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CalcMax

Calculatrice de valeur de position

Résultat

2 × 100, 0 × 10, 5 × 1, 0 × 0.1, 4 × 0.01

Valeur des chiffres

Plus grande valeur de position
100
Plus petite valeur de position
0.01

La valeur de position est la règle qui fait dépendre le sens d’un chiffre de l’endroit où il est écrit, et non de sa forme. Le même 5 vaut cinq, cinquante ou cinq cents selon sa place, et dans 205,04 chacun des cinq chiffres a sa propre valeur : le 2 vaut 200, le 0 des dizaines ne vaut rien, le 5 vaut 5, le 0 des dixièmes ne vaut rien, et le 4 vaut 0,04. Cette calculatrice les liste tous les cinq, dans l’ordre de gauche à droite, sous la forme chiffre × valeur de position : 2 × 100, 0 × 10, 5 × 1, 0 × 0,1, 4 × 0,01. Les positions de part et d’autre du séparateur décimal sont l’image l’une de l’autre. À gauche les valeurs vont 1, 10, 100, 1 000, chacune dix fois la précédente ; à droite elles vont 0,1, 0,01, 0,001, chacune un dixième de la précédente. La position des unités se trouve entre les deux et sert de pivot : sa valeur est 1, et la valeur de n’importe quelle position s’écrit comme une puissance de dix dont l’exposant compte la distance à ce pivot, positif vers la gauche et négatif vers la droite. C’est tout ce que dit le tableau de numération plus bas, et ce tableau est fixe — c’est le mètre avec lequel les chiffres sont lus, pas la description d’une saisie particulière. Les zéros sont conservés. Une valeur de position est une propriété d’une position, et une position qui contient un zéro a malgré tout une valeur : c’est la seule raison pour laquelle 205 et 25 sont deux nombres différents, le zéro tient la place des dizaines ouverte. L’enlever de la liste, comme le fait la page de la forme développée quand elle transforme le même nombre en somme, reviendrait à cacher le chiffre qui fait ce travail. C’est aussi pourquoi les deux pages impriment des lignes différentes pour la même saisie sans qu’aucune des deux soit fausse : l’une est une liste de chiffres avec leur valeur, l’autre une somme des termes qui comptent. Deux détails sur la lecture de la saisie méritent d’être énoncés, parce que tous deux se prennent facilement pour des bogues. Les chiffres listés sont les chiffres tels qu’ils sont écrits, donc 1 200 garde ses deux zéros finaux et 0,004560 garde ses zéros de tête ; la calculatrice ne décide pas que certains d’entre eux ne méritent pas d’être mentionnés. Et en notation e, seul le coefficient est lu : « 4.5e4 » est une façon d’écrire 45 000 qui ne nomme que deux chiffres, donc cette page liste 4 × 10 000 et 5 × 1 000, ce qui donne 10 000 comme plus grande position plutôt que 100 000. La valeur du nombre est la même dans les deux cas ; ce qui change est le nombre de chiffres écrits, et cette page ne peut rendre que ceux qu’on lui a donnés. Un signe négatif ne fait partie de la valeur d’aucun chiffre, il n’apparaît donc pas dans la liste. Les deux dernières lignes du résultat répondent à une question que la liste rend pénible à trancher à l’œil quand le nombre est long : la plus grande et la plus petite position utilisées, imprimées sous forme de valeurs. Et ce que cette page ne fait pas, c’est dire comment un chiffre s’appelle. Elle dira que le 2 de 205,04 vaut 200, et non qu’il occupe le rang des centaines, parce que les noms s’épuisent : passé les centaines de mille il faudrait les dix-millièmes, les cent-millièmes et ainsi de suite, et une liste qui s’arrête est pire qu’une liste qui ne commence jamais. Si vous voulez les termes additionnés plutôt que listés, c’est la page de la forme développée ; si vous voulez le nombre replié en un coefficient et une puissance de dix, c’est la page de la forme standard.

La valeur de chaque position, des millions aux millièmes

valeur de positionnombre
1 × 10⁶1000000
1 × 10⁵100000
1 × 10⁴10000
1 × 10³1000
1 × 10²100
1 × 10¹10
1 × 10⁰1
1 × 10⁻¹0.1
1 × 10⁻²0.01
1 × 10⁻³0.001

Dix positions, écrites à la fois comme elles se nomment et comme elles se valent : les millions, les centaines de mille et les milliers à gauche, la position des unités au milieu, les dixièmes, les centièmes et les millièmes à droite. Lisez-la comme le mètre avec lequel la réponse ci-dessus est mesurée — le 2 de 205,04 se lit sur la ligne du 100 et le 4 sur celle du 0.01. Les deux lignes qui encadrent le milieu sont celles qui prennent les gens en défaut : 1 × 10⁰ vaut 1, la position des unités, donc les exposants ne commencent pas à 1 ; et 1 × 10⁻¹ vaut 0,1, la position des dixièmes, où le signe moins fait tout le travail de faire passer le chiffre de l’autre côté du séparateur décimal. Le tableau s’arrête aux millièmes à droite et aux millions à gauche, ce qui n’est pas une limite de la calculatrice — un nombre plus long obtient simplement une liste plus longue, les exposants continuant dans les deux sens. Chaque valeur est calculée par le même noyau que celui qui produit la réponse, donc une ligne ne peut pas la contredire. Cette table ne change pas quand la saisie change ; c’est un jeu de valeurs fixe à lire à côté de la réponse, et non un résultat. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (0.01 plutôt que 0,01), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte — et les milliers ne sont pas groupés (1000 plutôt que 1 000).

Formule

205,04 = 2 × 100 + 0 × 10 + 5 × 1 + 0 × 0,1 + 4 × 0,01 ; les valeurs de position suivent 10ⁿ avec n = 2, 1, 0, −1, −2 ; « 4.5e4 » liste 4 × 10 000 et 5 × 1 000, plus grande position 10 000, plus petite 1 000

205,04
Le nombre lu, donné en décimal ordinaire ou en notation e. Chacun de ses chiffres est listé dans l’ordre où il est écrit, si bien que la position de chaque terme dans la réponse correspond à la position du chiffre dans la saisie
0 × 10
Le terme d’un chiffre nul, conservé plutôt que supprimé. La position des dizaines de 205,04 contient un zéro, et c’est ce zéro qui fait que le nombre vaut 205 et non 25 : sa valeur de position est donc listée avec les autres, même si le chiffre n’ajoute rien au total
10ⁿ
La valeur de position de n’importe quelle place, où l’exposant compte les pas depuis la position des unités : positif pour les dizaines, les centaines et les milliers, nul aux unités elles-mêmes, négatif pour les dixièmes, les centièmes et les millièmes. L’exposant est l’adresse de la position
× 10
Le signe de multiplication de chaque terme. La ligne se lit chiffre fois valeur de position d’un bout à l’autre, et c’est ce qui rend visible que le chiffre 5 de 205,04 vaut cinq et non cinq cents, alors que les deux s’écrivent côte à côte dans la réponse
10 000 et 1 000
La plus grande et la plus petite position que le nombre utilise, imprimées sous forme de valeurs. Dans « 4.5e4 » ce sont 10 000 et 1 000, et non 10 000 et 1, parce que la notation e ne nomme que les chiffres du coefficient et que les zéros finaux du nombre écrit en toutes lettres n’en font pas partie
0,1 et 0,01
Deux valeurs de position prises à droite du séparateur décimal, imprimées en décimal plutôt qu’en puissance de dix parce que c’est ainsi qu’on les lit à voix haute. 0,1 est la position des dixièmes et 0,01 celle des centièmes, et chacune vaut un dixième de la position située à sa gauche

La valeur de position est la première idée de l’arithmétique, et toutes celles qui suivent en dépendent. C’est ce qu’un enfant apprend avec des jetons sur un tableau de numération, et c’est ce à quoi on fait appel des années plus tard dans chaque ligne d’une addition, d’une soustraction, d’une multiplication ou d’une division posée : ces méthodes ne fonctionnent que parce que deux chiffres d’une même colonne valent la même chose, et elles échouent pour quiconque n’y croit pas. La même idée est toute la compacité du système décimal — dix chiffres suffisent à écrire un nombre de n’importe quelle taille, parce que la position porte le reste de l’information — et c’est la première chose qu’il faut réapprendre, et non simplement étendre, quand une autre base arrive : un nombre binaire fonctionne exactement de la même façon avec des valeurs de position 1, 2, 4, 8 au lieu de 1, 10, 100, 1 000, ce qui explique que les pages de conversion binaire et celle-ci décrivent le même mécanisme. En mesure et en argent, le tableau est l’outil quotidien. Les positions des dixièmes et des centièmes sont ce que signifie une lecture à deux décimales, et savoir que les chiffres après le séparateur décimal valent de moins en moins est la différence entre lire 0,04 comme quatre centièmes et comme quatre. Les deux lignes sous la liste, la plus grande et la plus petite position, sont la réponse rapide à la question de la taille et de la finesse d’un nombre : une mesure relevée au millième revendique une précision différente d’une mesure relevée à l’unité, et cette revendication est faite par l’endroit où se trouve son dernier chiffre. Quand les chiffres doivent être additionnés plutôt que listés, c’est la page de la forme développée qui s’en charge. Quand ils doivent être résumés en un coefficient et un exposant, c’est la page de la forme standard.

Exemples détaillés

  1. Un nombre avec un chiffre de chaque côté du séparateur : 205,04

    1. Lisez les chiffres de gauche à droite : 2, 0, 5, 0, 4
    2. Le 2 est à trois places à gauche des unités : 2 × 100
    3. Le 0 des dizaines garde son terme : 0 × 10
    4. Le 5 occupe la position des unités, dont la valeur est 1, donc son terme est 5 × 1
    5. Le 0 des dixièmes garde son terme : 0 × 0,1
    6. Le 4 est à deux places à droite des unités, dans les centièmes : 4 × 0,01
    7. La plus grande position utilisée est 100 et la plus petite 0,01 : le nombre va donc des centaines aux centièmes

    Le cas par défaut, et celui qui porte un zéro de chaque côté du séparateur décimal, si bien que les deux directions du miroir sont visibles en même temps. Comparez-le avec la même saisie sur la page de la forme développée, qui répond 200 + 5 + 0,04 : trois termes contre cinq. Les deux termes qui diffèrent sont exactement les deux zéros, et la raison est que l’une des pages liste des positions tandis que l’autre additionne des quantités.

  2. Un nombre entier avec des zéros finaux : 1 200

    1. Les chiffres sont 1, 2, 0, 0 et les positions se suivent : milliers, centaines, dizaines, unités
    2. Le 1 vaut 1 000 et le 2 vaut 200
    3. Les deux zéros sont conservés comme termes, parce que les positions qu’ils occupent existent bel et bien : 0 × 10 et 0 × 1
    4. La plus grande position utilisée est celle des milliers et la plus petite celle des unités, dont la valeur est 1

    Les zéros sont ici tout le sujet. Les enlever donnerait 1 × 1 000 et 2 × 100, ce que fait la page de la forme développée et qui y est une réponse parfaitement correcte, puisqu’une somme n’a pas besoin de termes nuls. Ici ils sont gardés parce que les positions des dizaines et des unités sont des positions réelles du nombre 1 200, et qu’un lecteur qui vérifie une soustraction posée a besoin de savoir qu’elles sont occupées. Remarquez aussi que la plus petite position est 1 et non 0,01 : le nombre n’a pas de séparateur décimal, donc son dernier chiffre se trouve à la position des unités et c’est aussi fin que possible ici.

  3. Une valeur écrite en notation e : « 4.5e4 »

    1. « 4.5e4 » est une façon d’écrire 45 000, mais elle ne nomme que les chiffres 4 et 5
    2. Le 4 est le premier chiffre du coefficient, il tombe donc à la position des dizaines de mille : 4 × 10 000
    3. Le 5 est le deuxième chiffre, il tombe donc à la position des milliers : 5 × 1 000
    4. Les trois zéros qui complètent 45 000 ne sont pas écrits dans la saisie, ils ne sont donc pas listés
    5. La plus grande position est 10 000 et la plus petite 1 000 — et non 1

    Le cas qui ressemble à un bogue sans en être un. Tapez 45 000 et la liste descend jusqu’aux unités ; tapez « 4.5e4 » et elle s’arrête aux milliers, parce que la notation e porte la taille du nombre dans son exposant plutôt que dans des zéros écrits, et que cette page lit les chiffres qu’on lui a donnés. Les deux saisies décrivent le même nombre, et la seconde en nomme simplement moins de chiffres. L’exposant contenu dans la notation n’est pas non plus développé en termes de position, car un terme tel que 0 × 100 serait cette page inventant des chiffres pour une saisie qui ne les a jamais écrits.

Limites

La liste est aussi longue que le nombre de chiffres écrits, et non que la largeur totale du nombre. « 4.5e4 » produit deux termes plutôt que cinq, et sa plus petite position est 1 000 plutôt que 1, parce que la saisie ne nomme que deux chiffres. Écrivez le nombre en toutes lettres, 45 000, pour voir toutes les positions jusqu’aux unités. Les noms de position ne sont pas imprimés. La réponse dit que le premier chiffre de 205,04 vaut 200 et jamais qu’il occupe le rang des centaines, parce qu’une liste de noms de position devrait s’arrêter quelque part : il lui faudrait les dix-millièmes et les cent-millièmes passé un certain point, et un tableau qui tombe à court de mots à mi-chemin est pire qu’un tableau qui utilise des exposants et n’en manque jamais. Les écritures composées sont refusées, donc 2 × 10² n’est pas une saisie valable ; utilisez 200 ou « 2e2 ». Les séparateurs de milliers le sont aussi, donc « 1,200 » est une erreur et non 1 200 : une virgule entre deux chiffres est le séparateur décimal, et deviner laquelle des deux lectures vous vouliez mettrait un mauvais nombre dans le calcul. Les saisies sont limitées à quinze chiffres significatifs et à un exposant compris entre −99 et 99, et un zéro de tête dans un entier écrit n’est pas conservé — « 007 » se lit 7, dont la seule position est celle des unités. Le signe négatif n’apparaît pas dans la liste, parce qu’il est une propriété du nombre et non d’un chiffre : −205,04 produit les mêmes cinq termes que 205,04. Rien n’est additionné et rien n’est arrondi, donc la réponse ne dit jamais à quoi les chiffres aboutissent une fois additionnés ; cela, c’est la page de la forme développée. Et le tableau plus bas est un jeu fixe de puissances de dix, pas une description de la saisie faite au-dessus.

Questions fréquentes

Qu’est-ce que la valeur de position ?
La règle qui fait venir la valeur d’un chiffre de l’endroit où il est écrit plutôt que de son dessin. Le chiffre 5, dans 5, dans 25 et dans 205,04, vaut respectivement 5, 50 et 0,05, parce qu’il n’occupe pas la même place chaque fois. Chaque position vaut dix fois celle qui se trouve à sa droite, et c’est ce qui permet à dix chiffres d’écrire un nombre de n’importe quelle taille.
Pourquoi les zéros sont-ils conservés dans la liste ici ?
Parce qu’une valeur de position appartient à une position, et qu’une position contenant un zéro tient malgré tout cette place ouverte — le zéro de 205 est ce qui fait que le nombre vaut 205 et non 25. Cette page liste des chiffres et leurs positions, elle les garde donc. La page de la forme développée transforme le même nombre en somme et les laisse de côté, puisqu’un terme nul n’ajoute rien ; les deux réponses diffèrent et toutes deux sont justes.
Pourquoi « 4.5e4 » ne liste-t-il aucune position sous les milliers ?
Parce que la notation e porte la taille du nombre dans son exposant plutôt que dans des zéros écrits, et que cette page lit les chiffres qu’on lui a donnés. « 4.5e4 » ne nomme que deux chiffres, donc la liste compte deux termes, 4 × 10 000 et 5 × 1 000, et la plus petite position est 1 000. Tapez 45 000 à la place et le même nombre liste toutes les positions jusqu’aux unités. C’est la même quantité dans les deux cas ; seul le nombre de chiffres écrits a changé.
Que sont les positions des dixièmes, des centièmes et des millièmes ?
Les trois positions situées immédiatement à droite du séparateur décimal, qui valent 0,1, 0,01 et 0,001. Chacune vaut un dixième de celle qui est à sa gauche, et leurs noms disent la même chose que leurs valeurs : la position des dixièmes est celle où un chiffre vaut un dixième, celle des centièmes où il vaut un centième. Ainsi 0,04 vaut quatre centièmes et non quatre dixièmes, et le 4 se trouve à deux places à droite des unités.
Pourquoi la réponse imprime-t-elle 2 × 100 plutôt que 2 centaines ?
Parce qu’une liste de noms de position doit s’arrêter quelque part. Au-delà des centaines de mille et des millièmes, le tableau aurait besoin de noms que la plupart des lecteurs n’ont jamais employés, et un tableau qui tombe à court de mots à mi-parcours est pire qu’un tableau qui évalue chaque position comme une puissance de dix et n’en manque jamais. La valeur dit la même chose dans les deux cas : 2 × 100 et deux centaines sont une seule position, décrite de deux façons.
Cette page donne-t-elle la somme des chiffres ?
Non. Elle liste chaque chiffre avec la valeur de sa position et s’arrête là ; les termes additionnés redonnent la saisie, mais la page ne fait jamais cette addition. Si ce que vous voulez est le nombre écrit comme la somme de ses valeurs de position, c’est la calculatrice de forme développée, qui utilise les mêmes positions comme termes et laisse de côté celles qui valent zéro.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice de forme développéeÉcrit un nombre en forme développée, chiffre par chiffre.Calculatrice de chiffres significatifsCompte les chiffres significatifs et arrondit au rang voulu.Calculatrice de forme standardConvertit entre forme standard et nombres ordinaires.Convertisseur de binaire en décimalConvertit un binaire en décimal avec les valeurs de rang.