Calculatrice d’impédance RLC

X_L = 2πfL, X_C = 1/(2πfC), Z = √(R² + (X_L − X_C)²), φ = arctan((X_L − X_C)/R), f₀ = 1/(2π√(LC))

R

La résistance, en ohms, la seule part de l’impédance qui ne change pas avec la fréquence. C’est elle qui fixe le plancher sous Z : quoi que fassent les réactances, l’impédance ne peut jamais descendre sous R, et elle vaut exactement R à la résonance. Son autre rôle est de fixer l’échelle de l’angle de phase — une grande R en face d’une faible réactance nette signifie que le circuit se comporte presque comme une simple résistance (Ω)

L

L’inductance, saisie en millihenrys parce que c’est ce qui est imprimé sur le composant. Sa réactance monte proportionnellement à la fréquence, si bien qu’une bobine bloque les hautes fréquences et laisse passer les basses. La case est en millihenrys et non en henrys : un 10 saisi vaut 10 mH et devient 0,01 H avant que la formule ne le voie (mH)

C

La capacité, saisie en microfarads pour la même raison. Sa réactance baisse quand la fréquence monte, à l’inverse de la bobine, si bien qu’un condensateur laisse passer les hautes fréquences et bloque les basses. Convertie elle aussi avant usage : un 100 saisi vaut 100 µF et devient 0,0001 F. Les deux réactances sont toujours en opposition, et c’est pourquoi la formule soustrait l’une de l’autre au lieu de les additionner (µF)

f

La fréquence de la tension d’alimentation, en hertz. C’est la donnée qui distingue cette page de la loi d’Ohm : elle apparaît deux fois dans le calcul et les deux apparitions poussent en sens opposés, si bien que l’impédance commence par baisser puis remonte. La changer change la réponse sans qu’aucun composant soit touché, et il n’existe aucune fréquence à laquelle les deux réactances seraient nulles en même temps (Hz)

X_L − X_C

La réactance nette, celle qui fixe réellement l’angle de phase et donc le déphasage entre l’intensité et la tension. Quand le terme inductif est le plus grand, l’intensité est en retard sur la tension et φ est positif ; quand le terme capacitif est le plus grand, l’intensité est en avance et φ est négatif ; quand les deux sont égaux, la réactance nette est nulle, φ vaut zéro et le circuit est à la résonance. Aucune des deux réactances n’est retranchée de la résistance : elles se composent à angle droit, et c’est pourquoi la formule prend une racine de somme de carrés et non une somme (Ω)

f₀

La fréquence de résonance, 1/(2π√(LC)), la fréquence à laquelle les deux réactances s’annulent. Elle ne dépend que de L et de C — ni de R, ni de la fréquence actuellement saisie — si bien qu’elle reste immobile pendant que le reste de la page bouge, ce qui se confond facilement avec un défaut. À f₀, un circuit série présente son impédance la plus faible, et cette impédance vaut exactement R (Hz)

Sortez-la dès que le circuit contient une bobine ou un condensateur et que la tension est alternative, parce que c’est là que la loi d’Ohm cesse d’être vraie et pas seulement approchée. Elle répond à ce que vaut un composant ou une branche pour une fréquence donnée : l’impédance d’entrée d’un filtre, la réactance d’une self à la fréquence du secteur, le point où un couple LC résonne. L’angle de phase justifie à lui seul de s’en servir même quand la valeur absolue est déjà connue, parce qu’une charge dont l’intensité n’est pas en phase avec la tension n’est pas la même charge qu’une résistance de valeur ohmique identique. Revenez à la loi d’Ohm quand la charge est vraiment résistive — résistances chauffantes, lampes à filament, longueur de fil — et considérez cette page comme inutile dans ce cas plutôt que comme une version plus précise de la précédente. Le déphasage du courant par rapport à la tension est justement ce que mesure l’angle de phase, et la réactance inductive comme la réactance capacitive y contribuent en sens opposés.

1. Les valeurs par défaut : 50 Hz sur 10 Ω, 10 mH et 100 µF

   1. Convertissez d’abord : L = 10 mH = 0,01 H, C = 100 µF = 0,0001 F
   2. X_L = 2π × 50 × 0,01 = 3,142 Ω
   3. X_C = 1 / (2π × 50 × 0,0001) = 31,831 Ω
   4. La réactance nette vaut 3,142 − 31,831 = −28,689 Ω, le circuit est donc capacitif
   5. Z = √(10² + 28,689²) = 30,382 Ω, φ = arctan(−28,689 / 10) = −70,783°
   6. f₀ = 1 / (2π√(0,01 × 0,0001)) = 159,155 Hz

   Les troisième et quatrième résultats se lisent ensemble : la réactance capacitive vaut plus de dix fois la réactance inductive, donc à 50 Hz ce circuit est un condensateur qui se trouve avoir une résistance en série, et l’intensité est en avance de près de 71 degrés sur la tension. Remarquez aussi le peu de poids des 10 Ω ici : la résistance ne représente qu’un tiers de l’impédance, et l’angle de phase est proche de −90°, ce que donnerait un condensateur pur.

2. Les mêmes composants sollicités à 1 kHz

   1. X_L = 2π × 1 000 × 0,01 = 62,832 Ω — vingt fois sa valeur à 50 Hz
   2. X_C = 1 / (2π × 1 000 × 0,0001) = 1,592 Ω — un vingtième de sa valeur à 50 Hz
   3. La réactance nette vaut 62,832 − 1,592 = +61,240 Ω, le circuit est désormais inductif
   4. Z = √(10² + 61,240²) = 62,051 Ω, φ = arctan(61,240 / 10) = +80,726°
   5. f₀ vaut toujours 159,155 Hz, inchangée

   Mettez cet exemple à côté du premier : pas un composant n’a été touché, et l’angle de phase est passé de −70,783° à +80,726°. Le circuit qui ressemblait à un condensateur à la fréquence du secteur ressemble à une bobine à 1 kHz, et c’est la chose la plus importante que cette page ait à dire, celle qu’une résistance fixe ne peut pas exprimer. La fréquence de résonance de la dernière ligne n’a pas bougé, parce qu’elle ne dépend jamais de la fréquence à laquelle on sollicite le circuit : si elle semble changer, c’est qu’autre chose a été modifié.

3. À la résonance, 159,155 Hz

   1. Saisissez la fréquence de résonance elle-même : 159,155 Hz
   2. X_L = 2π × 159,155 × 0,01 = 10 Ω
   3. X_C = 1 / (2π × 159,155 × 0,0001) = 10 Ω
   4. Les deux s’annulent exactement : Z = √(10² + 0²) = 10 Ω, c’est-à-dire R lui-même
   5. φ = arctan(0 / 10) = 0°, donc la tension et l’intensité sont en phase

   C’est la ligne qui donne sa forme à la page : à la résonance, un circuit série présente son impédance minimale, et ce minimum est exactement la résistance. C’est aussi la seule fréquence à laquelle l’intensité est en phase avec la tension. Un détail à connaître avant de refaire le calcul à la main : 159,155 est f₀ arrondie à trois décimales, donc chaque réactance s’écarte de 10 Ω de quelques millionièmes d’ohm — et les deux s’écartent l’une de l’autre d’environ sept millionièmes —, ce qui laisse l’angle de phase à 0,000041° plutôt qu’à zéro exactement, et le panneau arrondit l’un comme l’autre. La résonance exacte tombe à 159,1549431… Hz.

4. Une résistance de 1 kΩ dans le même circuit

   1. Les réactances sont inchangées par rapport au premier exemple : 3,142 Ω et 31,831 Ω
   2. La réactance nette vaut toujours −28,689 Ω, mais R vaut désormais 1 000 Ω
   3. Z = √(1 000² + 28,689²) = 1 000,411 Ω
   4. φ = arctan(−28,689 / 1 000) = −1,643°
   5. f₀ vaut toujours 159,155 Hz : R n’a aucune effet sur elle

   C’est ici que la page rencontre la loi d’Ohm. Passer R de 10 Ω à 1 kΩ laisse les réactances intactes — elles sont des propriétés de L, de C et de la fréquence, pas de R — mais fait tomber l’angle de phase de −70,783° à −1,643°, et l’impédance de 30,382 Ω à 1 000,411 Ω, dont 1 000 ne sont que R. À ce rapport, le circuit est une résistance avec une trace de capacité à peine mesurable, et V = I × R y est une bonne approximation plutôt qu’une erreur. C’est la frontière entre cette page et celle de la loi d’Ohm, et elle est progressive : il n’y a pas de seuil, seulement une erreur qui diminue à mesure que R augmente.

Cette page ne modélise qu’un circuit série — une résistance, une bobine et un condensateur sur une seule maille. Il n’y a volontairement pas de sélecteur pour un circuit parallèle, parce qu’un réseau RLC parallèle n’est pas cette formule avec un drapeau basculé : il utilise une autre expression et il fait l’inverse à la résonance, là où un circuit série atteint son impédance minimale et un circuit parallèle son impédance maximale. Y saisir les quatre mêmes nombres et obtenir une autre réponse reviendrait à lire un fait sur un circuit que vous n’avez pas décrit, et cette variante mérite donc sa propre page plutôt qu’un interrupteur ici. Les composants sont également supposés parfaits d’un bout à l’autre : aucune résistance de bobinage dans la self, aucune fuite ni résistance série équivalente dans le condensateur, et aucune fréquence à laquelle les pièces cessent de se comporter comme des éléments localisés. La fréquence d’entrée est fixe et non balayée, donc la page donne un point de la courbe d’impédance et la fréquence de résonance, pas la courbe elle-même.

Pourquoi ne pas simplement utiliser la loi d’Ohm ici ?

Parce qu’avec une bobine ou un condensateur dans le circuit, le rapport de la tension à l’intensité n’est pas une constante : il dépend de la fréquence, et l’intensité cesse de rester en phase avec la tension. La loi d’Ohm donne bien un nombre ici, et ce nombre est faux, ce qui est pire que de ne rien donner du tout. La calculatrice de la loi d’Ohm le dit elle-même et renvoie vers cette page ; V = I × R reste une bonne approximation tant que la résistance est grande devant la réactance nette, comme le montre le quatrième exemple, où 1 kΩ en face de 28,689 Ω laisse l’angle de phase sous les deux degrés.

Et pour un circuit RLC parallèle ?

C’est un autre calcul et une autre page, et c’est pourquoi il n’y a pas d’interrupteur pour cela ici. Un réseau parallèle utilise sa propre expression et se comporte à l’inverse à la résonance : un circuit série y atteint son impédance minimale, tandis qu’un circuit parallèle y atteint son impédance maximale. Pire, cette page accepterait volontiers ces quatre nombres et renverrait une impédance fausse d’un facteur important, sans aucun signe visible de problème — exactement le genre d’erreur silencieuse qu’un sélecteur devrait empêcher, et non provoquer.

Pourquoi la fréquence de résonance ne change-t-elle pas quand je change la fréquence ?

Parce que la fréquence de résonance est une propriété de la bobine et du condensateur, tandis que le champ de fréquence est la fréquence à laquelle vous sollicitez le circuit : deux choses différentes qui se trouvent porter le même nom. f₀ = 1/(2π√(LC)) ne contient ni R ni f, donc elle reste immobile pendant que vous faites balayer la fréquence d’excitation. Elle ne bouge que si vous changez L ou C. Cette indépendance est justement ce qui la rend utile : elle vous dit où le circuit résonnera avant même que vous alliez le chercher.

Que signifie un angle de phase négatif ?

Il signifie que l’intensité est en avance sur la tension, ce qui arrive dès que la réactance capacitive est la plus grande des deux. Un angle positif veut dire que l’intensité est en retard, l’inductance commandant, et un angle nul qu’elles sont égales, donc que le circuit est à la résonance. Le signe résume donc toute la page en un caractère : −70,783° dit que c’est le condensateur de 100 µF qui mène ce circuit à 50 Hz, et +80,726° à 1 kHz dit que la bobine de 10 mH a pris le relais.

Pourquoi l’impédance ne vaut-elle que 10 ohms à la résonance ?

Parce que les deux réactances s’annulent et ne laissent que la résistance. X_L et X_C sont égales et d’effet opposé, donc la réactance nette est nulle et Z = √(R² + 0²) = R. C’est l’impédance minimale d’un circuit série, et c’est aussi la fréquence à laquelle l’intensité est la plus grande et en phase avec la tension. C’est la raison pour laquelle on utilise un couple LC série pour sélectionner une fréquence : tout le reste est atténué, et celle qui est choisie passe avec R pour seul obstacle.

Les réactances s’ajoutent-elles à la résistance ?

Non, elles se composent à angle droit, et c’est pourquoi la formule prend la racine de la somme des carrés plutôt qu’une simple somme. Aux valeurs par défaut, l’écart est important : une addition arithmétique donnerait 10 + 3,142 + 31,831 = 44,973 ohms, alors que l’impédance correcte vaut 30,382 ohms. La raison physique est le déphasage — la tension aux bornes d’une réactance est décalée d’un quart de période par rapport à celle aux bornes d’une résistance, et des grandeurs décalées ne s’additionnent pas simplement.

• NIST Guide for the Use of the International System of Units (SI), §6.5 — the hertz, the henry and the farad, and the derived unit for reactance — NIST
• Series RLC circuit — impedance as a vector sum of resistance and net reactance, the phase angle, and resonance as the point where the two reactances cancel — Wikipedia
• Electrical reactance — why an inductor and a capacitor react in opposite directions as frequency rises, and how each behaves at the two extremes — Wikipedia