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CalcMax

Calculatrice de division posée

Intervalle : 0 – 1 000 000 000

Intervalle : 1 – 1 000 000 000

Résultat

102

Quotient

Reste
10
Étape par étape
1 / 12 = 0 r 1; 12 / 12 = 1 r 0; 3 / 12 = 0 r 3; 34 / 12 = 2 r 10
Vérification
12 * 102 + 10 = 1234

La division posée est la méthode écrite pour diviser un nombre entier par un autre quand le résultat ne tombe pas juste, et cette page en imprime chaque étape. Pour 1 234 ÷ 12, le calcul tient en quatre lignes. On divise 1 par 12 : c’est trop petit, donc le chiffre du quotient est 0 et le reste vaut 1. On abaisse le chiffre suivant pour former 12, on divise par 12 : le chiffre est 1 et le reste vaut 0. On abaisse le 3 pour former 3, on divise par 12 : le chiffre est 0 et le reste vaut 3. On abaisse le 4 pour former 34, on divise par 12 : le chiffre est 2 et le reste vaut 10. Les chiffres du quotient, dans l’ordre, sont 1, 0, 2 — donc 1 234 ÷ 12 donne 102 avec un reste de 10, et c’est ce dernier reste qui subsiste. Chaque ligne de l’algorithme a la même forme : on prend la valeur construite jusqu’ici, on cherche combien de fois entières le diviseur y tient, on note ce nombre comme un chiffre de la réponse, et on garde ce qui dépasse pour le combiner avec le chiffre suivant. C’est pourquoi le quotient finit toujours avec autant de chiffres que le dividende, et pourquoi un zéro peut être un chiffre parfaitement valable de la réponse — le 0 au milieu de 102 fait un vrai travail. Le reste est ici toujours celui qui n’est pas négatif, la convention où 0 est la plus petite valeur qu’il puisse prendre. Pour les nombres négatifs, les deux conventions donnent des réponses différentes, et ce cas appartient à la page du reste. La dernière sortie est la vérification : diviseur fois quotient plus reste égale dividende, ce qui n’est pas un calcul séparé mais la définition de ce que quotient et reste veulent dire. 12 × 102 + 10 fait 1 234, donc les trois nombres sont cohérents entre eux. Deux cas particuliers se présentent. Un dividende plus petit que le diviseur donne un quotient de 0 et un reste égal au dividende, puisque le diviseur n’y tient même pas une fois. Et un diviseur de 1 donne un quotient égal au dividende avec un reste de 0, une ligne par chiffre. Les chiffres du quotient sont aussi l’origine des développements décimaux : quand le calcul se met à se répéter, comme pour 1 ÷ 7, les décimales se répètent avec lui.

5 432 ÷ 17 écrit en toutes lettres, une colonne par partie d’une étape

ÉtapeValeurDiviseurChiffreReste
151705
2541733
33317116
41621799

Lisez une ligne d’un bout à l’autre et vous avez une ligne du calcul : la valeur que l’on divise, le diviseur auquel on la compare, le chiffre de quotient produit, et ce qui reste. La première ligne est 5 face à 17, ce qui fait 0 fois avec 5 de reste, donc le chiffre est 0. La ligne suivante abaisse le 4 pour former 54, et 54 ÷ 17 fait 3 avec 3 de reste. Le motif à remarquer est dans la colonne des valeurs : chaque entrée est le reste précédent auquel on a collé un chiffre de plus du dividende, ce qui est exactement ce que veut dire abaisser un chiffre, et c’est la seule chose qui se transmette d’une ligne à l’autre. La colonne des chiffres se rassemble en réponse, 0 3 1 9, soit 319, et la dernière entrée de la colonne des restes, 9, est le reste de la division entière. Faites la vérification dessus : 17 × 319 + 9 = 5 432. Remarquez que le 0 de tête de la colonne des chiffres est abandonné dans la réponse, alors qu’un 0 au milieu ne le serait pas — un chiffre nul veut dire que le diviseur n’est pas entré dans la valeur de cette étape, ce qui est une information, tandis qu’un zéro de tête ne s’écrit simplement pas. La table est figée sur 5 432 ÷ 17 et ne suit pas ce que vous avez tapé ; le panneau ci-dessus produit les mêmes quatre colonnes pour vos nombres, une ligne par chiffre.

Formule

1 234 ÷ 12 → 1/12 = 0 r 1 ; 12/12 = 1 r 0 ; 3/12 = 0 r 3 ; 34/12 = 2 r 10 ⇒ quotient 102, reste 10, et 12 × 102 + 10 = 1 234

1234
Le dividende, le nombre que l’on divise, un entier de 0 à 1 000 000 000. Zéro est accepté et donne un quotient et un reste de 0. Les nombres négatifs et les décimaux sont refusés, parce que l’algorithme écrit plus bas suppose des chiffres et que cette page n’énonce aucune convention de signe
12
Le diviseur, le nombre qui divise, un entier de 1 à 1 000 000 000. Il ne peut pas valoir 0 : on ne partage rien en zéro parts, et aucun quotient ne satisferait la vérification. Il peut être plus grand que le dividende, auquel cas le quotient vaut 0 et le reste est le dividende lui-même
1, 2, 3, 4
Les chiffres du dividende, pris un à un en partant de la gauche. Chaque étape ajoute le suivant au reste de l’étape précédente, ce qui est exactement ce que veut dire abaisser un chiffre. Le nombre d’étapes est égal au nombre de chiffres du dividende, donc 1 234 demande quatre étapes et 1 000 000 000 en demande dix
0, 1, 0, 2
Le chiffre de quotient produit à chaque étape : combien de fois entières le diviseur tient dans la valeur de cette étape. Une étape dont la valeur est plus petite que le diviseur fournit le chiffre 0, et ces zéros font partie de la réponse — 102 en contient un au milieu, et l’enlever donnerait 12
1, 0, 3, 10
Le reste laissé à chaque étape, toujours celui qui n’est pas négatif. Le dernier est le reste de la division entière ; les précédents sont intermédiaires et disparaissent dès que le chiffre suivant est abaissé. Rien ici n’est jamais négatif, et c’est pourquoi les dividendes négatifs relèvent de la page des conventions de reste
dividende = diviseur × quotient + reste
La sortie de vérification, et la définition de toute l’opération plutôt qu’un résultat supplémentaire : pour 1 234 ÷ 12 elle s’écrit 12 × 102 + 10 = 1 234. Si cette ligne est vraie, le quotient et le reste sont corrects par définition ; si elle est fausse, plus rien sur la page n’est digne de confiance

C’est la méthode écrite elle-même, donc ceux qui en ont besoin sont en train de l’apprendre. La suite d’étapes est le calcul qu’on écrirait sinon sur du papier, et il vaut la peine de la comparer ligne par ligne avec le vôtre quand une réponse ne concorde pas : l’endroit où les deux divergent est la faute, ce qui est plus utile que de se faire donner le bon nombre. La ligne de vérification est l’autre moitié de cela — diviseur fois quotient plus reste égale dividende —, et un lecteur qui a le quotient et le reste peut les confirmer sans refaire la division posée du tout. Au-delà des devoirs, la même décomposition est la façon dont on traite la division chaque fois que des entiers ne se laissent pas partager : 1 234 objets par groupes de 12 donnent 102 groupes complets avec 10 qui restent, et le reste est la part qui ne peut pas être distribuée. Un reste de 0 veut dire que la division tombe juste. L’algorithme est aussi l’origine des développements décimaux : poursuivre le calcul au-delà de la virgule en ajoutant des zéros produit les décimales du quotient, et quand un reste se répète, la décimale se répète aussi — 1 ÷ 7 parcourt indéfiniment les mêmes six restes, ce qui explique que 1/7 ait un motif répétitif de six chiffres. Les langages de programmation ont deux façons courantes de traiter un dividende négatif, la troncature et l’arrondi vers le bas, et elles ne sont pas d’accord ; le reste non négatif imprimé ici est celui de l’arrondi vers le bas, et la page du reste montre les deux côte à côte. Tout cela s’apprend étape par étape, ce qui est justement la raison d’être de cette page.

Exemples détaillés

  1. 1 234 ÷ 12, la saisie par défaut

    1. On abaisse le 1 : 1 ÷ 12 donne 0 fois, donc le premier chiffre du quotient est 0 et il reste 1
    2. On abaisse le 2 : la valeur vaut 12, et 12 ÷ 12 donne 1 fois sans rien laisser
    3. On abaisse le 3 : la valeur vaut 3, et 3 ÷ 12 donne 0 fois, en laissant 3
    4. On abaisse le 4 : la valeur vaut 34, et 34 ÷ 12 donne 2 fois avec 10 de reste
    5. Les chiffres du quotient, dans l’ordre, sont 0, 1, 0, 2 — écrit sans le zéro de tête, cela fait 102
    6. Le reste final est 10, et la vérification le confirme : 12 × 102 + 10 = 1 234

    La saisie par défaut, et celle qui montre pourquoi les zéros du quotient comptent. La troisième étape fournit un 0 parce que 3 est plus petit que 12, et ce chiffre n’est pas décoratif — la réponse est 102 et non 12. Le 0 de tête de la première étape est abandonné, puisque 102 et 0102 sont le même nombre écrit de deux façons. La ligne de vérification mérite d’être lue comme une phrase : le diviseur fois la réponse, plus ce qui restait, redonne le nombre de départ.

  2. 5 432 ÷ 17, l’exemple de la table de référence

    1. On abaisse le 5 : 5 ÷ 17 donne 0 fois, en laissant 5
    2. On abaisse le 4 : la valeur vaut 54, et 54 ÷ 17 donne 3 fois (3 × 17 = 51) en laissant 3
    3. On abaisse le 3 : la valeur vaut 33, et 33 ÷ 17 donne 1 fois (17) en laissant 16
    4. On abaisse le 2 : la valeur vaut 162, et 162 ÷ 17 donne 9 fois (9 × 17 = 153) en laissant 9
    5. Les chiffres du quotient sont 0, 3, 1, 9, soit 319, et le reste vaut 9

    Les quatre lignes que la table plus bas déroule colonne par colonne, et la raison pour laquelle il vaut la peine de lire les deux : chaque étape multiplie le diviseur pour retrouver le plus grand produit qui tient encore — 3 × 17 = 51 face à 54, puis 1 × 17 = 17 face à 33, puis 9 × 17 = 153 face à 162 — et le reste est l’écart. Les écarts valent ici 3, 16 et 9, tous plus petits que le diviseur 17, et c’est l’invariant qui fait de chaque chiffre du quotient le plus grand possible.

  3. Un reste qui se répète : 1 000 000 000 ÷ 7

    1. On abaisse le 1 : 1 ÷ 7 donne 0 fois, en laissant 1
    2. On abaisse ensuite chaque 0 l’un après l’autre, ce qui donne 10, 30, 20, 60, 40, 50, puis de nouveau 10
    3. Les chiffres du quotient sont 1, 4, 2, 8, 5, 7, puis 1, 4, 2, 8 qui se répètent
    4. Après la septième étape, le reste revient à 1, donc tout le cycle recommence
    5. Le quotient vaut 142 857 142 et le reste final vaut 6

    Les restes parcourent ici 1, 3, 2, 6, 4, 5 puis reviennent à 1 — le cycle de 1/7, ce qui explique que les chiffres du quotient se répètent en 142857. Cette répétition n’est pas une bizarrerie de ce dividende : dès qu’un reste se répète, tout ce qui suit se répète aussi, puisque l’étape suivante ne dépend que de la valeur amenée. C’est également la raison pour laquelle une fraction écrite en décimal soit se termine, soit se répète, et pourquoi 1/7 a un bloc répétitif de six chiffres.

  4. Quand le diviseur est plus grand que le dividende : 7 ÷ 999 999 999

    1. Il n’y a qu’un chiffre à abaisser, le 7
    2. 7 ÷ 999 999 999 donne 0 fois, puisque 999 999 999 est très largement plus grand que 7
    3. Le chiffre du quotient est 0 et tout le dividende reste
    4. Le quotient vaut 0 et le reste vaut 7

    Un quotient de 0 est une vraie réponse et non un échec. Quand le diviseur ne tient même pas une fois, rien n’est retiré, donc le reste est le dividende entier et la vérification s’écrit 999 999 999 × 0 + 7 = 7. La liste des étapes ne comporte qu’une ligne parce que le dividende n’a qu’un chiffre — le nombre d’étapes est toujours égal au nombre de chiffres que l’on divise, jamais à la taille du diviseur.

Limites

Les deux nombres doivent être des entiers. Le dividende va de 0 à 1 000 000 000 inclus, et le diviseur de 1 à 1 000 000 000 inclus. Un diviseur de 0 est refusé : aucun nombre multiplié par 0 ne redonne un dividende non nul, donc aucun quotient ni reste ne pourrait satisfaire la vérification. Les nombres négatifs sont refusés plutôt que traités avec une règle de signe, parce que l’algorithme écrit montré ici travaille sur des chiffres et que les deux conventions de division négative ne sont pas d’accord — cette page imprime le reste non négatif, et le cas où cela compte appartient à la page du reste, qui montre les deux conventions côte à côte. Les décimaux sont refusés : l’algorithme peut se prolonger au-delà de la virgule en ajoutant des zéros, mais c’est une autre procédure et cette page ne la fait pas, même si les restes qui se répètent ci-dessus sont justement l’origine de ces décimales. Zéro comme dividende est accepté et donne un quotient de 0 avec un reste de 0. La liste des étapes comporte une ligne par chiffre du dividende, donc un dividende de dix chiffres produit dix lignes et le panneau est long par construction — c’est le calcul, pas un résumé du calcul. La table de référence plus bas est figée sur 5 432 ÷ 17 et ne suit pas votre saisie ; le panneau ci-dessus répond à vos nombres, et la table est là pour montrer ce que signifie chaque colonne d’une étape. Toutes les valeurs sont exactes et rien n’est arrondi.

Questions fréquentes

Comment fait-on une division posée étape par étape ?
On travaille en partant de la gauche du dividende, un chiffre à la fois. On divise la valeur construite jusqu’ici par le diviseur, on écrit combien de fois entières il y tient comme chiffre suivant de la réponse, et on garde le reste. Puis on abaisse le chiffre suivant — on le colle au reste — et on recommence jusqu’à épuisement des chiffres. Pour 1 234 ÷ 12, cela donne les chiffres 0, 1, 0, 2 et un reste final de 10, donc la réponse est 102 avec un reste de 10.
Quelle est la différence entre le quotient et le reste ?
Le quotient est le nombre de fois entières que le diviseur tient dans le dividende, et le reste est ce qui subsiste quand il n’y tient plus. Les deux sont liés par la définition : dividende égale diviseur fois quotient plus reste. Pour 1 234 ÷ 12, le quotient vaut 102 et le reste vaut 10, et 12 × 102 + 10 redonne 1 234. Le reste est toujours plus petit que le diviseur, et c’est ce qui fait du quotient le plus grand entier qui marche.
Pourquoi le reste n’est-il jamais négatif ici ?
Parce que cette page utilise la convention où le reste est celui qui n’est pas négatif — on retire le plus grand multiple du diviseur qui ne dépasse pas le dividende, et ce qui reste est compris entre 0 et le diviseur. Les langages de programmation tronquent souvent à la place, ce qui peut laisser un reste négatif : −1 divisé par 2 donne un reste de −1 par troncature et de 1 avec cette convention. La page du reste montre les deux côte à côte. Les dividendes négatifs sont refusés ici plutôt que traités avec un choix silencieux.
La réponse peut-elle contenir un zéro ?
Oui, et ce zéro fait partie de la réponse. Un chiffre nul apparaît chaque fois que la valeur de l’étape est plus petite que le diviseur, donc 1 234 ÷ 12 produit les chiffres 0, 1, 0, 2 — le zéro du milieu ne peut pas être supprimé, puisque 102 et 12 sont des nombres différents. Seul un zéro de tête est omis, parce que 0102 et 102 sont le même nombre.
Que se passe-t-il quand le dividende est plus petit que le diviseur ?
Le quotient vaut 0 et le reste est le dividende entier. 7 ÷ 999 999 999 donne 0 fois, donc rien n’est retiré et tout le 7 reste ; la vérification s’écrit 999 999 999 × 0 + 7 = 7. La liste des étapes ne comporte qu’une ligne, parce que le nombre d’étapes est toujours égal au nombre de chiffres du dividende et non à quoi que ce soit qui dépende du diviseur.
Pourquoi les restes se mettent-ils à se répéter ?
Parce que chaque étape ne dépend que de la valeur qui y entre, donc dès qu’un reste revient, toute la suite après lui se répète. Diviser 1 000 000 000 par 7 produit les restes 1, 3, 2, 6, 4, 5 puis de nouveau 1, si bien que les chiffres du quotient se répètent en 142857. C’est de là que viennent les décimales répétitives : en poursuivant le même calcul au-delà de la virgule avec des zéros ajoutés, ce cycle devient le bloc répétitif de 1/7.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de resteQuotient et reste, selon la convention de signe choisie.Calculatrice de fraction en décimalConvertit une fraction en décimal, exact ou arrondi.Convertisseur de décimal en binaireConvertit un décimal en binaire, divisions successives.Calculatrice d’arrondiArrondit à un rang donné ou à des chiffres significatifs.