Que calcule exactement E = mc² ?

L’énergie équivalente à une masse : on multiplie la masse en kilogrammes par le carré de la vitesse de la lumière, 299 792 458 m/s. Un gramme donne 0,001 × 299 792 458² = 8,99 × 10¹³ joules, soit 89,9 térajoules ou 21,5 kilotonnes de TNT. C’est l’énergie totale enfermée dans la masse, et non celle qu’un procédé particulier en libérera — voir plus bas la fraction que les réactions réelles en extraient.

Pourquoi la vitesse de la lumière est-elle élevée au carré ?

Parce que c’est ce que donne la démonstration, et la raison pour laquelle le résultat est si grand est que c est déjà grand et que le carré l’agrandit encore : 299 792 458² vaut environ 9 × 10¹⁶. Dans l’article de 1905, l’équation apparaît sous la forme m = E/c², qui se lit plus naturellement — l’inertie d’un corps est son énergie divisée par c², et comme c² est énorme, une petite masse correspond à une énergie immense.

Quelle part de cette énergie un réacteur nucléaire obtient-il réellement ?

Environ un millième. La fission convertit à peu près 0,1 % de la masse du combustible en énergie, donc un kilogramme d’uranium libère près de 8 × 10¹³ joules au lieu des 9 × 10¹⁶ affichés par cette page — ce qui reste des millions de fois plus que brûler la même masse de charbon. La fusion fait mieux, autour de 0,7 %, ce qui explique que le carburant du Soleil dure si longtemps. Les réactions chimiques sont loin derrière les deux : brûler de l’essence convertit environ une partie sur dix milliards de sa masse.

Pourquoi des kilotonnes de TNT plutôt que des joules ?

Parce que personne n’a d’intuition pour 9 × 10¹³ joules. Une kilotonne de TNT est définie comme 4,184 × 10¹² joules, donc la conversion est exacte, et il se trouve que c’est l’unité que les médias emploient pour les explosions : un gramme de matière donne 21,5 kilotonnes, contre environ 15 kilotonnes pour la bombe de Hiroshima. La ligne des joules reste affichée, en entier, parce que la taille de ce nombre est justement ce que l’équation a de remarquable.

La masse de l’équation est-elle la masse du combustible ?

Pour une réaction réelle, non — c’est la masse qui disparaît, soit la masse du combustible moins la masse de tout ce qui reste. Dans la fission, cette différence vaut environ 0,1 % du combustible, et c’est cette fraction qui devient de l’énergie. Cette page considère que la masse saisie est convertie entièrement, ce qui est le plafond et non ce qu’un réacteur atteint ; si vous voulez l’énergie d’un combustible réel, prenez le défaut de masse plutôt que la masse du combustible.

Pourquoi la ligne des térajoules affiche-t-elle 0,000 pour de très petites masses ?

Parce que le térajoule est une unité très grande et que la ligne est affichée avec trois décimales. En dessous d’environ 5,5 microgrammes, la réponse est inférieure à 0,0005 TJ et s’arrondit à zéro. L’énergie n’a pas disparu : lisez la ligne des joules, où un microgramme reste bien visible à 89,9 millions de joules, à peu près l’énergie contenue dans deux litres et demi d’essence.

Calculatrice E = mc²

Résultat

89,876 TJ

Énergie libérée

Énergie (J): 89 875 517 873 682 J
Énergie (kWh): 24 965 421,6 kWh
Énergie (kt TNT): 21,481 kt TNT

Cette page calcule l’équivalence masse-énergie en une ligne — l’énergie que libère une masse de matière lorsqu’elle est convertie entièrement. La formule est E = m × c², où c est la vitesse de la lumière dans le vide, 299 792 458 m/s, et elle est élevée au carré : c’est de là que viennent les nombres astronomiques. Les valeurs par défaut décrivent un gramme de matière : 89,876 térajoules, soit 89 875 517 873 682 joules, 24 965 421,6 kilowattheures ou 21,481 kilotonnes de TNT. Ce dernier chiffre mérite d’être retenu — la bombe de Hiroshima était d’environ 15 kilotonnes, donc un seul gramme fait davantage. La ligne des joules est délibérément laissée à quatorze chiffres plutôt que cachée en notation scientifique, parce que la taille de la réponse est précisément ce qui a rendu l’équation célèbre. Le tableau de référence parcourt la même formule d’un milligramme à un kilogramme, ce qui est la seule relation de cette page : l’énergie est proportionnelle à la masse, et le coefficient de proportionnalité vaut c². Précisons ce que cette page ne prétend pas faire : elle calcule une conversion complète, ce qu’aucun procédé chimique ni nucléaire ne réalise, et les limites données plus bas disent de combien chacun reste en dessous.

Énergie libérée selon la masse, du milligramme au kilogramme

Masse (g)	Énergie (TJ)	Énergie (kt TNT)
0.001	0.09	0.021
1	89.876	21.481
1000	89875.518	21480.764

Trois masses séparées d’un facteur mille et trois jeux de réponses séparés d’un facteur mille — c’est tout le contenu de E = mc² : l’énergie est proportionnelle à la masse, avec c² pour constante. Un milligramme est un grain de poussière et donne 0,09 TJ, soit environ 25 mégawattheures, la production journalière d’une petite centrale. Un gramme donne 89,876 TJ, soit 21,481 kilotonnes, davantage que la bombe larguée sur Hiroshima. Un kilogramme donne 89 875,518 TJ, soit 21 480,764 kilotonnes. Lisez les trois lignes comme une règle graduée plutôt que comme trois faits séparés : multipliez la masse par mille et chaque colonne est multipliée par mille, et la régularité ne se brise jamais. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (89.876 plutôt que 89,876), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte, et les milliers ne sont pas groupés (1000 plutôt que 1 000).

Formule

E = m × c² c = 299 792 458 m/s (valeur exacte, par définition) 1 kilowattheure = 3,6 × 10⁶ J 1 kilotonne de TNT = 4,184 × 10¹² J

m: Masse en grammes — le champ accepte aussi les kilogrammes, les tonnes et les livres, et le gramme est l’unité de départ parce qu’un gramme est le cas que tout le monde pose
c: Vitesse de la lumière dans le vide, exactement 299 792 458 m/s. Depuis 1983, c’est une valeur définie et non une mesure : le mètre est défini comme la distance parcourue par la lumière pendant 1/299 792 458 de seconde, donc c ne porte aucune incertitude, et rien de ce qui en découle non plus
E: Énergie libérée, exprimée en térajoules, en joules, en kilowattheures et en kilotonnes de TNT. Les joules sont la réponse brute ; les trois autres unités décrivent la même grandeur dans des unités que l’on peut se figurer — une facture d’électricité, une centrale, un reportage

Prenez cette page pour vous faire une idée de l’échelle de l’énergie de masse : ce que donnerait un gramme s’il était annihilé, quelle fraction de cela un réacteur nucléaire ou une réaction chimique extrait réellement, pourquoi le défaut de masse dans la fission est petit sans être négligeable, ou combien de combustible une demande d’énergie donnée implique vraiment. C’est aussi la page qui tranche les discussions — l’équation est citée en permanence, presque toujours avec les mauvaises unités ou avec l’impression qu’un kilogramme de n’importe quoi libère 9 × 10¹⁶ joules dans une centrale. Cette page donne le plafond théorique ; la question intéressante en pratique est toujours la fraction de ce plafond qu’un procédé réel atteint, et la réponse va d’un dix-milliardième pour la combustion de l’essence à environ un millième pour la fission. Deux habitudes rendent le résultat exploitable. D’abord, lisez la ligne des kilotonnes quand vous pensez à une explosion et celle des kilowattheures quand vous pensez à l’électricité, parce que les joules sont trop grands pour être ressentis. Ensuite, rappelez-vous que la masse dont il est question est la masse qui disparaît : pour une réaction réelle, c’est la différence entre la masse du combustible et la masse de tout ce qui reste, et non la masse du combustible.

Exemples détaillés

Un gramme de matière
1. Masse : 1 g = 0,001 kg (le calcul se fait en unités SI)
2. Énergie : 0,001 × 299 792 458² = 8,9875517873681776 × 10¹³ J
3. Dans l’unité principale : 89 875 517 873 682 J = 89,876 TJ
4. En électricité : 24 965 421,6 kWh, soit 25 gigawattheures
5. En TNT : 21,481 kilotonnes
C’est le nombre pour lequel l’équation est citée, et c’est la ligne du TNT qui le fait comprendre : 21,5 kilotonnes face aux 15 kilotonnes de la bombe de Hiroshima, donc un gramme de matière fait une explosion plus grosse que celle qui a frappé une ville pour la première fois. La ligne de l’électricité dit la même chose dans une autre monnaie — 25 gigawattheures, à peu près ce qu’une grande centrale produit en un jour, à partir d’un gramme. Lisez aussi les joules : 89 875 517 873 682 compte quatorze chiffres, et la page les affiche tous volontairement, parce qu’écrire 9,0 × 10¹³ masquerait discrètement ce qui a rendu l’équation célèbre.
Un kilogramme, le chiffre généralement cité
1. La seule chose qui a changé est la masse : 1 000 g au lieu de 1 g, un facteur mille
2. Énergie : 89 875 517 873 682 × 1 000 = 8,987551787368176 × 10¹⁶ J
3. Dans l’unité principale : 89 875,518 TJ
4. En électricité : 24 965 421 631,6 kWh, soit 25 térawattheures
5. En TNT : 21 480,764 kilotonnes, c’est-à-dire 21,5 mégatonnes
21,5 mégatonnes est le chiffre qui apparaît dans tous les manuels et dans tous les mauvais raisonnements sur l’arme nucléaire, et il vaut la peine d’être précis sur ce qu’il signifie. Ce n’est pas ce que fait un kilogramme d’uranium dans un réacteur — cela libère environ 8 × 10¹³ J, soit un millième de ceci — et ce n’est certainement pas ce que fait un kilogramme d’essence, qui donne environ 4,6 × 10⁷ J, deux milliards de fois moins. C’est ce que l’on obtiendrait si le kilogramme entier était converti, ce qui n’arrive en pratique que lorsque la matière rencontre l’antimatière. Comparez cette ligne avec la précédente et vous tenez toute l’équation : la masse a été multipliée par mille et toutes les énergies par mille, parce que c² n’est qu’une constante.
Une livre, pour les lecteurs en unités impériales
1. 1 lb = 453,59237 g (le champ attend des grammes, et la livre est définie exactement à partir du kilogramme)
2. Énergie : 0,45359237 × 299 792 458² = 4,076684915730068 × 10¹⁶ J
3. Dans l’unité principale : 40 766,849 TJ
4. En électricité : 11 324 124 765,9 kWh, soit 11,3 térawattheures
5. En TNT : 9 743,511 kilotonnes, c’est-à-dire 9,7 mégatonnes
Une livre de n’importe quoi, convertie entièrement, donne un peu moins de dix mégatonnes — un peu moins de la moitié de la ligne du kilogramme, ce à quoi on s’attend puisque la livre vaut un peu moins d’un demi-kilogramme. Cet exemple figure ici parce que la livre est définie exactement à partir du kilogramme, donc la conversion est exacte et non arrondie, et parce que c’est le moyen le plus rapide de vérifier un chiffre que quelqu’un a cité en unités impériales. Rien ici ne dépend de la substance dont la livre est faite : l’équation ne contient aucune chimie.

Limites

Cette page calcule une conversion complète de la masse en énergie, et rien de l’expérience courante ne fait cela. Brûler de l’essence convertit environ une partie sur dix milliards de la masse du carburant ; la fission nucléaire en convertit à peu près une partie sur mille ; la fusion au cœur du Soleil en convertit environ sept parties sur mille. Tous ces procédés sont réels et tous restent loin du nombre affiché ici, qui est un plafond et non une prévision. L’équivalence en TNT utilise une valeur définie, 4,184 × 10⁹ joules par tonne, adoptée en 1948 lorsque la calorie thermochimique a été fixée — mais les explosifs réels libèrent un peu moins que cela par tonne, parce que la matière ne réagit pas entièrement et que le souffle travaille sur l’air plutôt que sur la cible. La ligne des kilowattheures est une conversion d’unités et rien de plus ; elle ne signifie pas qu’une centrale sait extraire cela d’un gramme, seulement que tel nombre de joules égale tel nombre de kilowattheures. Il existe une limite d’affichage qu’il faut connaître : en dessous d’environ 5,5 microgrammes, la ligne des térajoules s’arrondit à 0,000, donc pour de très petites masses lisez plutôt les joules — l’énergie est toujours là, elle est simplement passée sous la troisième décimale d’une unité choisie pour des grammes et des kilogrammes. Rien ici n’est relativiste au sens où le résultat dépendrait du référentiel : c² est une constante et l’équation tient dans tous les référentiels, mais l’énergie cinétique d’un objet en mouvement n’est pas cette formule, et aux vitesses proches de c l’énergie totale d’un corps dépasse mc² du facteur de Lorentz. Les unités employées sont celles du Système international telles que le BIPM et le NIST les définissent, la vitesse de la lumière valant exactement 299 792 458 m/s.

Questions fréquentes

Que calcule exactement E = mc² ?: L’énergie équivalente à une masse : on multiplie la masse en kilogrammes par le carré de la vitesse de la lumière, 299 792 458 m/s. Un gramme donne 0,001 × 299 792 458² = 8,99 × 10¹³ joules, soit 89,9 térajoules ou 21,5 kilotonnes de TNT. C’est l’énergie totale enfermée dans la masse, et non celle qu’un procédé particulier en libérera — voir plus bas la fraction que les réactions réelles en extraient.
Pourquoi la vitesse de la lumière est-elle élevée au carré ?: Parce que c’est ce que donne la démonstration, et la raison pour laquelle le résultat est si grand est que c est déjà grand et que le carré l’agrandit encore : 299 792 458² vaut environ 9 × 10¹⁶. Dans l’article de 1905, l’équation apparaît sous la forme m = E/c², qui se lit plus naturellement — l’inertie d’un corps est son énergie divisée par c², et comme c² est énorme, une petite masse correspond à une énergie immense.
Quelle part de cette énergie un réacteur nucléaire obtient-il réellement ?: Environ un millième. La fission convertit à peu près 0,1 % de la masse du combustible en énergie, donc un kilogramme d’uranium libère près de 8 × 10¹³ joules au lieu des 9 × 10¹⁶ affichés par cette page — ce qui reste des millions de fois plus que brûler la même masse de charbon. La fusion fait mieux, autour de 0,7 %, ce qui explique que le carburant du Soleil dure si longtemps. Les réactions chimiques sont loin derrière les deux : brûler de l’essence convertit environ une partie sur dix milliards de sa masse.
Pourquoi des kilotonnes de TNT plutôt que des joules ?: Parce que personne n’a d’intuition pour 9 × 10¹³ joules. Une kilotonne de TNT est définie comme 4,184 × 10¹² joules, donc la conversion est exacte, et il se trouve que c’est l’unité que les médias emploient pour les explosions : un gramme de matière donne 21,5 kilotonnes, contre environ 15 kilotonnes pour la bombe de Hiroshima. La ligne des joules reste affichée, en entier, parce que la taille de ce nombre est justement ce que l’équation a de remarquable.
La masse de l’équation est-elle la masse du combustible ?: Pour une réaction réelle, non — c’est la masse qui disparaît, soit la masse du combustible moins la masse de tout ce qui reste. Dans la fission, cette différence vaut environ 0,1 % du combustible, et c’est cette fraction qui devient de l’énergie. Cette page considère que la masse saisie est convertie entièrement, ce qui est le plafond et non ce qu’un réacteur atteint ; si vous voulez l’énergie d’un combustible réel, prenez le défaut de masse plutôt que la masse du combustible.
Pourquoi la ligne des térajoules affiche-t-elle 0,000 pour de très petites masses ?: Parce que le térajoule est une unité très grande et que la ligne est affichée avec trois décimales. En dessous d’environ 5,5 microgrammes, la réponse est inférieure à 0,0005 TJ et s’arrondit à zéro. L’énergie n’a pas disparu : lisez la ligne des joules, où un microgramme reste bien visible à 89,9 millions de joules, à peu près l’énergie contenue dans deux litres et demi d’essence.

Références

Mass–energy equivalence — the derivation, the mass defect in fission and fusion, and the fractions of rest mass that real processes actually convert — Wikipedia
TNT equivalent — the 4.184 × 10⁹ J per tonne convention, its origin in the thermochemical calorie, and why real explosives fall short of it — Wikipedia
NIST Guide to the SI — the metre as defined by the speed of light, and the exact kilogram, pound and joule factors used above — National Institute of Standards and Technology

Calculatrices liées

Calculatrice d’énergie cinétiqueÉnergie cinétique à partir de la masse et de la vitesse.Calculatrice d’énergie potentielleÉnergie potentielle de pesanteur selon masse et hauteur.Calculatrice de dilatation du tempsDilatation du temps selon la vitesse, facteur de Lorentz.Calculatrice de joules en wattsConvertit des joules en watts pour un intervalle de temps.