Calculatrice d’arrondi

1 234,5678 arrondi à l’unité ⇒ 1 235 par la règle du demi vers le haut, 1 234 tronqué ; 2,5 ⇒ 3 ou 2 ; 1 567 à 2 chiffres significatifs ⇒ 1 600

1234,5678

La valeur à arrondir, un nombre quelconque de -1 000 000 000 à 1 000 000 000, décimales comprises. C’est aussi le nombre sur lequel la table de référence plus bas est construite, si bien que ses sept lignes sont les sept positions de la valeur déjà affichée à l’écran

p0, pm2, s2

La position visée, choisie parmi treize options dans une seule liste. Les options p nomment une décimale : p3 est le millier le plus proche, p0 l’unité la plus proche, pm2 le centième le plus proche. Les options s nomment un nombre de chiffres significatifs, de s1 à s6, comptés à partir du premier chiffre non nul

demi vers le haut

La règle du cas mitoyen : une valeur exactement entre deux candidates part à l’écart de zéro, donc 2,5 devient 3 et -2,5 devient -3. C’est la convention enseignée à l’école. C’est aussi celle qui a l’air d’un bug quand on additionne une longue série de valeurs en ,5, puisque chacune d’elles est poussée dans la même direction

tronqué

La seconde sortie, et l’autre moitié de la question du demi : la même valeur à la même position, les chiffres excédentaires étant écartés plutôt qu’arrondis, ce qui rapproche toujours de zéro. 2,5 se tronque en 2 et -2,5 en -2. C’est en l’imprimant à côté de la valeur arrondie que la convention devient visible, puisque sur la plupart des entrées les deux sorties sont identiques

1567 → 1600

Les chiffres significatifs à l’œuvre. Le décompte part du premier chiffre non nul, donc 1 567 à deux chiffres significatifs garde le 1 et le 5 et arrondit le reste, ce qui donne 1 600. Les zéros finaux restent : la réponse affirme deux chiffres significatifs, et écrire 1 600 sous cette forme est le seul moyen pour un lecteur de voir cette affirmation

1,005 → 1,01

Pourquoi l’arithmétique se fait sur les chiffres décimaux plutôt qu’en multipliant et divisant en virgule flottante. 1,005 est stocké comme une valeur légèrement inférieure à 1,005, donc le chemin habituel en double précision l’arrondit à 1,00 ; travailler sur les chiffres donne la réponse qu’une personne attend, 1,01. L’exemple plus bas fixe ce cas

Rapporter une mesure est le cas classique, et c’est de là que viennent les chiffres significatifs : une longueur lue sur une règle au millimètre près ne doit pas être rapportée avec six décimales, parce que les décimales supplémentaires revendiquent une précision que l’instrument n’a jamais eue. Les chiffres significatifs sont la notation qui garde cette revendication honnête, et c’est pourquoi arrondir une mesure n’est pas la même chose qu’arrondir un nombre dans un casse-tête. L’argent est la version quotidienne de la décimale — les prix s’arrondissent au centième, et la règle du demi y est une vraie question de politique puisqu’elle décide de quel côté part une fraction de centime, et que sur beaucoup de transactions une règle qui pousse toujours dans le même sens produit une dérive visible. Les statistiques et les publications arrondissent pour la lisibilité : les pourcentages à une décimale, les populations au millier le plus proche, les moyennes à la même précision que leurs entrées. La troncature a ses propres usages, et c’est pour cela qu’elle est imprimée ici au lieu d’être omise : prendre un plancher ou un plafond vers zéro est ce que font par défaut beaucoup de langages de programmation, et c’est ce qui apparaît quand une valeur est rangée dans un format à précision fixe. Dans tous ces cadres, la règle à garder en tête est qu’arrondir deux fois n’est pas la même chose qu’arrondir une fois, et qu’un nombre arrondi est une affirmation sur la précision plutôt qu’une simple façon plus courte d’écrire l’original. L’arithmétique sur des valeurs arrondies compose la différence, et c’est pourquoi la version « chiffres significatifs » de ce problème est un outil distinct de celui-ci.

1. 1 234,5678 arrondi à l’unité

   1. Les candidates de part et d’autre de 1 234,5678 sont 1 234 et 1 235
   2. Le chiffre qui décide est la première décimale, 5
   3. Le demi vers le haut traite 5 comme une raison de s’écarter de zéro, donc la valeur monte à 1 235
   4. Le ,5678 qui suit ne change rien — c’est le chiffre de la position d’arrondi qui décide, et tout ce qui vient après ne fait que départager les égalités
   5. La troncature écarte au contraire la partie décimale, ce qui donne 1 234

   La valeur par défaut, et l’échantillon sur lequel la table de référence plus bas est construite. Le 5 de la première décimale fait tout le travail : le 6, le 7 et le 8 qui le suivent sont sans importance, et une valeur de 1 234,5001 s’arrondirait exactement de la même façon. Les deux sorties diffèrent ici, ce qui est le cas commode — sur la plupart des entrées, le demi vers le haut et la troncature s’accordent, et c’est le couple de nombres qui vous dit si la règle du demi est entrée en jeu.

2. Le cas mitoyen : 2,5 arrondi à l’unité

   1. 2,5 se situe exactement à mi-chemin entre 2 et 3
   2. Le demi vers le haut s’écarte de zéro, donc la valeur arrondie est 3
   3. La troncature se rapproche de zéro, donc la valeur tronquée est 2
   4. Aucune des deux n’est une erreur ; ce sont deux conventions pour une même entrée

   Le plus petit cas qui montre le désaccord, et celui qui mérite d’être retenu. Le demi vers le haut n’est pas la seule convention en usage : l’arrondi du demi vers le pair emmènerait 2,5 vers le voisin pair, 2, ce qui compte sur de longues listes de mesures parce qu’arrondir systématiquement les moitiés vers le haut introduit un léger biais ascendant. Cette page utilise le demi vers le haut — la convention scolaire — et le dit plutôt que de laisser le lecteur le découvrir.

3. Une valeur mitoyenne négative : -2,5 arrondi à l’unité

   1. −2,5 se situe à mi-chemin entre −3 et −2
   2. Le demi vers le haut s’écarte de zéro, et s’écarter de zéro du côté négatif veut dire descendre, donc la réponse est −3
   3. La troncature se rapproche de zéro, ce qui donne −2
   4. Le signe est traité par la distance à zéro, et non par la direction le long de la droite numérique

   Le cas qui sépare le demi vers le haut de « toujours arrondir vers le haut ». Les deux valeurs bougent ici par la même règle — à l’écart de zéro — mais sur la droite numérique elles vont dans des directions opposées, parce que zéro est au milieu. Tout code ou toute règle décrite comme « arrondit vers le haut » sans autre précision est ambiguë exactement pour cette raison, et les lignes négatives de la table de référence montrent le même effet à d’autres positions.

4. 1,005 à deux décimales

   1. Les candidates sont 1,00 et 1,01
   2. Le chiffre qui décide est la troisième décimale, 5, qui est exactement le cas mitoyen
   3. Le demi vers le haut s’écarte de zéro, donc la valeur s’arrondit à 1,01
   4. Tronquer écarte le 5 et garde 1,00, le zéro final étant conservé pour que la précision reste visible

   L’exemple qui justifie l’implémentation. Le chemin évident — multiplier par 100, arrondir, diviser par 100 — donne 1,00, parce que 1,005 ne se stocke pas exactement et que la valeur effectivement stockée est un cheveu en dessous de 1,005. La réponse qu’une personne attend est 1,01, et c’est ce que produit le travail sur les chiffres décimaux. La même chose se produit sur beaucoup de valeurs du quotidien, si bien qu’un résultat décalé de un au dernier rang vient d’ordinaire de là plutôt que d’une erreur dans la règle.

5. 1 567 à deux chiffres significatifs

   1. Le premier chiffre significatif est le 1, à la position des milliers ; le deuxième est le 5
   2. Deux chiffres significatifs veut dire garder ces deux chiffres et arrondir à la position des centaines
   3. Le chiffre qui les suit est 6, ce qui fait monter le 5, donc la valeur devient 1 600
   4. Les zéros finaux restent, parce que ce sont eux qui enregistrent que deux chiffres significatifs ont été gardés
   5. Tronquer à la même position donne 1 500

   La même réponse qu’un arrondi à la centaine, atteinte par l’autre bout. Notez ce que la sortie ne peut pas vous dire : 1 600 écrit comme un nombre ordinaire est indistinguable de 1 600 arrondi à l’unité, ou d’une mesure qui valait exactement 1 600. Conserver les zéros est le maximum que cette notation puisse faire, et propager des chiffres significatifs à travers un calcul — où le décompte doit survivre à la multiplication et à la division — est un problème distinct de l’arrondi d’une seule valeur.

La valeur doit être comprise entre -1 000 000 000 et 1 000 000 000, décimales comprises, et la position se choisit parmi treize options plutôt que de se saisir, si bien qu’il n’y a aucun moyen de demander une position hors de cette liste. L’arrondi se fait sur les chiffres décimaux de la valeur telle qu’elle est écrite, et non par mise à l’échelle en virgule flottante, donc les résultats correspondent à ce que disent les chiffres — 1,005 à deux décimales vaut 1,01 ici, là où le chemin habituel de multiplication et division donnerait 1,00. Le même choix a une conséquence visible : les résultats sont toujours imprimés avec un point décimal et jamais avec un séparateur de milliers, si bien qu’un lecteur qui a tapé une virgule comme marque décimale voit un point dans la réponse. C’est délibéré et cela s’accorde avec les autres pages qui impriment des résultats textuels. Les zéros finaux sont conservés, parce qu’ils enregistrent la précision que la réponse revendique, ce qui veut dire que 1 234,6 et 1 234,60 sont deux sorties différentes de deux positions différentes et ne s’écrivent pas de la même façon. Les valeurs négatives sont arrondies par distance à zéro, donc une valeur mitoyenne négative descend le long de la droite numérique plutôt que de monter. La table de référence plus bas est figée sur 1 234,5678 et ne suit pas votre saisie ; elle montre les sept premières options appliquées à ce seul nombre, et les six options en chiffres significatifs sont décrites dans sa note plutôt que de recevoir des lignes à elles. Il n’y a ici aucun arrondi de total courant, et rien ne s’accumule : cette page arrondit une valeur par calcul.

Que veut dire « demi vers le haut » ?

Qu’une valeur située exactement à mi-chemin entre deux candidates s’écarte de zéro : 2,5 devient 3 et -2,5 devient -3. C’est la convention qu’enseigne l’école et celle qu’utilise cette page. Ce n’est pas la seule en usage — l’arrondi du demi vers le pair envoie une moitié vers le voisin pair, ce qui évite le léger biais ascendant qu’introduit un arrondi systématique des moitiés vers le haut sur de longues listes de valeurs.

Quelle est la différence entre décimales et chiffres significatifs ?

Les décimales se comptent depuis la virgule ; les chiffres significatifs se comptent depuis le premier chiffre non nul. 1 567 à deux chiffres significatifs donne 1 600, soit la même chose qu’un arrondi à la centaine, tandis que 1 567 à deux décimales donne 1 567,00. Les chiffres significatifs sont la notation employée pour les mesures, parce que le décompte ne change pas quand la même grandeur est écrite dans une autre unité.

Pourquoi 1,005 s’arrondit-il à 1,01 et non à 1,00 ?

Parce que la valeur est sur le point de partage et que la page écarte les moitiés de zéro, en travaillant sur les chiffres décimaux plutôt que par mise à l’échelle en virgule flottante. Le chemin courant qui multiplie par 100, arrondit puis divise par 100 donne 1,00, puisque 1,005 est stocké comme une valeur légèrement inférieure à 1,005. La réponse obtenue sur les chiffres est 1,01, ce que dit la règle et ce que produirait une personne qui écrit le nombre à la main.

Qu’est-ce que la troncature, et pourquoi l’afficher ?

La troncature écarte les chiffres excédentaires au lieu de les arrondir, ce qui rapproche toujours la valeur de zéro : 2,5 devient 2 et -2,5 devient -2. Elle est imprimée à côté de la valeur arrondie, à la même position, parce que le couple est la façon la plus claire de voir si la règle du demi est entrée en jeu — sur les entrées éloignées d’un point de partage les deux sorties s’accordent, et là où elles diffèrent, c’est la convention qui a fait la différence.

Les zéros finaux sont-ils significatifs ?

Oui, et ils sont conservés exprès. 1 234,6 à une décimale et 1 234,57 à deux décimales sont deux affirmations différentes sur la précision avec laquelle la valeur est connue, et supprimer le zéro final effacerait la différence. Il en va de même pour un entier arrondi à des chiffres significatifs : 1 600 garde ses zéros parce que ce sont eux qui enregistrent que deux chiffres significatifs ont été gardés.

Cette page propage-t-elle les chiffres significatifs à travers un calcul ?

Non. Elle arrondit une valeur à la fois et ne transporte pas une précision à travers une chaîne d’opérations, où le résultat est limité par l’entrée la moins précise et où les valeurs intermédiaires doivent rester non arrondies jusqu’à la fin. C’est un problème distinct de l’arrondi d’un seul nombre, parce qu’il exige que le décompte des chiffres significatifs survive à la multiplication et à la division, ce qu’une valeur simplement arrondie ne peut pas représenter.

• Rounding — the definition, the halfway rules including round-half-up and round-half-to-even, and how the choice affects accumulated results — Wolfram MathWorld (United States)
• Significant digits — how the count starts at the first non-zero digit, and why trailing zeros record precision rather than value — Wolfram MathWorld (United States)
• Nearest integer function — the special case of rounding to the nearest whole number, and the tie-breaking conventions defined for it — Wolfram MathWorld (United States)
• Arrondi (mathématiques) — les différentes règles d’arrondi, le traitement du cas mitoyen et ce que les zéros finaux conservent de la précision — Wikipédia en français