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CalcMax

Calculatrice d’erreur en pourcentage

Résultat

0,6116 %

Erreur en pourcentage (%)

Erreur relative (en décimal)
0,006116
Erreur absolue
0,060000

Une calculatrice d’erreur en pourcentage compare une valeur mesurée à une valeur acceptée et indique de combien la mesure s’en écarte. Trois sorties reviennent de la même paire de nombres : l’erreur absolue, qui est la simple différence dans les unités que vous avez saisies ; l’erreur relative, qui est cette différence divisée par la valeur acceptée et qui est la forme dont l’arithmétique a besoin ; et l’erreur en pourcentage, qui est le même rapport multiplié par cent. Saisissez 9,75 comme valeur mesurée et 9,81 comme valeur acceptée, et le panneau affiche 0,06, 0,006116 et 0,6116 pour cent. La formule de l’erreur en pourcentage, c’est toute la page : la différence entre les deux nombres, sur la valeur acceptée, fois cent. Deux détails séparent une erreur en pourcentage correcte d’une erreur plausible mais fausse. Le premier est le nombre qui va au dénominateur. La valeur acceptée est la référence, c’est donc elle qui divise — la question posée est de savoir quelle est l’ampleur de l’erreur par rapport à la vérité, et non par rapport au relevé. Les intervertir, pour une mesure de 50 face à une valeur acceptée de 100, donne 100 pour cent au lieu de 50, une erreur d’un facteur deux qui arrive sans prévenir parce que les deux nombres paraissent raisonnables. Le second détail est que les trois sorties sont annoncées sans signe. Une erreur est une distance à la référence, donc dépasser de cinq pour cent et rester en dessous de cinq pour cent produisent le même relevé : une valeur mesurée de 1,05 face à une valeur acceptée de 1 et une valeur mesurée de 0,95 face à une valeur acceptée de 1 donnent toutes deux une erreur absolue de 0,05 et une erreur en pourcentage de 5. Le sens dans lequel la mesure est allée se lit dans les nombres que vous avez saisis, et la page le laisse là plutôt que d’inventer une convention de signe dont la moitié de ses lecteurs ne voudrait pas. La page accepte des valeurs négatives des deux côtés, parce que des températures sous zéro, des profondeurs rapportées à un repère et des soldes signés sont tous des mesures réelles, et elle annonce l’erreur entre une valeur mesurée de moins 50 et une valeur acceptée de moins 100 comme 50 pour cent — la même distance relative que 50 face à 100. Ce qu’elle refuse, c’est une valeur acceptée exactement nulle. Ce n’est pas une affaire de goût : diviser par la référence est ce qui transforme une différence en erreur relative, et une référence nulle supprime purement et simplement l’échelle, si bien que la page signale une erreur au lieu de renvoyer l’infini. Une valeur mesurée nulle est acceptable et fréquente — rien de détecté là où quelque chose était attendu, c’est cent pour cent d’erreur — et la défaillance est unilatérale : le dénominateur étant la valeur acceptée, le cas qui casse est celui de la valeur acceptée nulle, pas celui de la mesure nulle.

Une valeur de référence, six mesures et la symétrie d’une erreur sans signe

Valeur mesuréeErreur absolueErreur en pourcentage (%)
1.050.055
1.020.022
1.010.011
0.990.011
0.980.022
0.950.055

La valeur acceptée vaut 1 dans chaque ligne, l’erreur absolue et l’erreur en pourcentage sont donc le même nombre et le tableau se lit comme une série de distances à une référence unique. La paire de lignes à regarder est la deuxième et la cinquième : une mesure de 1,02 et une mesure de 0,98 sont aussi loin l’une que l’autre dans des directions opposées, et toutes deux annoncent une erreur absolue de 0,02 et une erreur en pourcentage de 2. Cette symétrie est ce que veut dire le fait que ces sorties soient sans signe — une page qui conserverait le signe imprimerait ici 2 et -2, et une page qui diviserait par la valeur mesurée au lieu de la référence imprimerait 1,96 et 2,04 pour ces deux mêmes lignes, dont aucune n’est 2. Une référence de 1 a été choisie pour que l’arithmétique soit visible d’un coup d’œil ; la relation qu’elle montre vaut pour toute référence non nulle. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (1.05 plutôt que 1,05), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

Erreur absolue = |mesurée − acceptée| Erreur relative = erreur absolue ÷ |acceptée| Erreur en pourcentage = erreur relative × 100

Valeur mesurée
Le relevé, le résultat de l’expérience, le nombre que vous avez obtenu — ce qui est comparé. Elle peut être négative, et elle peut être nulle, ce qui est le relevé qui dit que rien n’a été détecté là où quelque chose était attendu
Valeur acceptée
La référence à laquelle la mesure est jugée : une constante publiée, un étalon, une valeur vraie, ou une seconde mesure tenue pour la vérité. C’est le dénominateur de la formule de l’erreur en pourcentage, et c’est pourquoi elle ne peut pas être nulle
Erreur absolue
La valeur mesurée moins la valeur acceptée, dans les mêmes unités que les entrées, annoncée sans signe. Elle dit de combien le relevé s’est trompé et rien de son ampleur — 0,06 est peu pour une masse en kilogrammes et énorme pour une masse en tonnes
Erreur relative
L’erreur absolue divisée par la valeur acceptée, qui est la version sans échelle du même fait : 0,06 rapporté à 9,81 vaut 0,006116, soit environ six pour mille, quelles qu’aient été les unités
Erreur en pourcentage
L’erreur relative multipliée par cent, qui est le nombre que réclament la plupart des comptes rendus de laboratoire et la plupart des recherches. C’est la même grandeur que l’erreur relative et non une seconde mesure de quoi que ce soit

Les trois formes répondent à trois questions différentes sur une même comparaison. L’erreur en pourcentage est la vedette et ce que la plupart des gens veulent : un résultat de 4,9 face à une valeur acceptée de 5 est à 2 pour cent près, phrase sur laquelle n’importe qui peut agir. Mettez-la dans un compte rendu, une fiche d’étalonnage, une note de tolérance. L’erreur relative est le même nombre avant la conversion, et c’est la forme qui entre dans les calculs suivants — propagation des erreurs, budgets d’incertitude et toute formule combinant deux mesures multiplient les erreurs relatives plutôt que les pourcentages, si bien que convertir en pourcentage puis revenir est un détour. L’erreur absolue est celle qui porte les unités et celle qu’on oublie : 0,06 à côté d’une cible de 9,81 dit que la mesure a manqué la cible, mais seule l’erreur absolue dit que le manque était de 0,06 gramme et non de 0,06 kilogramme. Trois cas couvrent la plupart des usages. Vérifier une mesure unique contre un étalon, la valeur acceptée étant publiée et la question étant de savoir si le relevé est suffisamment proche. Comparer deux appareils, la même valeur acceptée servant aux deux et la plus petite erreur en pourcentage l’emportant. Et comparer un modèle à la réalité, la valeur acceptée étant une observation et l’erreur disant de combien le modèle a dérivé — le signe de cette dérive est dans les deux entrées même si les sorties ne l’affichent pas, alors lisez les nombres et non le panneau quand le sens compte.

Exemples détaillés

  1. Une mesure de 9,75 face à une valeur acceptée de 9,81

    1. Erreur absolue : |9,75 − 9,81| = 0,06
    2. Erreur relative : 0,06 ÷ 9,81 = 0,006116
    3. Erreur en pourcentage : 0,006116 × 100 = 0,6116

    Le cas par défaut, et celui qui montre pourquoi trois sorties valent la peine d’être affichées. L’erreur absolue vaut 0,06 — le même chiffre qu’un relevé de 9,81 face à 9,75 — tandis que l’erreur en pourcentage vaut 0,6116, confortablement à l’intérieur d’une tolérance de un pour cent. Une erreur qui sonne petit en valeur absolue peut être grande par rapport à la grandeur, et l’inverse est tout aussi courant : 0,06 n’est rien face à une masse de 9,81 et représente tout face à une masse de 0,07.

  2. 4,9 face à une valeur acceptée de 5

    1. Erreur absolue : |4,9 − 5| = 0,1
    2. Erreur relative : 0,1 ÷ 5 = 0,02
    3. Erreur en pourcentage : 0,02 × 100 = 2

    Une valeur acceptée ronde et un écart de deux pour cent, la forme que prennent la plupart des contrôles de tolérance. Remarquez que l’arithmétique n’a jamais eu besoin de savoir si la valeur mesurée était au-dessus ou en dessous : 5,1 face à 5 donne les trois mêmes sorties, parce que l’erreur est une distance à la référence et que la page la rapporte comme telle.

  3. 50 face à une valeur acceptée de 100 — le test du dénominateur

    1. Erreur absolue : |50 − 100| = 50
    2. Erreur relative : 50 ÷ 100 = 0,5
    3. Erreur en pourcentage : 0,5 × 100 = 50

    Celle-ci fixe la convention. Diviser par la valeur acceptée donne 50 pour cent ; diviser par la valeur mesurée donnerait 100 pour cent, et les deux chiffres circulent puisque certaines sources définissent l’erreur en pourcentage par rapport à la valeur expérimentale. Ici, c’est la référence qui divise. Si votre cours ou votre laboratoire la définit dans l’autre sens, l’erreur absolue n’est pas touchée et les deux autres sorties sont l’inverse de ce qu’il vous faut.

  4. Deux nombres négatifs : −50 face à une valeur acceptée de −100

    1. Erreur absolue : |−50 − (−100)| = 50
    2. Erreur relative : 50 ÷ 100 = 0,5
    3. Erreur en pourcentage : 0,5 × 100 = 50

    Les deux entrées négatives, et le même 50 pour cent que dans le cas positif — c’est la distance entre les deux nombres que la page mesure. Soustraire un négatif est l’endroit où un calcul à la main se trompe le plus souvent : −50 − (−100) vaut 50 et non −150.

Limites

Elle compare deux nombres et rien d’autre. Elle ne sait pas lequel des deux fait autorité, donc une paire saisie dans le mauvais ordre produit un mauvais dénominateur et une mauvaise réponse sans se plaindre — la valeur acceptée est le champ étiqueté comme tel et l’arithmétique fait confiance à l’étiquette. Elle ne connaît pas les unités, elle ne peut donc pas dire si une erreur absolue de 0,06 est excellente ou inutilisable ; ce jugement demande la grandeur concernée, et c’est pourquoi l’erreur en pourcentage est d’ordinaire le chiffre qui vaut la peine d’être cité. Ses sorties ne portent aucun signe, par choix : la page annonce l’ampleur de l’erreur et non son sens, elle ne permet donc pas de dire si une mesure est passée au-dessus ou en dessous — lisez les deux entrées pour cela. Elle utilise une référence unique et suppose cette référence exacte, hypothèse avec laquelle la plupart des comptes rendus de laboratoire sont à l’aise et que ne partage pas un vrai budget d’incertitude : quand la valeur acceptée a elle-même une incertitude, la comparaison honnête divise par une incertitude combinée plutôt que par la valeur elle-même. Elle a une défaillance dure, une valeur acceptée nulle, et un bord souple, une valeur mesurée nulle, qui est une erreur de cent pour cent parfaitement légitime et non un bug. En suivant la convention où la référence divise, la page annonce 50 pour cent pour 50 face à 100 ; si votre manuel divise par la valeur mesurée, les deux chiffres diffèrent d’un facteur deux et l’erreur absolue est la seule sortie identique dans les deux cas. Le vocabulaire employé ici est celui du vocabulaire international de métrologie (JCGM 200:2012), qui est aussi la convention enseignée en France : la référence au dénominateur est la valeur exacte ou acceptée, pas la valeur mesurée. Enfin les sorties sont arrondies — six décimales pour l’erreur relative et l’erreur absolue, quatre pour le pourcentage — si bien qu’une comparaison fausse de moins de 0,0001 pour cent s’imprime comme zéro.

Questions fréquentes

Comment calculer une erreur en pourcentage ?
La valeur mesurée moins la valeur acceptée, en valeur absolue, divisée par la valeur acceptée, fois cent. Pour une mesure de 4,9 face à une valeur acceptée de 5, la différence vaut 0,1, la division par 5 donne 0,02, et la multiplication par cent donne 2 pour cent. La valeur absolue est prise pour que l’erreur soit une distance : un résultat qui dépasse et un résultat qui reste en dessous du même montant donnent la même erreur en pourcentage.
Divise-t-on par la valeur acceptée ou par la valeur mesurée ?
Par la valeur acceptée — la référence est ce contre quoi l’erreur est mesurée, et c’est la convention que suit cette page et celle qu’utilisent les définitions normalisées de l’erreur relative. Certains cours et certains manuels de travaux pratiques divisent par la valeur expérimentale, ce qui, pour une mesure de 50 face à une valeur acceptée de 100, donne 100 pour cent au lieu de 50. Les deux conventions diffèrent d’un facteur deux dans ce cas, il vaut donc la peine de vérifier ce qu’attend votre lecteur ; l’erreur absolue est la même dans les deux cas.
L’erreur en pourcentage peut-elle être négative ?
Pas ici. La page annonce l’ampleur de l’erreur et non son sens, parce qu’une erreur est une distance à la référence. Une valeur mesurée de 1,05 face à une valeur acceptée de 1 et une valeur mesurée de 0,95 face à une valeur acceptée de 1 donnent toutes deux 5 pour cent. Le fait que la mesure soit passée au-dessus ou en dessous se voit dans les deux nombres que vous avez saisis, et la page vous laisse cette lecture plutôt que d’appliquer une convention de signe qui varie d’un domaine à l’autre.
Quelle est la différence entre erreur absolue, erreur relative et erreur en pourcentage ?
C’est une seule grandeur écrite de trois façons. L’erreur absolue est la simple différence dans les unités de la mesure — 0,06 gramme, disons — et c’est la seule des trois qui porte des unités. L’erreur relative est cette différence divisée par la valeur acceptée, ce qui la rend indépendante de l’échelle : 0,006116 que la mesure soit en grammes, en kilogrammes ou en tonnes. L’erreur en pourcentage est l’erreur relative fois cent, soit 0,6116 pour cent. La propagation des erreurs et les budgets d’incertitude utilisent la forme relative ; les rapports et les contrôles de tolérance citent d’ordinaire la forme en pourcentage.
Que signifie une erreur en pourcentage nulle ?
Que la valeur mesurée et la valeur acceptée sont le même nombre, donc que chacune des trois sorties vaut zéro. C’est un résultat correct et non une condition d’erreur. En pratique un vrai zéro est rare avec de vrais appareils, et un résultat nul signifie d’ordinaire que le même chiffre a servi aux deux champs, ou que la mesure a été arrondie à la précision de la valeur acceptée avant d’être notée.
Et si la valeur acceptée est nulle ?
La page signale une erreur, parce que la valeur acceptée est le dénominateur et que diviser par zéro n’a pas de réponse. Ce n’est pas une restriction arbitraire : une référence nulle supprime l’échelle contre laquelle l’erreur est mesurée, il n’y a donc aucune erreur relative à annoncer — une erreur absolue de 0,06 face à une référence nulle vaut 0,06, et la fraction de rien que cela représente n’est pas une question qui ait une réponse. Une valeur mesurée nulle est un autre cas et parfaitement valide : c’est une erreur de cent pour cent face à une référence non nulle.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de percentileValeur à un centile choisi, avec ses deux voisines.Calculatrice de score zScore z d’une valeur selon la moyenne et l’écart type.Calculatrice de moyenneCalcule la moyenne d’une liste de nombres, pas à pas.Calculatrice d’écart en pourcentageÉcart en pourcentage entre deux valeurs, dans les deux sens.