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CalcMax

Calculatrice de chiffres significatifs

Intervalle : 1 – 15

Résultat

4

Chiffres significatifs

Valeur arrondie
0.00456
Arrondi (notation scientifique)
4.56 × 10⁻³

Les chiffres significatifs sont les chiffres d’un nombre qui portent une information sur la précision avec laquelle il a été mesuré. Les compter est un petit ensemble de règles appliquées à la façon dont le nombre est écrit, et les arrondir à un nombre choisi de chiffres est l’étape suivante. Les règles sont les suivantes. Tout chiffre non nul compte, donc « 123 » en a trois. Un zéro placé entre deux chiffres non nuls compte, parce qu’il tient une position ouverte : « 1002 » en a quatre. Les zéros de tête ne comptent jamais — ils ne font que positionner le séparateur décimal — donc « 0.005 » a un chiffre significatif et non trois. Un zéro après le séparateur décimal compte, donc « 0.004560 » en a quatre. Et un zéro à la fin d’un nombre entier écrit sans séparateur décimal ne compte pas, parce qu’il peut se contenter de dire la taille du nombre : « 1200 » a deux chiffres significatifs et « 1200. » en a quatre. Ce dernier couple est toute la doctrine en un exemple. Les deux écritures désignent la même quantité, et ce qui les sépare est une affirmation sur la part de cette quantité qui est connue — 1,2 × 10³ dit que la mesure s’est arrêtée au rang des centaines, 1,200 × 10³ dit qu’elle est descendue jusqu’aux unités. Écrire le séparateur décimal est la façon de faire cette affirmation, et c’est pourquoi la règle ne peut pas être appliquée sans regarder l’orthographe de la saisie. Cette calculatrice lit un nombre, compte ses chiffres significatifs, puis l’arrondit au nombre de chiffres que vous choisissez. Deux conventions gouvernent l’arrondi, et toutes deux sont énoncées ici plutôt que laissées à découvrir dans un résultat. L’arrondi se fait au supérieur et en s’éloignant de zéro : 1,25 arrondi à deux chiffres donne 1,3, et −0,004560 à deux chiffres donne −0,0046, le signe ne jouant aucun rôle dans la décision. Et il n’y a pas de remplissage. Demander six chiffres pour « 0.004560 » renvoie « 0.004560 » inchangé, parce que le nombre n’a pas six chiffres à donner et qu’en ajouter reviendrait à inventer de la précision. L’arrondi peut produire une retenue, et cette retenue peut changer la taille du nombre : 9,99 à deux chiffres donne 10, et 999 à deux donne 1 000, où c’est l’exposant qui bouge plutôt que le nombre de chiffres. Une conséquence de tout cela mérite d’être dite clairement. Quand l’arrondi produit des zéros finaux, la forme décimale ordinaire ne peut pas montrer combien de chiffres il reste — « 1002.0 » arrondi à deux chiffres donne 1000, et les zéros qui tiennent la taille ouverte sont indiscernables de zéros qui auraient été mesurés. La page imprime donc la valeur arrondie une seconde fois en notation scientifique, où le coefficient montre les chiffres et l’exposant montre la taille : « 1.0 × 10³ ». Entre les deux lignes, il ne reste plus d’ambiguïté. Zéro compte pour un chiffre significatif ici. C’est un chiffre écrit et, contrairement à un zéro de tête, il est tout ce que l’on sait de la quantité ; le compte est donc un, et non zéro. Deux voisines méritent d’être distinguées. Arrondir à un nombre de décimales plutôt qu’à un nombre de chiffres significatifs est un autre travail, et il appartient à la calculatrice d’arrondi : « 0.004560 » à deux décimales donne 0,00, tandis qu’à deux chiffres significatifs il donne 0,0046, et les deux réponses ne sont pas proches l’une de l’autre. Et convertir un nombre en une forme à coefficient et exposant sans rien décider de sa précision, c’est la page de la forme standard.

Huit nombres et le nombre de chiffres significatifs que chacun porte

nombrechiffres significatifs
1233
10024
1002.05
0.0051
0.0045604
12002
1200.4
01

Huit valeurs choisies pour que chacune des cinq règles soit exercée au moins une fois, et pour que les graphies qui décident du compte soient toutes présentes. Les lignes du milieu sont celles à lire attentivement : 0,005 a un chiffre significatif parce que ses zéros de tête ne font que positionner le séparateur décimal, tandis que 1002,0 en a cinq parce que les zéros entre les chiffres comptent et que le zéro après le point compte aussi. Le couple du bas est la règle sous sa forme la plus pure — « 1200 » a deux chiffres significatifs et « 1200. » en a quatre, la même quantité écrite de deux façons avec deux affirmations différentes à son sujet. Et la dernière ligne est zéro, qui compte pour un chiffre plutôt que pour aucun, puisqu’il est un chiffre écrit et qu’il est tout ce que l’on sait de la quantité. Chaque compte de cette colonne est produit par le même noyau que celui qui répond à la saisie faite plus haut, donc aucune ligne ne peut contredire le panneau. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (0.005 plutôt que 0,005), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte — et les milliers ne sont pas groupés (1002 plutôt que 1 002).

Formule

« 123 » → 3 chiffres significatifs ; « 1002 » → 4 ; « 0.005 » → 1 ; « 0.004560 » → 4 ; « 1200 » → 2 mais « 1200. » → 4 ; « 0.004560 » arrondi à 2 chiffres = « 0.0046 » = « 4.6 × 10⁻³ » ; « 9.99 » arrondi à 2 chiffres = « 10 » = « 1.0 × 10¹ »

0.004560
Le nombre compté, en décimal ordinaire ou en notation e. Ce peut être une mesure de n’importe quelle taille, positive ou négative ; le signe ne prend part ni au compte ni à l’arrondi, ce sont les chiffres seuls qui sont lus
0.005 → 1
Pourquoi les zéros de tête ne comptent pas. Les trois zéros devant le 5 ne font rien d’autre que tenir le séparateur décimal là où il doit être ; le seul chiffre porteur d’information est le 5, donc une lecture citée comme « 0.005 » a un chiffre significatif, et la réécrire 5 × 10⁻³ n’y change rien
1002 → 4
Pourquoi les zéros du milieu comptent. Les deux zéros de « 1002 » se trouvent entre le 1 et le 2 et tiennent les positions des centaines et des dizaines ouvertes, ce qui est une information : sans eux le nombre serait 12 ou 102. Chaque chiffre de « 1002 » est donc significatif
1200 → 2, 1200. → 4
La règle qui dépend de l’orthographe plutôt que de la valeur. Dans un nombre entier écrit sans séparateur décimal, les zéros finaux peuvent n’être que des bouche-trous, ils ne sont donc pas comptés : « 1200 » a deux chiffres significatifs. Ajouter le point dit qu’ils ont été écrits volontairement, et « 1200. » en a quatre
0.004560 → 4
Pourquoi les zéros finaux après un séparateur décimal comptent. Le zéro de la fin de « 0.004560 » se trouve après le séparateur décimal, il a donc été écrit exprès et il dit que la mesure est descendue jusqu’aux millionièmes. C’est le quatrième chiffre significatif, et c’est pourquoi « 0.004560 » et « 0.00456 » ne sont pas la même affirmation, même s’ils ont la même valeur
0.004560 → 0.0046 = 4.6 × 10⁻³
L’arrondi à un nombre choisi de chiffres. L’arrondi au supérieur fait qu’un 5 suivant éloigne de zéro, et l’absence de remplissage fait qu’une demande de plus de chiffres que le nombre n’en porte est renvoyée inchangée. La forme scientifique montre à la fois les chiffres qui survivent et la taille qui ne change pas

Les chiffres significatifs sont la façon dont un nombre mesuré énonce sa propre précision, et l’essentiel de leur usage tient dans l’écriture des résultats. Une balance qui lit quatre décimales, une règle graduée en millimètres et un chronomètre qui résout les centièmes produisent tous des nombres dont le dernier chiffre est le dernier que l’instrument a réellement pu voir ; noter « 0.004560 » plutôt que « 0.00456 » est ce qui préserve cette information, et le compte des chiffres significatifs en est l’abréviation. Quand des grandeurs mesurées sont combinées, la réponse ne peut pas être plus précise que la plus faible des entrées, si bien que la pratique courante en physique, en chimie et en ingénierie consiste à déterminer combien de chiffres significatifs le résultat mérite, puis à l’arrondir à ce nombre. La règle de travail habituelle est qu’un produit ou un quotient garde autant de chiffres significatifs que le facteur le moins précis, et qu’une somme ou une différence garde autant de décimales que le terme le moins précis — ce qui explique que l’arrondi aux chiffres significatifs et l’arrondi aux décimales soient deux opérations différentes et que cette page n’offre que la première. La chimie et la physique se servent aussi du compte comme d’une habitude de contrôle : une réponse portant plus de chiffres significatifs que ses entrées est le signe que quelque chose a été calculé plutôt que mesuré, et c’est le moyen le plus rapide de repérer un résultat recopié d’un affichage sans y penser. En classe, c’est une compétence évaluable à part entière, puisque le compte des chiffres de « 1200 » comparé à « 1200. » est une question classique et que la réponse tient à la forme écrite plutôt qu’à la valeur. Arrondir à un nombre de décimales est le travail de la calculatrice d’arrondi, et écrire une valeur comme un coefficient et une puissance de dix, sans aucun jugement sur la précision, est la page de la forme standard.

Exemples détaillés

  1. Compter les chiffres de « 0.004560 »

    1. Les zéros de tête, 0,00, ne font que positionner le séparateur décimal et ne comptent pas
    2. Les chiffres 4, 5 et 6 comptent tous, et le zéro qui les suit compte aussi, parce qu’il se trouve après le séparateur décimal et a été écrit volontairement
    3. Cela fait quatre chiffres significatifs en tout
    4. Arrondir à quatre chiffres demande exactement les chiffres que le nombre porte déjà, donc la valeur est renvoyée inchangée
    5. En notation scientifique, le coefficient montre les mêmes quatre chiffres et l’exposant porte la taille : « 4.560 × 10⁻³ »

    Le cas par défaut, et celui qui montre la différence entre la valeur d’un nombre et l’affirmation qu’il porte. « 0.00456 » et « 0.004560 » sont égaux en valeur et différents en tant que mesures, et le zéro final est toute la différence. La forme scientifique de la réponse est la même affirmation écrite là où les zéros ne peuvent pas être pris pour de la mise en page : un coefficient de 4,560 porte quatre chiffres et le dit.

  2. Arrondir « 0.004560 » à un chiffre

    1. Le nombre a quatre chiffres significatifs, et on en demande un
    2. Gardez le premier chiffre, qui est le 4 des millièmes, et regardez le chiffre qui le suit
    3. Ce chiffre est un 6, donc le 4 s’arrondit à 5
    4. Tout ce qui est à droite est supprimé, et les zéros de tête restent où ils étaient : « 0.005 »
    5. Écrit en notation scientifique, c’est « 5 × 10⁻³ », avec un coefficient d’un seul chiffre

    Arrondir à un chiffre est le cas le plus grossier et celui où la taille se perd le plus facilement, puisque la réponse « 0.005 » ne montre plus le chiffre conservé autrement que comme un 5 isolé. La forme scientifique rend l’échange explicite : un chiffre de la réponse a survécu, et l’exposant note la taille à laquelle il s’applique.

  3. Une retenue qui change l’exposant : 9,99 à deux chiffres

    1. Le nombre a trois chiffres significatifs, tous non nuls
    2. Gardez les deux premiers, ce qui donne 9,9, et regardez le chiffre suivant
    3. Ce chiffre est un 9, donc 9,9 s’arrondit au supérieur — et la retenue se propage jusqu’au bout, transformant 9,9 en 10
    4. La valeur arrondie est maintenant d’une puissance de dix plus grande, donc c’est l’exposant qui monte plutôt que le nombre de chiffres
    5. En notation scientifique, cela fait « 1.0 × 10¹ », qui montre deux chiffres là où le simple 10 pouvait se lire comme un seul

    Pourquoi la ligne scientifique mérite sa place. Une retenue qui déborde de la fin du nombre change sa taille, et la forme ordinaire ne peut pas dire ce qui s’est passé : 10 peut être le nombre dix, ou un résultat à deux chiffres dont les chiffres sont 1 et 0. La forme scientifique tranche — un coefficient de 1,0 porte deux chiffres et un exposant de 1 note la taille. La même chose se produit un cran plus haut avec 999 arrondi à deux chiffres, qui donne 1 000.

  4. Demander plus de chiffres que le nombre n’en a : « 123 » à cinq

    1. Le nombre a trois chiffres significatifs, et aucun d’eux ne peut être retiré
    2. Cinq chiffres sont demandés, ce qui est plus que ce que le nombre porte
    3. L’arrondi ne remplit jamais, donc la valeur est renvoyée exactement telle qu’elle est entrée
    4. La ligne du compte annonce toujours trois, parce que le nombre n’a pas gagné deux chiffres à force qu’on les lui demande

    Le cas où la calculatrice refuse de rendre service. Compléter « 123 » en 123,00 transformerait trois chiffres mesurés en cinq, et les deux zéros supplémentaires seraient lus comme de la précision par quiconque prendrait le résultat au pied de la lettre — ce qui est exactement l’erreur que tout ce sujet existe pour empêcher. La ligne scientifique montre pourquoi la demande ne peut pas être satisfaite : « 1.23 × 10² » porte trois chiffres et il n’y a nulle part d’où en sortir deux de plus.

Limites

Le compte suit les règles scolaires, et l’une d’elles dépend de la façon dont le nombre est écrit. « 1200 » a deux chiffres significatifs et « 1200. » en a quatre ; il n’y a pas de troisième réponse, parce que la calculatrice n’a que la forme écrite sous les yeux et ne sait pas si les zéros ont été mesurés. Un nombre entier dont les zéros finaux sont significatifs mais dont le séparateur décimal a été omis sera donc compté en dessous de la vérité — écrivez « 1200. » si les zéros sont voulus. L’arrondi se fait au supérieur et en s’éloignant de zéro, donc un 5 suivant arrondit toujours vers le haut ; l’arrondi bancaire au pair le plus proche n’est pas disponible ici. L’arrondi ne remplit jamais, donc demander plus de chiffres que le nombre n’en porte renvoie le nombre inchangé, et la ligne du compte annonce les chiffres que le nombre porte réellement. Les zéros de tête ne sont conservés dans aucune saisie, donc « 007 » se lit 7. Le résultat arrondi en forme ordinaire ne peut pas montrer les zéros finaux significatifs, et c’est pourquoi une seconde ligne donne la même valeur en notation scientifique ; pour « 1002.0 » arrondi à deux chiffres, la ligne ordinaire affiche « 1000 » et seule la ligne scientifique, « 1.0 × 10³ », révèle que le nombre de chiffres est deux. Les saisies sont limitées à quinze chiffres significatifs et à un exposant compris entre −99 et 99, et le nombre de chiffres demandé doit être un entier de 1 à 15. Les écritures composées telles que 4,5 × 10⁴ et les séparateurs de milliers sont refusés, comme partout sur ce site — la virgule est le séparateur décimal de cette langue, donc « 1,200 » est une erreur et non 1 200. Zéro a un chiffre significatif. Enfin, cette page n’arrondit qu’aux chiffres significatifs. L’arrondi à un nombre de décimales est le travail de la calculatrice d’arrondi, et les deux ne coïncident pas en général — « 0.004560 » à deux décimales donne 0,00 et à deux chiffres significatifs donne 0,0046.

Questions fréquentes

Comment compter les chiffres significatifs ?
Tout chiffre non nul compte, et un zéro entre deux chiffres non nuls aussi, comme dans « 1002 », qui en a quatre. Les zéros de tête ne comptent jamais, parce qu’ils ne font que positionner le séparateur décimal, donc « 0.005 » en a un. Un zéro après un séparateur décimal compte, donc « 0.004560 » en a quatre. Et un zéro à la fin d’un nombre entier écrit sans séparateur décimal ne compte pas, donc « 1200 » en a deux tandis que « 1200. » en a quatre.
Pourquoi « 1200 » n’a-t-il que deux chiffres significatifs ?
Parce que les zéros finaux d’un nombre entier écrit sans séparateur décimal peuvent n’être que des bouche-trous — ils peuvent vouloir dire que le nombre se situe dans les milliers plutôt que quelqu’un a mesuré jusqu’aux unités. La forme écrite ne permet pas de distinguer ces deux cas, donc la lecture prudente est retenue et seuls le 1 et le 2 comptent. Écrivez « 1200. » si les zéros sont censés être significatifs.
Quelle différence entre les chiffres significatifs et les décimales ?
Les décimales se comptent à partir du séparateur décimal vers l’extérieur ; les chiffres significatifs se comptent à partir du premier chiffre non nul. Pour les nombres proches de 1, les deux coïncident à peu près, et pour les nombres éloignés de 1 ils divergent : « 0.004560 » arrondi à deux décimales donne 0,00, tandis qu’arrondi à deux chiffres significatifs il donne 0,0046. Arrondir aux décimales est le travail de la calculatrice d’arrondi ; cette page compte et arrondit les chiffres significatifs.
Pourquoi demander plus de chiffres que le nombre n’en a n’ajoute-t-il pas de zéros ?
Parce que les ajouter inventerait de la précision. « 123 » a trois chiffres significatifs ; l’imprimer 123,00 en montrerait cinq, et un lecteur prendrait les deux derniers pour mesurés alors que rien ne les a mesurés. La calculatrice renvoie le nombre inchangé et la ligne du compte annonce toujours trois, ce qui est sa façon de dire que la demande n’a pas pu être honorée.
Pourquoi la valeur arrondie est-elle aussi donnée en notation scientifique ?
Parce que la forme ordinaire ne peut pas montrer les zéros finaux significatifs. Arrondissez « 1002.0 » à deux chiffres et la réponse est 1000, où les zéros qui tiennent la taille ouverte ressemblent exactement à des zéros qui auraient été mesurés. La ligne scientifique l’écrit « 1.0 × 10³ », où le coefficient porte les deux chiffres et l’exposant porte la taille, et l’ambiguïté disparaît.
Combien de chiffres significatifs a zéro ?
Un. Zéro est un chiffre qui a été écrit et, contrairement aux zéros de tête de « 0.005 », il est tout ce que l’on sait de la quantité plutôt qu’un repère positionnant un séparateur décimal. L’arrondir à un nombre quelconque de chiffres le laisse à 0, puisqu’il n’y a rien au-delà du premier chiffre à garder ou à supprimer.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice d’arrondiArrondit à un rang donné ou à des chiffres significatifs.Calculatrice de notation scientifiqueConvertit vers et depuis l’écriture scientifique, et calcule.Calculatrice de forme standardConvertit entre forme standard et nombres ordinaires.Calculatrice de valeur de positionValeur de position de chaque chiffre d’un nombre.