dans l’eau — la fréquence ne peut pas changer — mais l’eau transporte le son à environ 1 482 m/s contre 343 m/s pour l’air, si bien que la longueur d’onde passe de 0,780 m à 3,4 m. Rien de la note ne change ; seule la distance entre deux compressions change. C’est aussi pourquoi la vitesse de propagation est un champ sur cette page plutôt qu’une constante : la page serait sinon fausse d’un facteur quatre dès que le milieu change.

Quelle vitesse du son faut-il utiliser ?

343 m/s pour l’air à 20 °C, ce qui est la valeur par défaut, et 331 m/s à 0 °C — à peu près 0,6 m/s de moins par degré. Les exemples de la page utilisent 343 m/s parce que c’est la référence habituelle, mais le champ est modifiable précisément parce que ce nombre est une propriété du milieu et non une constante : le son vaut 1 482 m/s dans l’eau, 5 960 m/s dans l’acier, et davantage encore dans un solide sans vide comme le diamant. Pour la lumière dans le vide, choisissez c dans la liste d’unités et la valeur définie exacte, 299 792 458 m/s, est remplie pour vous.

Pourquoi la réponse passe-t-elle en notation scientifique ?

Parce qu’un format décimal unique ne peut pas servir les deux extrémités de la plage. Le son à 20 Hz fait 17,15 m et la lumière visible 5,996 × 10⁻⁷ m — sept ordres et demi de grandeur d’écart. Affichée en décimales ordinaires à trois décimales, la lumière donnerait 0,000, une réponse non pas imprécise mais fausse d’apparence. La page garde les décimales simples pour tout ce qui va de 10⁻³ à 10⁶ mètres, ce qui couvre toutes les réponses du quotidien, et bascule en dehors de cette fenêtre. Si vous travaillez avec de la lumière, la conversion réellement utilisée est le nanomètre : multipliez les mètres par 10⁹, et 5,996 × 10⁻⁷ m font 599,6 nm.

Quelle est la différence avec la calculatrice de vitesse angulaire ?

Les deux pages parlent de vitesse et elles ne mettent pas la même chose derrière le mot. Ici la vitesse est celle à laquelle l’onde elle-même avance dans un milieu — une propriété de l’air ou de l’eau, la même pour toutes les fréquences — et la réponse est une distance dans l’espace. Sur la page de la vitesse angulaire, la vitesse est celle d’un point d’un solide en rotation le long de son cercle, v = ωr, qui est fixée par le rayon et qui diffère pour chaque point du même objet. La vitesse d’une onde ne dépend pas de son amplitude, et la vitesse linéaire d’un point ne dépend pas de l’onde : les deux pages partagent un vocabulaire et rien d’autre.

• Speed of Sound, Frequency, and Wavelength (College Physics 2e, §17.2) — the relation v = fλ, why frequency is set by the source while speed is set by the medium, and the speed of sound in air — OpenStax
• Definitions of SI Base Units — the metre is defined by fixing the speed of light in vacuum at exactly 299,792,458 m/s, which is why the c unit option on this page is a definition rather than a measurement — National Institute of Standards and Technology
• Wavelength — the relation between wavelength, frequency and propagation speed, and the standard band boundaries of the electromagnetic spectrum — Wikipedia
• Speed of sound — measured values in air across temperature and humidity, and in water, which is why the speed is an input on this page rather than a constant — Wikipedia