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CalcMax

Calculatrice de losange

Intervalle : 0 cm – 1 000 000 000 cm

Intervalle : 0 ° – 180 °

Résultat

21,6506 cm²

Aire

Périmètre
20,0000 cm
Diagonale 1
8,6603 cm
Diagonale 2
5,0000 cm
Hauteur
4,3301 cm

Une calculatrice de losange prend la longueur d’un côté et la taille d’un angle et renvoie le reste de la figure : l’aire, le périmètre, les deux diagonales et la hauteur. Un losange est une figure à quatre côtés tous égaux et à côtés opposés parallèles — un carré qu’on a fait pencher — donc un seul côté fixe immédiatement le périmètre, à quatre fois ce côté, et l’angle décide de tout le reste. C’est ce partage qui explique que cette page demande deux nombres plutôt qu’un : le côté dit de quelle longueur sont les arêtes, l’angle dit de combien la forme a été penchée, et les deux ensemble suffisent exactement à fixer la figure. Prenez un côté de 5 centimètres. Dressez-le bien droit, à 90 degrés, et il couvre 25 centimètres carrés, ce qui est le maximum qu’un losange de ce côté puisse couvrir. Penchez-le à 60 degrés et les quatre mêmes arêtes renferment 21,6506, environ treize pour cent de moins, avec des diagonales devenues 8,6603 et 5 et une hauteur de 4,3301. Penchez-le davantage, à 30 degrés, et l’aire tombe à 12,5 tandis que le périmètre reste à 20 tout du long. Voilà le fait que cette page est faite pour montrer : pencher un losange ne change jamais son périmètre et lui coûte toujours de l’aire, et ce coût atteint tout — les deux diagonales se déplacent en sens opposés à mesure que la forme se penche, l’une grandissant pendant que l’autre diminue, et la hauteur s’éloigne vers zéro. La ligne la plus utile du tableau plus bas est la troisième. Un côté de 5 à 73,74 degrés donne des diagonales de 8 et 6 exactement, et une aire de 24 — c’est le même losange que la calculatrice d’aire de losange prend comme point de départ quand vous lui donnez les diagonales 6 et 8. La moitié de 6 fait 3 et la moitié de 8 fait 4, et un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit valent 3 et 4 a une hypoténuse de 5, d’où vient le côté ; l’angle 73,74 est le double des 36,87 degrés que porte ce triangle. Saisissez l’un ou l’autre couple et la réponse est 24, et avoir les deux sur le même écran est la vérification la plus nette que les deux formules décrivent une seule figure. Le champ de l’angle accepte les degrés, les radians et les grades, et l’un quelconque des quatre angles convient, parce que le losange a deux angles d’une taille et deux de l’autre, et que le sinus d’un angle égale le sinus de son supplément — 60 et 120 donnent la même aire. Ce sont d’ailleurs le même losange : même aire, même périmètre, même hauteur, les deux diagonales échangeant simplement leurs places, puisque celle qu’on appelle la première dépend du sommet où l’angle a été mesuré. Un angle de 0 ou de 180 est accepté et donne une aire nulle, ce qui est la lecture honnête d’une forme complètement aplatie ; un angle négatif, ou supérieur à 180, est signalé comme une erreur. Si vous avez les diagonales plutôt qu’un côté et un angle, la calculatrice d’aire de losange les prend directement ; si vous ne voulez que l’aire à partir des deux entrées de cette page, ce même outil accepte aussi la route du côté et de l’angle.

Des losanges par leur côté et leur angle, avec les quatre relevés que chacun donne

Côté (cm)Angle au sommet (°)Diagonale 1 (cm)Diagonale 2 (cm)Périmètre (cm)Aire (cm²)
5608.660352021.6506
5907.07117.07112025
573.74862024
4307.72742.0706168
6120610.39232431.1769
104518.47767.65374070.7107
1101.99240.174340.1736
0600000

Huit losanges, et chaque ligne montre la même règle sous un penchement différent. La première ligne est celle avec laquelle la page se charge, et la troisième est celle qu’il faut vérifier contre un autre outil : un côté de 5 à 73,74 degrés a des diagonales de 8 et 6 exactement et une aire de 24, ce qui est le même losange que construit la calculatrice d’aire de losange quand vous lui donnez ces deux diagonales. La colonne du périmètre ne bouge jamais, à 20 pour chaque ligne de côté 5 et à 16 pour la ligne de côté 4, parce qu’aucun penchement ne touche les arêtes — cette colonne et celle de l’aire côte à côte sont l’énoncé le plus net de ce que pencher coûte. Surveillez les deux colonnes de diagonales à mesure que la forme se penche. La première ligne, un côté de 5 à 60 degrés, a sa diagonale longue dans la première colonne, 8,6603 contre 5 ; la cinquième ligne, un côté de 6 à 120 degrés, a la longue dans la seconde colonne, 10,3923 contre 6. Ces deux lignes ne sont pas le même losange, puisque les côtés diffèrent, mais à elles deux elles montrent la règle du supplément : le sinus de 120 degrés égale celui de 60, donc pencher un losange d’un angle aigu vers son supplément conserve les deux mêmes longueurs de diagonales et échange simplement la colonne où chacune se range. La deuxième ligne est l’angle droit, le seul penchement où les deux colonnes se rejoignent, toutes deux à 7,0711. La quatrième ligne est la plus penchée, un côté de 4 à 30 degrés, avec des diagonales de 7,7274 et 2,0706 — la longue vaut presque le double du côté et la courte à peine plus de la moitié. La dernière ligne a un côté de 0 et donne des zéros partout — un losange sans taille, auquel la page répond plutôt que de le refuser. Chaque cellule est recalculée à partir de sa ligne au moment où la page est construite, en centimètres, en degrés et en centimètres carrés. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (8.6603 plutôt que 8,6603), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

A = c² × sin(θ) P = 4c d₁ = 2c × cos(θ ÷ 2) d₂ = 2c × sin(θ ÷ 2) h = c × sin(θ)

c
La longueur d’un côté, en centimètres. Les quatre côtés sont égaux, donc en mesurer un suffit, et il fixe le périmètre à lui seul, à 4c. Il ne fixe pas l’aire : un losange de côté 5 couvre n’importe quoi depuis 0 jusqu’à 25 centimètres carrés selon de combien il a été penché, ce qui explique que l’angle soit nécessaire en plus
θ
L’un quelconque des quatre angles, en degrés, en radians ou en grades. Le losange a deux angles d’une taille et deux de l’autre, et les deux tailles s’additionnent en 180, donc les sommets opposés sont égaux et les sommets voisins supplémentaires. L’un quelconque des quatre marche dans toutes les formules de cette page, parce que le sinus d’un angle et le sinus de son supplément sont égaux — un angle de 60 et un angle de 120 décrivent le même losange : même aire, même périmètre et même hauteur, les deux diagonales échangeant leurs places
A
L’aire, en centimètres carrés : le côté au carré multiplié par le sinus de l’angle. Elle est maximale quand l’angle est droit, là où le sinus vaut 1 et où le losange est un carré, et elle tombe à zéro à mesure que l’angle s’approche de 0 ou de 180 et que la forme s’aplatit en une ligne. Elle est imprimée à quatre décimales, la même largeur que les autres pages d’aire de ce sous-groupe
P
Le périmètre, en centimètres : quatre fois le côté. C’est le seul relevé de cette page qui ignore complètement l’angle, parce que pencher la forme déplace les sommets sans changer les arêtes. Un losange de côté 5 a un périmètre de 20 qu’il soit un carré ou presque plat, ce qui fait du périmètre un mauvais guide de la surface couverte et un bon guide de la longueur de bordure nécessaire
d₁, d₂
Les deux diagonales, en centimètres : les segments qui joignent les sommets opposés. Elles se coupent à angle droit et se coupent en leur milieu, et chacune vaut deux fois le côté multiplié par le cosinus ou le sinus de la moitié de l’angle. À mesure que le losange se penche, l’une grandit et l’autre diminue — pour un côté de 5, les deux valent 7,0711 à 90 degrés, 8,6603 et 5 à 60 degrés, et 9,6593 et 2,5882 à 30 degrés — et la moitié de leur produit donne l’aire, ce qui est l’autre route vers la même figure
h
La hauteur, en centimètres : la distance perpendiculaire entre un côté et le côté opposé, c’est-à-dire le côté multiplié par le sinus de l’angle. C’est la hauteur qu’on emploierait avec la formule base fois hauteur, donc un losange de côté 5 à 60 degrés a une hauteur de 4,3301 et une aire de 5 × 4,3301 = 21,6506. Elle tombe à zéro à mesure que la forme s’aplatit, et elle n’égale le côté que lorsque le losange est un carré

Employez cette page quand un losange est décrit par son arête et son coin, ce qui est la façon dont la forme est spécifiée à l’avance : un carreau en losange annoncé à 5 centimètres avec un angle de 60 degrés, un motif de carrelage, une plaque métallique découpée d’après un plan, un cerf-volant dont les quatre arêtes sont égales. Cette description est celle que porte un dessin, et c’est celle qui répond à la question que la route des diagonales ne sait pas traiter : qu’arrive-t-il à l’aire si je penche la forme davantage ? Pour un côté de 5, la réponse va de 25 centimètres carrés à angle droit jusqu’à 12,5 à 30 degrés et 4,3412 à 10 degrés, et toutes ces formes ont un périmètre de 20. Employez plutôt la calculatrice d’aire de losange quand ce sont les diagonales que vous avez mesurées — ce sont les deux distances qui traversent une forme finie, et elles sont en général plus faciles à mesurer au mètre ruban qu’un angle — ou quand l’aire est le seul relevé qui vous intéresse. Employez la calculatrice d’aire du parallélogramme quand la hauteur est une longueur que vous connaissez déjà, puisque cette page prend une base et une hauteur perpendiculaire directement au lieu de déduire la hauteur de l’angle. Et employez la calculatrice de carré quand le losange se révèle être un carré : saisissez un angle droit ici et les diagonales reviennent égales et la hauteur revient égale au côté, ce qui est ce qui fait du carré le plus grand losange d’un côté donné.

Exemples détaillés

  1. Un côté de 5 centimètres à 60 degrés

    1. Sinus de l’angle : sin 60° = 0,866025…
    2. Aire : 5 × 5 × 0,866025… = 21,650635…, soit 21,6506
    3. Périmètre : 4 × 5 = 20
    4. La moitié de l’angle fait 30° ; cosinus 0,866025…, sinus 0,5
    5. Diagonale longue : 2 × 5 × 0,866025… = 8,660254…, soit 8,6603
    6. Diagonale courte : 2 × 5 × 0,5 = 5
    7. Hauteur : 5 × 0,866025… = 4,330127…, soit 4,3301

    La ligne avec laquelle la page se charge, et celle qui montre toute la figure d’un coup. Deux des cinq relevés viennent directement du côté — le périmètre vaut 20 et rien de ce qui touche à l’angle ne peut y changer quelque chose — et les trois autres portent tous le facteur 0,866 de l’angle de 60 degrés, qui est le même nombre que celui qui apparaît dans l’aire du triangle équilatéral. La hauteur de 4,3301 vaut la peine d’être comparée au côté de 5 : pencher le carré jusqu’à 60 degrés a coûté à la forme environ treize pour cent de sa hauteur — sin 60° vaut 0,866, donc la perte est de 1 − 0,866, un septième de la hauteur plutôt qu’un sixième — et l’aire a baissé dans la même proportion, de 25 à 21,6506.

  2. Un côté de 5 centimètres à angle droit

    1. Sinus d’un angle droit : 1
    2. Aire : 5 × 5 × 1 = 25
    3. Périmètre : 4 × 5 = 20
    4. La moitié de l’angle fait 45° ; cosinus et sinus valent tous deux 0,707106…
    5. Les deux diagonales : 2 × 5 × 0,707106… = 7,071067…, soit 7,0711
    6. Hauteur : 5 × 1 = 5

    Un carré, c’est-à-dire ce que devient un losange quand on ne l’a pas penché du tout. Chaque relevé y est un maximum ou une coïncidence qui vaut la peine d’être connue : l’aire de 25 est la plus grande qu’un losange de côté 5 puisse avoir, la hauteur a monté jusqu’au côté lui-même, et les deux diagonales se sont rejointes au milieu à 7,0711 — la racine carrée de cinquante, c’est-à-dire le côté multiplié par la racine carrée de deux. Le périmètre vaut toujours 20, le même que celui du losange à 60 degrés ci-dessus, ce qui est la façon la plus nette de voir que le périmètre ne dit rien de la surface couverte.

  3. Un côté de 5 centimètres à 73,74 degrés

    1. La moitié de l’angle fait 36,869897…°, dont le cosinus vaut 0,8 et le sinus 0,6
    2. Diagonale longue : 2 × 5 × 0,8 = 8
    3. Diagonale courte : 2 × 5 × 0,6 = 6
    4. Aire : 5 × 5 × sin 73,739795…° = 25 × 0,96 = 24
    5. Périmètre : 4 × 5 = 20
    6. Hauteur : 5 × 0,96 = 4,8

    La ligne qui rattache cette page à la calculatrice d’aire de losange. Des diagonales de 8 et 6 imposent un côté de 5 — les moitiés font 4 et 3, et un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit valent ceux-là a une hypoténuse de 5 — et l’angle qui va avec ce côté est 73,74 degrés. Cette page et l’autre se rejoignent donc à 24 centimètres carrés, atteints ici par un côté et un angle et là par deux diagonales. Les 0,8 et 0,6 des étapes sont le triangle 3-4-5 qui transparaît : tout losange dont les diagonales sont dans le rapport de 4 à 3 a ces angles et cette relation entre le côté et les diagonales, ce qui explique que les nombres tombent rond.

  4. Un côté de 5 centimètres à 0 degré

    1. Sinus de 0° : 0
    2. Aire : 5 × 5 × 0 = 0
    3. Périmètre : 4 × 5 = 20
    4. Diagonale longue : 2 × 5 × cos 0° = 2 × 5 × 1 = 10
    5. Diagonale courte : 2 × 5 × sin 0° = 0
    6. Hauteur : 5 × 0 = 0

    Un losange complètement aplati sur l’un de ses propres côtés, et la page répond au lieu de refuser : l’aire vaut 0, la hauteur vaut 0, et la forme est devenue une ligne doublée de longueur 10, ce qui explique que la diagonale longue ait monté jusqu’aux 10 entiers et que la courte ait disparu. Le seul relevé qui survit est le périmètre, toujours 20, parce que les quatre arêtes sont encore là même si la forme qu’elles renfermaient ne l’est plus. C’est la limite de ce que la page accepte : un angle négatif est refusé comme une erreur, mais 0 et 180 sont des configurations réelles et reçoivent une réponse.

Limites

Cette page décrit un losange à partir d’un côté et d’un angle, et elle s’arrête là. Elle ne fonctionne pas à l’envers : il n’y a pas de route qui mène d’une aire, d’une diagonale ou d’une hauteur à la forme qui les produit, donc la question qu’un fabricant pose réellement — quel angle me donne 24 centimètres carrés pour un côté de 5 — demande de calculer le sinus à la main, et la réponse est 73,74 degrés. Toutes les sorties sont en centimètres, en centimètres carrés et en degrés quelles que soient les unités choisies pour les entrées : les listes du champ du côté convertissent cette longueur en centimètres, et le champ de l’angle change la façon dont le nombre est lu, mais ni l’une ni l’autre ne change l’unité dans laquelle les réponses sont imprimées. C’est un vrai piège avec le champ de l’angle, parce que 60 radians n’est pas 60 degrés et que la page calculera la figure pour l’unité sélectionnée plutôt que de signaler que le nombre est bien trop grand pour un angle ; si un résultat paraît impossible, le sélecteur d’unité est la première chose à vérifier. L’angle est accepté de 0 à 180 degrés et hors de cette plage la page signale une erreur, ce qui suppose discrètement que vous parliez de l’angle intérieur — un angle donné comme l’angle extérieur, ou comme la direction d’un côté, produira une figure fausse plutôt qu’une erreur. Un angle exactement égal à 0 ou à 180 donne une aire de 0 et une diagonale de 0, ce qui est la réponse honnête pour une forme aplatie mais rarement ce que quelqu’un cherche, et la page ne prévient pas que la figure qu’elle vient de décrire est dégénérée. Le côté est limité à un milliard de centimètres, ce qui est une limite sur l’arithmétique exacte plutôt que sur la géométrie. Les quatre décimales sont une largeur d’affichage partagée avec les autres pages d’aire de ce sous-groupe et non une prétention à la précision : un angle lu au degré près déplace l’aire d’environ un pour cent, bien plus que la quatrième décimale. La page suppose que la forme est vraiment un losange, avec quatre côtés égaux et des côtés opposés parallèles ; un quadrilatère qui l’est presque sans l’être tout à fait recevra une réponse comme s’il l’était, et la calculatrice d’aire de losange est la page à employer si ce que vous avez mesuré ce sont les diagonales d’une forme dont vous n’êtes pas sûr. Rien ici ne tient compte des chutes, de la largeur de trait ni des joints entre les carreaux, donc l’aire renvoyée est celle de la forme et non la quantité de matériau à commander.

Questions fréquentes

Que peut-on déduire d’un losange à partir d’un côté et d’un angle ?
Tout ce que la figure possède : l’aire, le périmètre, les deux diagonales et la hauteur. Un seul côté fixe le périmètre à quatre fois sa longueur, et l’angle fixe ensuite le reste, parce que le losange n’a pas d’autre liberté — une fois les arêtes posées, la pencher est la seule chose qui la change. Un côté de 5 à 60 degrés donne une aire de 21,6506 centimètres carrés, un périmètre de 20, des diagonales de 8,6603 et 5, et une hauteur de 4,3301.
Lequel des quatre angles faut-il saisir ?
N’importe lequel : l’aire, le périmètre et la hauteur sortent identiques quel que soit celui que vous choisissez, parce que chaque formule de cette page utilise le sinus de l’angle et que le sinus d’un angle égale le sinus de son supplément — sin 60 et sin 120 valent tous deux 0,866. Les deux diagonales sortent comme le même couple de longueurs, mais échangées entre leurs deux lignes, puisque celle qui est la plus longue dépend du sommet où l’angle a été mesuré. Un losange a deux angles d’une taille et deux de l’autre, les sommets voisins s’additionnant en 180 degrés, donc saisir 60 et saisir 120 décrivent la même forme.
Pencher un losange change-t-il son périmètre ?
Non. Le périmètre vaut quatre fois le côté et le côté ne change jamais, donc un losange de côté 5 a un périmètre de 20 qu’il soit un carré ou presque plat. Ce que pencher change, c’est tout le reste : l’aire tombe de 25 centimètres carrés à angle droit jusqu’à 21,6506 à 60 degrés et 4,3412 à 10 degrés. C’est pourquoi le périmètre est un mauvais guide de la surface couverte et un bon guide de la longueur de bordure ou de cadre nécessaire.
Quel rapport les deux diagonales ont-elles avec le côté et l’angle ?
Chacune vaut deux fois le côté multiplié par le cosinus ou le sinus de la moitié de l’angle : la longue est 2c × cos(θ ÷ 2) et la courte 2c × sin(θ ÷ 2). Pour un côté de 5 et un angle de 60 degrés, cela donne 8,6603 et 5 ; à 90 degrés les deux valent 7,0711, ce qui est ce qui rend égales les diagonales d’un carré. La moitié de leur produit donne l’aire, ce qui est la formule qu’emploie la calculatrice d’aire de losange quand vous lui donnez les diagonales.
Quelle est la plus grande aire qu’un losange d’un côté donné puisse avoir ?
Le carré, avec une aire égale au côté au carré. Un losange de côté 5 couvre 25 centimètres carrés à angle droit, et tout autre angle donne moins : 21,6506 à 60 degrés, 12,5 à 30 et 4,3412 à 10. La raison est dans la formule, puisque le sinus de l’angle vaut au plus 1 et l’atteint à 90 degrés. Si vous choisissez un angle de sommet pour un carreau ou un panneau et que vous voulez la couverture maximale pour une longueur d’arête donnée, choisissez l’angle droit.
Que se passe-t-il pour un angle de 0 ou de 180 degrés ?
L’aire revient à 0 et la hauteur aussi, avec un périmètre toujours à 20. Ce sont des réponses honnêtes plutôt que des erreurs : à 0 degré la forme a été aplatie sur l’un de ses propres côtés et ne renferme plus rien, tandis que les quatre arêtes sont toujours là, ce qui explique que la diagonale longue se soit étirée jusqu’à 10 et que la courte ait disparu. Les angles hors de la plage 0 à 180 sont en revanche signalés comme des erreurs, puisque la page suppose que le nombre que vous avez donné est l’angle intérieur.

Références

Calculatrices liées

Calculatrice d’aire de losangeAire d’un losange selon les diagonales ou un côté.Calculatrice d’aire de parallélogrammeAire et périmètre d’un parallélogramme quelconque.Calculatrice de carréCôté, périmètre ou aire d’un carré, et sa diagonale.Calculatrice d’aire de triangleAire d’un triangle par la base et la hauteur.