Qu’est-ce que la notation scientifique ?

Une façon d’écrire un nombre comme un coefficient compris entre 1 et 10 multiplié par une puissance de dix : 45 000 vaut 4,5 × 10⁴ et 0,00045 vaut 4,5 × 10⁻⁴. La taille du nombre passe dans l’exposant, ce qui fait de la multiplication et de la division dans cette forme une affaire de petits entiers plutôt que de longues suites de zéros. L’usage britannique appelle le plus souvent la même chose forme standard.

Qu’est-ce que la notation e, et pourquoi la page l’imprime-t-elle ?

C’est le même nombre en caractères ordinaires : « 4.5e4 » signifie 4,5 × 10⁴, et « 4.5e-4 » signifie 4,5 × 10⁻⁴. C’est ce qu’un programme, un tableur ou un moteur de recherche acceptera, donc la page l’imprime comme l’une des trois formes — c’est la version de la réponse qui peut être recollée directement dans un champ.

Pourquoi 0,1 + 0,2 donne-t-il exactement 0,3 ici ?

Parce que le résultat est arrondi à quinze chiffres significatifs avant d’être imprimé, et que la somme stockée vaut 0,30000000000000004 — la différence se situe au seizième et au dix-septième chiffre. Quinze chiffres n’est pas un nombre rond choisi pour faire joli : c’est la largeur d’affichage la plus grande pour laquelle toutes les valeurs que les champs acceptent sont imprimées exactement, si bien que 123 456 789 012 345 + 0 revient toujours comme 123 456 789 012 345 au lieu d’être arrondi à quelque chose de plus court.

Comment multiplier et diviser en notation scientifique ?

Multipliez les coefficients et additionnez les exposants pour un produit ; divisez les coefficients et soustrayez les exposants pour un quotient. Vérifiez ensuite que le coefficient est bien compris entre 1 et 10, et passez un facteur dix dans l’exposant sinon : 3,2 × 10⁵ fois 4 × 10⁻³ font 12,8 × 10², ce qui s’écrit 1,28 × 10³. L’addition et la soustraction demandent d’aligner les exposants d’abord, et c’est l’étape que la notation rend facile à sauter.

La réponse dit-elle combien de chiffres significatifs elle porte ?

Non. La réponse est un nombre calculé, et aucune largeur d’affichage ne peut vous dire combien de ses chiffres ont été mesurés — cela dépend de la précision des nombres entrés, et même de la question de savoir s’il s’agissait de mesures. Les zéros finaux sont supprimés pour la même raison : les garder suggérerait une précision que l’arithmétique n’a pas. Déterminer combien de chiffres significatifs une réponse mérite est le sujet de la page des chiffres significatifs.

Calculatrice de notation scientifique

Résultat

1.28 × 10³

Notation scientifique

Notation E: 1.28e3
Notation ordinaire: 1280

La notation scientifique écrit un nombre comme un coefficient compris entre 1 et 10 multiplié par une puissance de dix : 45 000 devient 4,5 × 10⁴ et 0,00045 devient 4,5 × 10⁻⁴. Son intérêt est que la taille du nombre passe dans l’exposant : multiplier et diviser cessent d’être une affaire de comptage de zéros et deviennent une affaire d’additions et de soustractions de petits entiers. Cette calculatrice prend deux nombres et une opération, et imprime le résultat sous trois formes à la fois — la notation scientifique, la notation e, et le décimal ordinaire. Les règles sur les exposants sont toute l’arithmétique. Pour multiplier, on multiplie les coefficients et on additionne les exposants : (3,2 × 10⁵) × (4 × 10⁻³) = 12,8 × 10², que l’on normalise ensuite en 1,28 × 10³. Pour diviser, on divise les coefficients et on soustrait les exposants. L’addition et la soustraction sont les opérations ingrates, parce qu’il faut d’abord aligner les exposants : 1,5 × 10³ plus 2,5 × 10² font 1 500 plus 250, et la réponse est 1,75 × 10³. Rien là-dedans ne diffère de l’arithmétique décimale ordinaire — c’est la même somme — mais la notation rend l’étape d’alignement facile à oublier. Les saisies sont acceptées dans l’une ou l’autre forme. La notation e que les programmeurs tapent, « 3.2e5 » et « 4e-3 », est lue directement, et le décimal ordinaire 45 000 l’est aussi ; les deux sont le même nombre et la page les traite à l’identique. Une écriture composée comme 4,5 × 10⁴ n’est pas acceptée, et la raison mérite d’être connue plutôt que contournée : la reconnaître suppose d’accepter cinq graphies de la même idée — un signe de multiplication, un x, un astérisque, un exposant en caractères supérieurs, un accent circonflexe — et en lire une de travers revient à calculer avec le mauvais nombre. La ligne en notation e du résultat est là pour être recollée dans les champs. Les deux nombres peuvent porter jusqu’à quinze chiffres significatifs, et leurs exposants aller de −99 à 99 ; la réponse, elle, peut sortir de cet intervalle, puisque « 1e99 » × « 1e99 » vaut 1 × 10¹⁹⁸. Une mise en garde s’applique ici à l’arithmétique d’une façon qu’elle n’a pas sur les autres pages de cette famille. L’addition et la multiplication de décimaux se font en double précision, qui ne peut pas représenter exactement tous les décimaux, si bien que 0,1 + 0,2 vaut 0,30000000000000004 avant de valoir autre chose. Le résultat est arrondi à quinze chiffres significatifs et ses zéros finaux sont supprimés, ce qui imprime 3 × 10⁻¹ et 0,3 — la queue se trouve au seizième et au dix-septième chiffre. Ce quinze est une largeur d’affichage et non une affirmation : une réponse calculée à partir de deux nombres ne sait pas combien de ses chiffres ont été mesurés, et aucun nombre de chiffres imprimés ici ne vous le dirait. Décider combien de chiffres significatifs une réponse mérite est une question séparée, et elle appartient à la page des chiffres significatifs plutôt qu’à celle-ci. Deux conventions se rencontrent sur cette page et méritent d’être distinguées une fois pour toutes. Dans l’usage américain, cette notation est la notation scientifique ; dans l’usage britannique, et dans le programme du GCSE, la même chose s’appelle le plus souvent forme standard. Les deux noms décrivent la même forme à coefficient et exposant, et la page de la forme standard traite la moitié du travail qui consiste à convertir — un nombre entre, le même nombre ressort écrit autrement — tandis que cette page-ci fait la moitié arithmétique.

Les puissances de dix, écrites en notation scientifique, en notation e et en décimal

puissance	forme ordinaire	notation e
1 × 10⁻⁹	0.000000001	1e-9
1 × 10⁻⁶	0.000001	1e-6
1 × 10⁻³	0.001	1e-3
1 × 10⁻²	0.01	1e-2
1 × 10⁻¹	0.1	1e-1
1 × 10⁰	1	1e0
1 × 10¹	10	1e1
1 × 10²	100	1e2
1 × 10³	1000	1e3
1 × 10⁴	10000	1e4
1 × 10⁵	100000	1e5
1 × 10⁶	1000000	1e6
1 × 10⁹	1000000000	1e9

Treize puissances de dix, de 10⁻⁹ à 10⁹, avec le même nombre écrit des trois façons. Lisez la première colonne comme l’exposant et la troisième comme la forme à taper : 10⁻³ vaut 0,001, ce qui s’écrit « 1e-3 ». Les lignes du milieu sont celles qui posent problème en pratique — 10⁰ vaut 1 et 10⁻¹ vaut 0,1, donc un signe moins oublié déplace la valeur d’un facteur dix, et 10⁻² et 10⁻³ sont les deux qui reviennent le plus souvent dans le travail de mesure. Remarquez où la forme décimale cesse d’être confortable : sous 10⁻⁶ les zéros de droite deviennent difficiles à compter, ce qui est l’argument habituel pour écrire les petites valeurs dans cette notation. Au-dessus de 10⁶ la forme ordinaire est illisible sans séparateurs, et cette page n’en imprime jamais, parce qu’une virgule est un séparateur décimal dans cette langue. Chaque cellule est calculée par le même noyau que celui du panneau, donc une ligne ne peut pas contredire la réponse affichée au-dessus. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (0.001 plutôt que 0,001), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte — et les milliers ne sont pas groupés (1000 plutôt que 1 000).

Formule

(a × 10ᵐ) × (b × 10ⁿ) = (a × b) × 10ᵐ⁺ⁿ ; (a × 10ᵐ) ÷ (b × 10ⁿ) = (a ÷ b) × 10ᵐ⁻ⁿ ; l’addition et la soustraction alignent d’abord : 1,5 × 10³ + 2,5 × 10² = 1 500 + 250 = 1,75 × 10³ ; « 3.2e5 » × « 4e-3 » = 1,28 × 10³ = « 1.28e3 » = 1 280

3.2e5 et 4e-3: Les deux nombres combinés, chacun écrit soit en notation e (« 3.2e5 »), soit en décimal ordinaire (320 000), et chacun portant jusqu’à quinze chiffres significatifs. Ce sont les saisies que la page lit ; la réponse est un nouveau nombre calculé à partir d’elles
× ÷ + −: L’opération, choisie parmi quatre. La multiplication vient en premier parce que c’est pour elle que la notation scientifique existe : les exposants s’additionnent, donc la taille de la réponse est réglée avant même qu’un coefficient soit multiplié
10ᵐ × 10ⁿ = 10ᵐ⁺ⁿ: La règle sur les exposants qui sous-tend la multiplication et la division. Les exposants s’additionnent pour un produit et se soustraient pour un quotient, ce qui fait que 10⁵ × 10⁻³ donne 10² sans aucun comptage de zéros
1,5 × 10³ + 2,5 × 10²: Pourquoi l’addition et la soustraction sont différentes. Les exposants ne coïncident pas ici, donc les deux nombres doivent être écrits au même exposant avant de pouvoir être additionnés — 1 500 + 250 — et le résultat est 1,75 × 10³. Sauter cette étape est l’erreur habituelle
0,1 + 0,2 = 3 × 10⁻¹: Pourquoi la réponse est imprimée à quinze chiffres significatifs. 0,1 et 0,2 ne peuvent pas être représentés exactement tous les deux en double précision, et leur somme vaut 0,30000000000000004 ; en arrondissant à quinze chiffres, puis en supprimant les zéros finaux qui restent, on imprime 3 × 10⁻¹ et 0,3. Quinze est une largeur d’affichage et non une affirmation sur la précision
1,28 × 10³, 1.28e3, 1280: Les trois formes d’une même réponse. La première est ce qu’imprime un manuel, la deuxième est ce qu’un programme ou un tableur acceptera si on la recolle dans un champ, et la troisième est le nombre écrit en toutes lettres. Ce ne sont jamais trois réponses différentes

La notation scientifique gagne sa place partout où les nombres sont loin de 1. En physique, c’est la forme par défaut de tout ce qui se mesure en atomes, en mètres ou en années-lumière — la masse d’un électron, la distance d’une étoile, la longueur d’onde d’une couleur — et la raison est la même à toutes les échelles : l’exposant porte la taille, si bien qu’une comparaison entre deux grandeurs devient une comparaison entre deux exposants. En chimie, la notation s’associe au comptage : 6,022 × 10²³ est un nombre de particules, et le multiplier par une quantité mesurée est une opération qui se fait dans cette forme. L’ingénierie s’appuie dessus pour les tolérances aux deux bouts d’un plan, et l’informatique pour la raison même qui fait exister la notation e : les nombres à virgule flottante sont stockés comme un coefficient et un exposant, et la notation e que cette page imprime est la façon la plus courte et la plus honnête d’en écrire un. Les manuels et les sujets d’examen l’utilisent comme forme vérifiable. Traiter un problème en notation scientifique et rendre la réponse sous la forme 4,5 × 10⁴ rend la taille de la réponse visible d’une manière qu’une suite de zéros ne permet pas, et c’est pourquoi un exposant mal placé se repère à l’œil dans cette forme et passe inaperçu dans l’autre. Ce que cette page apporte dans ce travail est l’étape arithmétique : elle tient la comptabilité des exposants et imprime la réponse dans celle des trois formes dont l’étape suivante a besoin, et elle est surtout utile quand les nombres sont combinés et que la réponse doit être écrite plutôt qu’estimée. Deux travaux voisins se placent de part et d’autre. Écrire le même nombre autrement, sans aucune arithmétique, c’est la page de la forme standard. Décider combien des chiffres d’une réponse ont réellement été mesurés — c’est-à-dire ce dont parlent les chiffres significatifs — c’est la page des chiffres significatifs, et c’est la question à laquelle celle-ci ne répond délibérément pas.

Exemples détaillés

Multiplier : 3,2 × 10⁵ par 4 × 10⁻³
1. Multipliez les coefficients : 3,2 × 4 = 12,8
2. Additionnez les exposants : 10⁵ × 10⁻³ = 10²
3. Le produit vaut 12,8 × 10², ce qui n’est pas encore la notation scientifique, parce que le coefficient doit être inférieur à 10
4. Passez un facteur dix du coefficient dans l’exposant : 12,8 × 10² = 1,28 × 10³
5. Écrit en toutes lettres, cela fait 1 280 — et la notation e « 1.28e3 » peut être recollée dans l’un ou l’autre champ
Le cas par défaut, et celui qui montre pourquoi la notation vaut la peine. Les deux nombres sont courts, et l’arithmétique se réduit à deux multiplications et une addition ; sans la notation, le même travail serait 320 000 × 0,004, où ce sont les zéros qui travaillent et où la réponse se place facilement d’un facteur dix trop loin. L’étape de normalisation est celle qu’il faut surveiller, et c’est celle que le panneau fait en silence : 12,8 × 10² et 1,28 × 10³ sont le même nombre, et seule la seconde est en notation scientifique.
Diviser : 9,6 × 10⁷ par 3,2 × 10³
1. Divisez les coefficients : 9,6 ÷ 3,2 = 3
2. Soustrayez les exposants : 10⁷ ÷ 10³ = 10⁴
3. Le coefficient est déjà compris entre 1 et 10, donc aucune normalisation n’est nécessaire
4. La réponse est 3 × 10⁴, ce qui vaut « 3e4 » et 30 000
Une division dont le coefficient tombe juste, si bien que rien ne vient masquer la règle sur les exposants. Remarquez que le coefficient ne porte pas de zéros finaux : le résultat est 3 et non 3,00, parce que la page imprime quinze chiffres significatifs puis supprime les zéros qui ne portent aucune information. Savoir si la réponse mérite d’être citée comme 3 ou comme 3,00000 est une question de chiffres significatifs, et les saisies d’ici ne la tranchent pas.
Additionner 0,1 et 0,2
1. Aucun exposant n’apparaît dans les saisies, donc les deux nombres s’écrivent tels quels : 0,1 et 0,2
2. En double précision, les valeurs stockées ne valent pas exactement un dixième et deux dixièmes, et leur somme vaut 0,30000000000000004
3. Le résultat est arrondi à quinze chiffres significatifs, ce qui laisse 0,300000000000000
4. Les zéros finaux sont supprimés, parce que les quinze chiffres sont une largeur d’affichage et non une mesure
5. Ce qui reste est 3 × 10⁻¹, ou « 3e-1 », ou 0,3
L’exemple qui justifie la largeur d’affichage. Imprimer sept chiffres significatifs masquerait aussi la queue flottante, mais casserait un autre cas : 123 456 789 012 345 + 0 s’imprimerait 123 456 800 000 000, ce qui est simplement le mauvais nombre. Quinze chiffres est le réglage le plus large qui reste exact pour toutes les valeurs que les champs acceptent, donc il cache la queue et garde le nombre. Si vous avez rencontré cette somme comme énigme de programmation, l’énigme est réelle — elle n’est simplement pas visible à cette largeur.

Limites

Chaque champ accepte jusqu’à quinze chiffres significatifs et un exposant de −99 à 99. La réponse n’est pas bornée par ces limites : « 1e99 » × « 1e99 » vaut 1 × 10¹⁹⁸, et sa forme ordinaire est une ligne de 199 caractères. Les écritures composées sont rejetées. 4,5 × 10⁴ et 4,5 × 10^4 ne sont pas lues, et les séparateurs de milliers non plus, donc « 1,500 » est refusé plutôt que lu comme 1 500 — la virgule est le séparateur décimal de cette langue, et deviner laquelle des deux lectures vous vouliez mettrait un mauvais nombre dans l’arithmétique. Écrivez « 4.5e4 », ou tapez les chiffres en toutes lettres. La division par zéro lève une erreur plutôt que de renvoyer un infini, parce qu’un infini n’est pas un résultat qui puisse s’écrire. Zéro s’imprime 0 dans les trois formes : 0 × 10⁰ serait une grandeur accrochée à un nombre qui n’en a aucune. Les résultats sont arrondis à quinze chiffres significatifs et leurs zéros finaux sont supprimés, donc la réponse ne porte aucune information sur la précision et la page ne revendique rien de tel ; cette question appartient à la page des chiffres significatifs. Comme la multiplication, la division, l’addition et la soustraction se font en double précision, un résultat n’est exact qu’à quinze chiffres significatifs — assez pour les saisies que cette page accepte, et pas assez pour être traité comme de l’arithmétique exacte sur des valeurs plus longues, qui sont refusées pour cette raison. Enfin, le tableau de référence plus bas est une liste fixe de puissances de dix et ne suit pas votre saisie ; il est là pour être lu à côté de la réponse, non pour être calculé à partir d’elle.

Questions fréquentes

Qu’est-ce que la notation scientifique ?: Une façon d’écrire un nombre comme un coefficient compris entre 1 et 10 multiplié par une puissance de dix : 45 000 vaut 4,5 × 10⁴ et 0,00045 vaut 4,5 × 10⁻⁴. La taille du nombre passe dans l’exposant, ce qui fait de la multiplication et de la division dans cette forme une affaire de petits entiers plutôt que de longues suites de zéros. L’usage britannique appelle le plus souvent la même chose forme standard.
Qu’est-ce que la notation e, et pourquoi la page l’imprime-t-elle ?: C’est le même nombre en caractères ordinaires : « 4.5e4 » signifie 4,5 × 10⁴, et « 4.5e-4 » signifie 4,5 × 10⁻⁴. C’est ce qu’un programme, un tableur ou un moteur de recherche acceptera, donc la page l’imprime comme l’une des trois formes — c’est la version de la réponse qui peut être recollée directement dans un champ.
Pourquoi 0,1 + 0,2 donne-t-il exactement 0,3 ici ?: Parce que le résultat est arrondi à quinze chiffres significatifs avant d’être imprimé, et que la somme stockée vaut 0,30000000000000004 — la différence se situe au seizième et au dix-septième chiffre. Quinze chiffres n’est pas un nombre rond choisi pour faire joli : c’est la largeur d’affichage la plus grande pour laquelle toutes les valeurs que les champs acceptent sont imprimées exactement, si bien que 123 456 789 012 345 + 0 revient toujours comme 123 456 789 012 345 au lieu d’être arrondi à quelque chose de plus court.
Puis-je taper 4,5 × 10⁴ dans les champs ?: Non, et la page le dira. Reconnaître cette forme suppose d’en accepter plusieurs graphies — un signe de multiplication, un x, un astérisque, un exposant en caractères supérieurs, un accent circonflexe — et en lire une de travers revient à calculer avec le mauvais nombre. Tapez « 4.5e4 » ou 45 000 à la place ; les deux sont la même valeur, et la ligne en notation e de chaque réponse est écrite pour être recollée dans un champ.
Comment multiplier et diviser en notation scientifique ?: Multipliez les coefficients et additionnez les exposants pour un produit ; divisez les coefficients et soustrayez les exposants pour un quotient. Vérifiez ensuite que le coefficient est bien compris entre 1 et 10, et passez un facteur dix dans l’exposant sinon : 3,2 × 10⁵ fois 4 × 10⁻³ font 12,8 × 10², ce qui s’écrit 1,28 × 10³. L’addition et la soustraction demandent d’aligner les exposants d’abord, et c’est l’étape que la notation rend facile à sauter.
La réponse dit-elle combien de chiffres significatifs elle porte ?: Non. La réponse est un nombre calculé, et aucune largeur d’affichage ne peut vous dire combien de ses chiffres ont été mesurés — cela dépend de la précision des nombres entrés, et même de la question de savoir s’il s’agissait de mesures. Les zéros finaux sont supprimés pour la même raison : les garder suggérerait une précision que l’arithmétique n’a pas. Déterminer combien de chiffres significatifs une réponse mérite est le sujet de la page des chiffres significatifs.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de forme standardConvertit entre forme standard et nombres ordinaires.Calculatrice de chiffres significatifsCompte les chiffres significatifs et arrondit au rang voulu.Calculatrice de puissanceÉlève un nombre à une puissance, même négative.Calculatrice d’arrondiArrondit à un rang donné ou à des chiffres significatifs.