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CalcMax

Calculatrice de dilatation du temps

Intervalle : 0 c (vitesse de la lumière) – 1 c (vitesse de la lumière)

Résultat

11 heures 28 minutes 15 secondes

Temps dilaté

Différence de temps
6 heures 28 minutes 15 secondes
Facteur de Lorentz
2,2942

Calculatrice de dilatation du temps : de combien une horloge en mouvement met plus longtemps à égrener le même intervalle. Entrez une vitesse en fraction de la vitesse de la lumière et la durée mesurée par le voyageur, et la page renvoie le facteur de Lorentz, le temps qui s’écoule resté sur place, et l’écart entre les deux horloges. Le facteur reste proche de 1 pendant très longtemps — 0,1 c donne 1,005 — puis grimpe brutalement, de 7,09 à 0,99 c jusqu’à 707 à 0,999999 c. Valeurs par défaut : 0,9 c pendant cinq heures à bord, soit 11 h 28 min au sol.

Six vitesses et le facteur que chacune porte

VitesseFacteur de LorentzOù cela se voit
0,1 c1.005Plus vite que tout ce qui a jamais été construit — la sonde la plus rapide atteint environ 0,0006 c — et les horloges ne divergent que d’un demi pour cent
0,5 c1.1547Aucun objet macroscopique n’en est approché. Une année à bord fait une année et deux mois à la maison
0,9 c2.2942Le seuil où l’effet cesse d’être une erreur d’arrondi : un jour à bord fait 2,29 jours à la maison
0,99 c7.0888Un facteur de sept. À cette vitesse, un trajet vers Proxima Centauri dure environ 4,3 ans à bord et 30 ans sur Terre
0,999 c22.3663Un facteur de vingt-deux. Les muons des rayons cosmiques arrivent au sol à peu près à cette vitesse, ce qui explique qu’ils survivent au trajet
0,999999 c707.107Un facteur de 707. Une heure à bord fait 29 jours à la maison, et la correction n’est plus une petite correction

Les six vitesses ne sont pas régulièrement espacées et c’est justement l’intérêt du tableau. Les trois premières sont des vitesses qu’un lecteur peut se représenter, et sur toute cette plage le facteur bouge à peine — de 1,005 à 2,2942. Les trois dernières se tassent dans le dernier millième du chemin vers la vitesse de la lumière, et là le facteur passe de 7,0888 à 707,107. Un espacement régulier aurait donné à ce tableau l’air d’un facteur qui monte progressivement, soit exactement le contraire de ce qu’il fait. Deux remarques d’affichage : la colonne du milieu est reprise telle qu’écrite et non complétée par des zéros, donc la ligne 0,1 c affiche 1,005 et non 1,0050, et la dernière ligne affiche 707,107 et non 707,1070 : et cette colonne du milieu porte le même nombre dans toutes les langues, puisqu’il s’agit d’un rapport et non d’une mesure. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (2.2942 plutôt que 2,2942), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

temps dilaté = facteur de Lorentz × temps propre, où le facteur de Lorentz vaut 1 ÷ √(1 − v²/c²)

v
La vitesse de l’horloge en mouvement exprimée en fraction de la vitesse de la lumière, donc 0,9 signifie neuf dixièmes de c. La saisir ainsi est un choix délibéré : la vitesse de la lumière est ici l’unité, et non une constante que vous devez taper. Le champ va de 0 à 1, et la valeur exactement égale à 1 n’est pas utilisable, parce que toute la formule divise par une quantité qui y devient nulle
Δτ
Le temps propre — ce que lit l’horloge du voyageur elle-même, en heures, en minutes, en secondes ou en jours. C’est le plus petit des deux temps et celui que le voyageur vit. Cette page a deux horloges et c’est celle-ci qu’il faut garder distincte de l’autre : remplissez le trajet tel que l’équipage le vivrait, et non tel que le centre de contrôle le verrait
γ
Le facteur de Lorentz, 1 ÷ √(1 − v²/c²), affiché à quatre décimales sans unité parce que c’est un rapport. C’est tout le sujet de cette page : à toute vitesse qu’une personne ou un véhicule atteint, il s’accorde avec 1 jusqu’à la onzième décimale — 1 000 m/s ne donnent encore que 1,0000000000056 — donc la page affiche 1,0000 — à 0,1 c il vaut 1,005, et ce n’est qu’au-delà de 0,9 c environ qu’il commence à ressembler à un nombre qui mérite un tableau. Tout le reste de la page est ce facteur multiplié par un temps ou retranché de celui-ci
Δt
Le temps dilaté — ce que lit une horloge restée sur place entre les deux mêmes événements. C’est toujours le plus grand des deux, et la page l’affiche comme une durée plutôt que comme un nombre de secondes : cinq heures à bord à 0,9 c deviennent 11 heures 28 minutes 15 secondes. Il n’existe aucun cas où il est plus petit, parce que le facteur ne descend jamais sous 1
Δt − Δτ
L’écart entre les deux horloges, affiché lui aussi comme une durée. Ce n’est ni le temps dilaté ni un multiple de celui-ci : c’est ce qui reste une fois les heures du voyageur retranchées, et c’est le nombre que le paradoxe des jumeaux interroge réellement. À 0,9 c sur cinq heures, l’écart vaut 6 heures 28 minutes 15 secondes

Prenez cette page quand vous voulez savoir ce qu’un voyage rapide coûte en temps plutôt qu’en distance : de combien un équipage vieillirait sur un trajet à une fraction respectable de la vitesse de la lumière, à quoi ressemble la durée de vie d’un muon vue du sol, ou pourquoi l’horloge d’un satellite doit être corrigée. Le facteur est la partie qui vaut le détour, parce que la réponse surprend dans les deux sens — à 0,1 c, plus vite que tout ce qui a jamais été construit, les horloges ne divergent que d’un demi pour cent, tandis que le dernier intervalle, de 0,99 c à 0,999999 c, multiplie l’effet par cent. La moitié aller du paradoxe des jumeaux vit ici : éloignez un jumeau à 0,9 c et le calendrier de l’autre avance plus de deux fois plus vite. La relativité restreinte s’arrête en revanche à la vitesse relative, et deux réserves valent d’être posées : la gravitation n’est pas modélisée, et le trajet est supposé se faire à cette vitesse d’un bout à l’autre.

Exemples détaillés

  1. Les valeurs par défaut : 0,9 c pendant cinq heures à bord

    1. Vitesse 0,9 c, temps propre 5 heures
    2. Facteur de Lorentz : 1 ÷ √(1 − 0,9²) = 1 ÷ √0,19 = 2,294157, affiché 2,2942
    3. Cinq heures font 5 × 3 600 = 18 000 secondes à bord
    4. Temps dilaté : 2,294157 × 18 000 = 41 294,83 secondes, arrondi à 41 295 — soit 11 heures 28 minutes 15 secondes
    5. Écart : 41 295 − 18 000 = 23 295 secondes, soit 6 heures 28 minutes 15 secondes

    Les deux lignes de durée sont la raison pour laquelle cette page n’est pas une simple multiplication. L’horloge du voyageur lit cinq heures : celle de la maison en lit onze heures vingt-huit, et leur différence, six heures vingt-huit, est le troisième nombre — celui dont parle le paradoxe des jumeaux. Remarquez que l’écart n’est pas non plus un multiple du temps propre : il vaut 23 295 secondes, soit 1,294 fois les 18 000 mesurées par le voyageur, et non 2,29 fois. Retrancher γ fois le temps au temps ne donne pas la différence ; retrancher les deux temps l’un de l’autre, si.

  2. Moitié de la vitesse de la lumière pendant une heure : l’effet est réel mais modeste

    1. Vitesse 0,5 c, temps propre 1 heure
    2. Facteur de Lorentz : 1 ÷ √(1 − 0,25) = 1 ÷ √0,75 = 1,154701, affiché 1,1547
    3. Une heure à bord fait 3 600 secondes
    4. Temps dilaté : 1,154701 × 3 600 = 4 156,92 secondes, arrondi à 4 157 — 1 heure 9 minutes 17 secondes
    5. Écart : 4 157 − 3 600 = 557 secondes, soit 9 minutes 17 secondes

    La moitié de la vitesse de la lumière paraît extrême et, pour l’horloge, ne l’est pas : une année à bord ferait une année et deux mois à la maison. Ce cas figure ici à cause de l’arrondi plutôt que de la physique — une implémentation qui tronque au lieu d’arrondir annonce 4 156 et 556, une seconde de moins sur les deux lignes, et cette seconde est invisible si l’on ne refait pas l’arithmétique comme le font les étapes ci-dessus. C’est aussi le cas qui montre que le facteur est symétrique d’une façon inattendue : 0,5 c donne 1,1547, et 0,5 c dans n’importe quelle direction donne la même chose, parce que la formule contient v² et non v.

  3. 0,999999 c pendant une heure : vingt-neuf jours à la maison

    1. Vitesse 0,999999 c, temps propre 1 heure
    2. Facteur de Lorentz : 1 ÷ √(1 − 0,999998000001) = 1 ÷ √(1,999999 × 10⁻⁶) = 707,106958, affiché 707,107
    3. Une heure à bord fait 3 600 secondes
    4. Temps dilaté : 707,106958 × 3 600 = 2 545 585,05 secondes, arrondi à 2 545 585 — soit 29 jours 11 heures 6 minutes 25 secondes
    5. Écart : 2 545 585 − 3 600 = 2 541 985 secondes, soit 29 jours 10 heures 6 minutes 25 secondes

    Une heure de voyage et vingt-neuf jours de temps terrestre, et c’est ce que le dernier chiffre de l’entrée achète : à 0,999 c le facteur vaut 22,37, et à 0,999999 c il vaut 707,11, pour une variation d’un millième sur la vitesse. Cette raideur est la chose la plus utile à retenir de cette page, et c’est pourquoi les six vitesses du tableau sont tassées vers le haut au lieu d’être régulièrement espacées. L’arithmétique de la deuxième étape est le seul endroit où la racine carrée se rate facilement à la main : √2 ≈ 1,4142 laisserait croire à 707,1068, alors que la valeur affichée porte un zéro à la quatrième décimale et non un huit.

  4. Au repos : les deux horloges s’accordent exactement

    1. Vitesse 0 c, temps propre 1 heure
    2. Facteur de Lorentz : 1 ÷ √(1 − 0) = 1, affiché 1,0000
    3. Temps dilaté : 1 × 3 600 = 3 600 secondes, soit 1 heure
    4. Écart : 3 600 − 3 600 = 0 seconde
    5. Rien ne bouge, rien ne ralentit

    Cette ligne est le point d’ancrage de toutes celles du dessus : sans mouvement relatif il n’y a aucun effet, et le facteur vaut exactement 1. C’est aussi la ligne qui montre pourquoi quatre décimales sont affichées plutôt que deux — à 0,05 c le facteur vaut 1,00125, que deux décimales afficheraient 1,00, indiscernable de l’immobilité, tandis qu’à quatre décimales la ligne 0,1 c affiche 1,005 et l’écart devient visible. Le 1,0000 affiché n’est pas du remplissage non plus : il dit que le désaccord est en dessous de la quatrième décimale, ce qui est un fait sur la vitesse nulle et non un choix de formatage.

Limites

Seule la branche aller est couverte : une horloge qui fait demi-tour doit être traitée comme deux segments à vitesse constante, et c’est l’horloge du voyageur qui finit en retard. La gravitation n’est pas modélisée, alors qu’une horloge située plus bas dans un champ de gravitation ralentit elle aussi, par une autre formule. La vitesse est mesurée par rapport à celui qui observe, et le trajet est supposé se faire à cette vitesse d’un bout à l’autre : rien ici ne rend compte de l’accélération au départ ni à l’arrivée.

Questions fréquentes

Quelle est la formule de la dilatation du temps ?
Le temps dilaté vaut le facteur de Lorentz multiplié par le temps propre, soit Δt = γΔτ, où γ vaut 1 divisé par la racine carrée de 1 − v²/c². Cinq heures à bord d’un vaisseau filant à 0,9 c deviennent 11 heures 28 minutes 15 secondes au sol, parce que γ vaut alors 2,2942. Le facteur ne dépend que de la vitesse, donc changer la durée du trajet met les deux temps à l’échelle ensemble et laisse γ intact.
Pourquoi le facteur de Lorentz reste-t-il si longtemps proche de 1 ?
Parce que la formule contient v²/c², donc à faible vitesse la quantité retranchée de 1 est minuscule et la racine carrée d’un nombre proche de 1 est proche de 1. À 0,1 c — trente millions de mètres par seconde, plus vite que n’importe quelle sonde spatiale — le facteur vaut 1,005, soit un demi pour cent. Même à la moitié de la vitesse de la lumière, il ne vaut que 1,1547. La partie raide arrive tard : 7,09 à 0,99 c, 22,37 à 0,999 c et 707 à 0,999999 c.
En quoi est-ce différent du paradoxe des jumeaux ?
Cette page en donne la moitié aller. Si un jumeau part à 0,9 c et que l’autre reste, l’horloge de celui qui reste avance 2,2942 fois plus vite, donc cinq ans à bord font onze ans et demi à la maison. Le paradoxe complet exige que le voyageur fasse demi-tour et revienne, ce qui fait deux branches au lieu d’une et met en jeu une accélération : c’est elle qui brise la symétrie entre les deux jumeaux, et elle sort du cadre de cette page.
La gravitation provoque-t-elle aussi une dilatation du temps ?
Oui, et cette page ne la couvre pas. Une horloge située plus profondément dans un champ de gravitation ralentit par rapport à une horloge plus haute : c’est un effet distinct, avec sa propre formule, et c’est pourquoi les horloges des satellites doivent être corrigées des deux effets à la fois. Ce que couvre cette page est l’effet de la relativité restreinte, qui ne dépend que de la vitesse relative et s’applique même sans aucune gravitation. Les deux s’additionnent dans les systèmes de navigation réels.
Que se passe-t-il à exactement la vitesse de la lumière ?
La page refuse cette entrée. À v = c, la quantité 1 − v²/c² est nulle et le facteur de Lorentz divise par zéro : il n’y a donc pas de réponse plutôt qu’une réponse infinie. Au-delà de la vitesse de la lumière, la racine carrée devient la racine d’un nombre négatif. Le champ accepte 0 à 1 et la calculatrice rejette exactement 1, ce qui est la bonne séparation : atteindre la vitesse de la lumière n’est pas une très grande valeur sur cette page, c’est le point où la formule cesse d’être définie.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice E = mc²Énergie libérée par une masse, selon E = mc².Calculatrice de vitesseVitesse moyenne ou finale depuis distance et temps.Calculatrice de quantité de mouvementQuantité de mouvement et impulsion pour la modifier.Calculatrice d’énergie cinétiqueÉnergie cinétique à partir de la masse et de la vitesse.