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Calculatrice de prisme triangulaire

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

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Résultat

60,0000 cm³

Volume

Aire latérale
120,0000 cm²
Aire totale
132,0000 cm²

Une calculatrice de prisme triangulaire prend les trois côtés de l’extrémité triangulaire et la longueur du prisme, et renvoie trois lectures : ce qu’il contient, quelle surface d’enrobage fait le tour de ses côtés, et quelle quantité de matière prendrait toute sa surface. Un prisme triangulaire est la forme d’une tente, d’une barre de chocolat à section triangulaire, d’un coin de fromage, d’un faîtage de toit et d’une longueur de moulure triangulaire — tout objet qui a un triangle à une extrémité et court en ligne droite jusqu’à un triangle identique à l’autre bout. Deux des trois réponses sont faciles à se représenter. Le volume est l’aire de l’extrémité triangulaire multipliée par la distance sur laquelle le prisme court, parce qu’un prisme est ce que l’on obtient en traînant une forme plate dans l’espace sans la faire tourner, et le volume de tout objet ainsi fabriqué vaut sa section transversale multipliée par son déplacement. L’aire latérale est la distance autour du triangle multipliée par la même longueur, parce que dépliés, les côtés du prisme forment un rectangle dont la largeur est le périmètre du triangle. Mettez ces deux-là ensemble et la troisième suit : l’aire totale est l’enrobage plus les deux extrémités triangulaires, une à chaque bout, et voilà pourquoi les extrémités sont comptées deux fois. Les trois côtés doivent aussi former un triangle tout court, ce qui mérite un mot parce que c’est le contrôle que l’on oublie. Trois longueurs ne font un triangle que si deux d’entre elles additionnées donnent plus que la troisième. Sinon, le prisme n’a pas de face d’extrémité par où commencer et pas de volume à annoncer, et la page le dit au lieu de renvoyer discrètement quelque chose. Quand les deux côtés les plus courts totalisent exactement le plus long, l’extrémité est une ligne plate plutôt qu’un triangle, et la page l’accepte : le volume est réellement nul et la page imprime zéro.

Le volume d’un prisme triangulaire à partir de son extrémité et de sa longueur

Côté a (cm)Côté b (cm)Côté c (cm)Longueur (cm)Volume du prisme (cm³)
3451060
66610155.8846
556448
234514.5237
112100
34500
2.53.547.532.476
5610222.798

Huit prismes et cinq colonnes. Le tableau donne le volume plutôt que les trois lectures parce que cinq colonnes est déjà aussi large que ce tableau peut porter, et que le volume est ce pour quoi les gens viennent. La première ligne est la ligne de réconciliation : une extrémité 3-4-5 a une aire d’exactement 6, donc le volume vaut exactement 60, et la page du volume imprime le même 60 depuis une aire de base de 6 et une longueur de 10. La deuxième ligne est le même contrôle avec un nombre ingrat — une extrémité équilatérale de 6 donne 155,8846, et la page du volume y arrive depuis une aire de base de 15.5884572. La cinquième ligne est l’extrémité dégénérée, où 1 + 1 = 2 et où le triangle a été aplati en une ligne : son aire est nulle, donc le volume est nul, et la page l’accepte. La sixième ligne est une longueur nulle, où le volume est également nul mais pour une raison entièrement différente — il ne reste aucun prisme. La huitième ligne a une extrémité presque dégénérée — 5 + 6 dépasse 10 de justesse — ce qui rend l’aire minuscule et constitue le cas le plus difficile pour l’arithmétique. Chaque valeur est recalculée à partir de ses quatre entrées au moment où la page est construite, en centimètres, et les quatre décimales sont les mêmes que celles du panneau de résultats. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (155.8846 plutôt que 155,8846), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

V = A(base) × L

Côté a
Le premier côté de l’extrémité triangulaire, en centimètres. Les trois côtés ensemble doivent pouvoir former un triangle, ce que la page vérifie avant de répondre
Côté b
Le deuxième côté de l’extrémité, en centimètres. Avec a et c, il fixe complètement l’aire de l’extrémité, et donc le volume
Côté c
Le troisième côté de l’extrémité, en centimètres. L’ordre des trois n’a pas d’importance — ils sont utilisés symétriquement, à travers le périmètre et le demi-périmètre
Longueur
La distance sur laquelle le prisme court, en centimètres — l’écart entre les deux extrémités triangulaires identiques, mesuré le long de la direction du prisme
A(base)
L’aire de l’extrémité triangulaire, calculée à partir des trois côtés par la formule de Héron. Une extrémité 3-4-5 a une aire d’exactement 6 centimètres carrés, et c’est pourquoi elle revient si souvent dans ce groupe
Volume
Ce que le prisme contient, en centimètres cubes. L’aire de l’extrémité multipliée par la longueur, ce qui marche pour tout prisme quelle que soit la forme de sa section
Périmètre et aire latérale
La distance autour de l’extrémité, et cette distance multipliée par la longueur. Dépliés, les côtés de tout prisme forment un rectangle, et ceci en est l’aire

Le béton et les terrassements en sont les usagers les plus anciens : une banquette triangulaire, un tas de déblais à sommet plat, une bordure en béton coulée à section triangulaire — tout ce qui se commande ou se paie au volume, c’est-à-dire la plupart des choses vendues au camion ou au mètre cube. Les matériaux d’enrobage et de couverture forment la seconde famille, et ils veulent l’aire latérale : la toile par-dessus le faîtage d’une tente, le film rétractable autour d’un paquet triangulaire, le bardage d’un pignon, la tôle d’un conduit triangulaire. Ces travaux se chiffrent à la surface, et le nombre qu’il leur faut est le périmètre multiplié par la longueur, et non l’aire totale, parce que les extrémités sont généralement ouvertes ou couvertes par autre chose. Les travaux de peinture et de revêtement veulent au contraire l’aire totale, parce que les extrémités font partie de ce qui doit être peint, et les oublier dans le devis est la façon classique de tomber à court. Vient ensuite la troisième lecture, celle qui vaut la peine d’être connue même si elle vient gratuitement : le volume de tout prisme est l’aire de sa section multipliée par sa longueur, et une fois qu’on l’a vu, les pavés droits, les cylindres et cette forme se ramènent tous à une seule règle. Cette généralisation est la raison pour laquelle cette page et celle du volume d’un prisme triangulaire existent en couple — l’une part des trois côtés, l’autre part d’une aire que vous avez déjà, et les deux tombent sur la même réponse quand les nombres concordent.

Exemples détaillés

  1. Une extrémité 3-4-5 avec une longueur de 10

    1. Calculez l’aire de l’extrémité par la formule de Héron : demi-périmètre 6, donc √(6 × 3 × 2 × 1) = 6
    2. Multipliez par la longueur pour le volume : 6 × 10 = 60
    3. Additionnez les côtés et multipliez par la longueur pour l’enrobage : 12 × 10 = 120
    4. Ajoutez les deux extrémités triangulaires : 120 + 2 × 6 = 132

    Le couple avec lequel la page se charge, et celui qui relie les deux pages : l’extrémité a une aire d’exactement 6, donc le volume vaut exactement 60, et la page du volume imprime le même 60 pour une aire de base de 6 avec une longueur de 10. Les trois lectures sortent d’un seul petit jeu de nombres, et c’est tout l’intérêt d’une page générale.

  2. Une extrémité équilatérale de 6 avec une longueur de 10

    1. Calculez l’aire de l’extrémité équilatérale : √3 ÷ 4 × 36 = 15,5884572…
    2. Multipliez par la longueur pour le volume : 15,5884572… × 10 = 155,884572…

    Une extrémité équilatérale, où l’aire n’est pas un nombre entier et où la réponse doit être arrondie à la fin. La page du volume atteint le même 155,8846 depuis une aire de base de 15,5884572 avec la même longueur, ce qui est la seconde réconciliation entre les deux pages.

  3. Une extrémité isocèle de 5, 5 et 6 avec une longueur de 4

    1. Calculez l’aire de l’extrémité : le demi-périmètre vaut 8, donc √(8 × 3 × 3 × 2) = 12
    2. Multipliez par la longueur pour le volume : 12 × 4 = 48

    Le cas ordinaire : une extrémité dont l’aire se trouve être un nombre entier, et un prisme court. Rien ici n’est une forme particulière et aucun côté n’a dû être mesuré sous un angle commode, ce à quoi ressemblent la plupart des chantiers réels.

  4. Une extrémité 3-4-5 avec une longueur de 0

    1. Calculez l’aire de l’extrémité : 6
    2. Multipliez par la longueur : 6 × 0 = 0

    Une longueur nulle signifie que les deux extrémités ont été ramenées l’une sur l’autre et qu’il ne reste aucun prisme — le volume est réellement nul. L’aire totale n’est pas nulle même ici, parce que les deux extrémités triangulaires sont toujours là et doivent toujours être comptées ; l’aire latérale, elle, disparaît avec la longueur, puisqu’elle vaut le périmètre de l’extrémité multiplié par cette longueur. Voir l’une du couple rester en place pendant que l’autre tombe à zéro est une bonne façon de voir que l’aire totale et le volume répondent à des questions différentes.

Limites

Cette page prend les trois côtés de l’extrémité et la longueur du prisme, et rien d’autre. Elle suppose le prisme droit — que les extrémités soient parallèles et de même forme, et que les faces latérales courent perpendiculairement à elles — ce qui est le sens du mot prisme mais pas ce qu’est tout solide triangulaire ; un coin qui va en s’amincissant vers une extrémité demande une autre arithmétique. La section transversale doit être un triangle : un prisme à extrémité quadrilatérale générale est une autre forme avec une autre page. Les trois côtés doivent satisfaire l’inégalité triangulaire, et lorsque les deux plus courts totalisent moins que le plus long la page refuse plutôt que de répondre. Lorsqu’ils totalisent exactement le plus long, l’extrémité est dégénérée et le volume est accepté comme nul. La réponse est toujours en centimètres, centimètres carrés et centimètres cubes quoi que disent les listes, et les conversions ne sont pas les mêmes pour les trois : une longueur se convertit par 2,54 vers le pouce, une aire par 6,4516, et un volume par 16,387. Quatre décimales sont une largeur d’affichage plutôt qu’une prétention à la précision, et un volume contenant une racine carrée aura réellement plus de chiffres qu’il n’en est montré. L’aire latérale exclut les deux extrémités triangulaires, ce dont a besoin un matériau d’enrobage mais pas un devis de peinture — pour la peinture, prenez l’aire totale. Rien ici ne traite un prisme creux, une épaisseur de paroi, ni une marge pour les chutes lors de la découpe.

Questions fréquentes

Quelle différence entre l’aire latérale et l’aire totale ?
L’aire latérale est l’enrobage des côtés seulement — le périmètre du triangle multiplié par la longueur. L’aire totale compte en plus les deux extrémités triangulaires, donc elle vaut l’aire latérale plus deux fois l’aire de l’extrémité. Celle qu’il vous faut dépend du travail : un enrobage, une étiquette ou un bardage réclame l’aire latérale, parce que les extrémités du paquet sont ouvertes. La peinture, le placage ou la tôle réclament le total, parce que les extrémités doivent être couvertes aussi.
Quelle mesure est la longueur ?
La distance sur laquelle le prisme court — l’écart d’une extrémité triangulaire à l’autre, mesuré le long de la direction que prend la forme. Ce n’est pas la hauteur du triangle, et sur un prisme posé sur une table ces deux nombres se ressemblent souvent, ce qui est exactement pourquoi il vaut la peine de vérifier lequel vous avez. Si votre prisme est une tente, la longueur est le faîtage.
Les trois côtés peuvent-ils être trois nombres quelconques ?
Non. Trois longueurs ne forment un triangle que si deux d’entre elles additionnées donnent plus que la troisième. Si les deux plus courtes totalisent moins que la plus longue, il n’y a pas de face d’extrémité et la page refuse plutôt que de répondre. Si elles totalisent exactement la plus longue, l’extrémité est une ligne plate et le volume est réellement nul, donc ce cas est accepté et imprimé comme zéro.
Pourquoi la page du volume donne-t-elle la même réponse pour certaines entrées ?
Parce que les deux pages sont la même règle atteinte depuis des points de départ différents. Le volume de tout prisme est l’aire de sa section multipliée par sa longueur, donc si vous connaissez déjà l’aire de l’extrémité vous pouvez sauter entièrement les trois côtés. Une extrémité 3-4-5 a une aire d’exactement 6, donc les deux pages donnent 60 pour une longueur de 10 — l’une calculant l’aire d’abord, l’autre se la faisant donner.
Cela change-t-il quelque chose d’appeler tel côté a, b ou c ?
Non. Les trois côtés entrent symétriquement dans le calcul — à travers le périmètre ils sont simplement additionnés, et à travers la formule de Héron ils ne servent que dans le demi-périmètre et les trois différences, qui forment le même jeu de nombres quel que soit l’ordre dans lequel vous les saisissez. Les étiquettes servent à donner un nom aux cases, pas à suggérer quoi que ce soit.
Puis-je m’en servir pour un cylindre ou un pavé droit ?
Pas sur cette page, parce que l’extrémité est ici un triangle et que les champs réclament trois côtés. Mais la règle est la même : le volume de tout prisme est sa section multipliée par sa longueur, et l’aire latérale de tout prisme est son périmètre multiplié par sa longueur. La page du pavé droit dans ce groupe est le même calcul avec une extrémité rectangulaire, et celle du cylindre le même avec une extrémité circulaire.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de volume d’un pavéVolume et aire d’un pavé droit à partir des arêtes.Calculatrice de la formule de HéronAire d’un triangle à partir des trois côtés, par Héron.Calculatrice de surface des solidesSurface des sphères, des cônes, des cylindres et des prismes.Calculatrice d’aire de triangleAire d’un triangle par la base et la hauteur.