Calculatrice d’aire de losange

A = (d₁ × d₂) ÷ 2 A = c² × sin(θ)

d₁, d₂

Les deux diagonales, en centimètres : les segments qui joignent les sommets opposés. Dans un losange elles se coupent à angle droit et se coupent en leur milieu, ce qui est ce qui fait fonctionner la première formule. Dans un carré les deux sont égales, donc saisir deux fois le même nombre est correct et non une erreur

c

La longueur d’un côté, en centimètres. Les quatre sont égaux, donc un seul suffit. À lui seul il ne détermine pas l’aire — un losange de côté 5 peut avoir n’importe quelle aire depuis presque rien jusqu’à 25 — ce qui explique que cette route ait aussi besoin d’un angle

θ

L’un quelconque des quatre angles, en degrés, en radians ou en grades. Le losange a deux angles d’une taille et deux de l’autre, et les deux tailles s’additionnent en 180 ; l’une ou l’autre convient dans la formule, parce que le sinus d’un angle et le sinus de son supplément sont égaux. C’est pourquoi la page ne se soucie pas de savoir lequel des quatre vous avez mesuré

A

L’aire, en centimètres carrés : la moitié du produit des diagonales, ou le côté au carré multiplié par le sinus d’un angle. Les deux expressions donnent le même nombre pour le même losange. Elle est imprimée à quatre décimales, la même largeur que les autres pages d’aire de ce sous-groupe

÷ 2

La moitié dans la formule des diagonales. Elle est là parce que les deux diagonales découpent le losange en quatre triangles rectangles et que le produit des diagonales compte deux fois le rectangle qui les entoure — le losange est la moitié du rectangle dont les diagonales sont les côtés, ce qui est la façon la plus nette de voir d’où vient la formule

sin(θ)

Le sinus de l’angle, c’est-à-dire le facteur qui mesure de combien le losange a été penché. Il vaut 1 à angle droit, donc un carré a la plus grande aire de tous les losanges de ce côté ; il tend vers 0 à mesure que la forme s’aplatit, donc un losange presque couché n’a presque plus d’aire. Il culmine à 90 degrés et il est symétrique autour de cette valeur, ce qui explique qu’un angle de 60 et un angle de 120 donnent la même aire

Employez la route des diagonales quand le losange est défini par ses diagonales, ce qui est le cas habituel de tout ce qu’on trace au sol ou qu’on découpe dans une plaque : un pavé, un cerf-volant, un panneau décoratif, un carreau de fenêtre posé de biais. Les diagonales sont ce qu’on mesure sur un losange fini, parce que ce sont les deux distances qui le traversent, et la moitié de leur produit est l’aire — pour le cas 6 par 8, 24 centimètres carrés. Employez la route du côté et de l’angle quand la forme est définie par ses bords et ses coins, ce qui est le cas habituel de tout ce qui est spécifié à l’avance : un carreau annoncé à 5 centimètres avec un angle de 60 degrés, un motif en losange dans un carrelage, une plaque découpée d’après un plan. Cette route répond aussi à la question que la route des diagonales ne sait pas traiter, à savoir de combien l’aire change quand on penche la forme : pour un côté de 5, un losange de 60 degrés couvre 21,6506 et un losange de 90 degrés couvre 25, donc le pencher jusque-là coûte environ 13 pour cent de l’aire, et le pencher davantage coûte plus. Deux formes particulières valent la peine d’être essayées. Saisissez le même nombre pour les deux diagonales et vous avez un carré — 10 et 10 donnent 50, avec un côté de 7,0711 — qui est la plus grande aire qu’un losange de cette diagonale puisse avoir, et un point de repère utile. Et saisissez un angle très petit et l’aire tend vers zéro : un losange penché à 10 degrés garde exactement la même longueur de côté et n’a presque plus d’aire, ce qui est la démonstration que le côté seul ne suffit pas à déterminer l’aire. Si vous comparez cette page à la calculatrice d’aire du parallélogramme, celle-ci prend une base et une hauteur perpendiculaire, ce qui marche aussi pour un losange — la hauteur est le côté multiplié par le sinus de l’angle — mais vous demande une distance que vous auriez à calculer plutôt qu’à mesurer. Et si vous cherchez le périmètre, c’est quatre fois le côté, la seule grandeur du losange qui n’ait pas besoin d’angle du tout.

1. Des diagonales de 6 et 8

   1. Produit des diagonales : 6 × 8 = 48
   2. Prenez la moitié : 48 ÷ 2 = 24

   L’entrée avec laquelle la page se charge, et le losange autour duquel toute la page est construite, parce que c’est celui dont les deux routes se vérifient à la main. Ses diagonales de 6 et 8 imposent un côté de 5 — la moitié de chaque diagonale fait 3 et 4, et le triangle de ces côtés de l’angle droit a une hypoténuse de 5 — et l’angle qui va avec ce côté est 73,74 degrés. L’autre route, un côté de 5 avec un angle de 73,74, donne donc le même 24, et le tableau plus bas imprime cette ligne. C’est la démonstration la plus nette de la page que les deux formules décrivent une seule forme et non deux.

2. Un côté de 5 et un angle de 60 degrés

   1. Sinus de l’angle : sin 60° = 0,866025…
   2. Côté au carré : 5 × 5 = 25
   3. Aire : 25 × 0,866025… = 21,650635…, soit 21,6506

   La route du côté et de l’angle, et la ligne qui montre ce que coûte le fait de pencher un carré. Un carré de côté 5 couvre 25 centimètres carrés ; penché à 60 degrés, les quatre mêmes côtés en renferment 21,6506, soit un peu plus de 13 pour cent de moins. Le 0,866 est le sinus de 60 degrés, c’est-à-dire la moitié de la racine carrée de trois, et c’est le même nombre qui apparaît dans l’aire du triangle équilatéral — les deux sont la même géométrie vue de deux directions.

3. Un côté de 5 et un angle droit

   1. Sinus de l’angle : sin 90° = 1
   2. Côté au carré : 5 × 5 = 25
   3. Aire : 25 × 1 = 25

   Un carré, c’est-à-dire un losange dont on n’a penché aucun angle. Le sinus d’un angle droit vaut 1, donc la seconde formule se réduit au côté au carré et donne la plus grande aire qu’un losange de côté 5 puisse avoir. Tout autre angle donne moins : à 45 degrés ce serait 17,6777, à 30 degrés 12,5, et à 10 degrés 4,3412. Que le carré soit le maximum vaut la peine d’être su avant de choisir un angle pour un panneau ou un carreau, puisque la forme qui couvre le plus de terrain avec une arête donnée est celle qu’on a le moins penchée.

4. Des diagonales de 5 et 12

   1. Produit des diagonales : 5 × 12 = 60
   2. Prenez la moitié : 60 ÷ 2 = 30

   Un losange long et fin, et une ligne facile à vérifier contre son côté : la moitié de 5 fait 2,5 et la moitié de 12 fait 6, donc le côté est l’hypoténuse d’un triangle de 2,5 par 6, soit 6,5. Cela correspond à la colonne des côtés du tableau. L’aire de 30 rappelle utilement que les deux routes ne sont pas interchangeables en commodité — le périmètre de cette forme vaut 26 et l’aire 30, ce qui est une coïncidence de ces nombres et non une règle.

5. Des diagonales de 1 et 1

   1. Produit des diagonales : 1 × 1 = 1
   2. Prenez la moitié : 1 ÷ 2 = 0,5

   Le plus petit losange carré, et la ligne qui montre clairement la moitié : deux diagonales de un donnent une aire d’un demi, parce que le losange est la moitié du carré unité dont les diagonales sont les côtés. Son côté vaut 0,7071, soit la racine carrée de deux sur deux — la même relation qu’entre la diagonale et le côté d’un carré, lue dans l’autre sens. À noter que saisir zéro pour les deux diagonales donne une aire nulle plutôt qu’un blanc : un losange sans taille est une réponse légitime.

La page calcule l’aire d’un losange et rien d’autre : elle n’imprime ni le périmètre, ni la hauteur, ni les diagonales, ni les angles, et la raison en est que tout cela se déduit des deux mesures que vous avez déjà. Le périmètre vaut quatre fois le côté, ce que vous pouvez lire sur votre propre entrée quand vous avez utilisé la route du côté. La page a besoin soit des deux diagonales, soit d’un côté avec un angle, et elle signale une erreur si aucune route n’est complète plutôt que de deviner : une seule diagonale, ou un côté sans angle, ne déterminent pas la forme. Remplir plus d’une route est permis du moment qu’aucune n’est contredite — un côté saisi à côté de deux diagonales est vérifié contre elles — mais un losange dont les diagonales impliquent un côté et dont le champ du côté en annonce un autre est signalé comme une contradiction plutôt que résolu en silence, et la page ne dit pas lequel de vos nombres est le faux. Le champ de l’angle accepte les degrés, les radians et les grades, et la page suppose que l’angle est compris entre 0 et 180 ; un angle de 0 ou de 180 donne une aire nulle, ce qui est la réponse honnête pour une forme aplatie, mais un angle exprimé dans une autre unité que celle qui est sélectionnée donnera une réponse fausse au lieu d’une erreur. Les sorties sont en centimètres carrés quels que soient les réglages des listes de longueur, donc un côté saisi en pouces revient en centimètres carrés et c’est à vous de convertir. Les quatre décimales sont une largeur d’affichage et non une prétention à la précision, et elles sont généreuses pour des mesures prises au mètre ruban. La page ne vérifie pas que la forme est un losange : quatre côtés égaux et n’importe quels angles font l’affaire, et une forme qui ressemble à un losange mais dont les côtés diffèrent légèrement sera traitée comme telle, par la route que vous avez saisie. Elle n’a pas non plus de moyen de décrire un losange par sa hauteur, ni de remonter d’une aire aux dimensions qui la produisent, ce qui est pourtant le genre de question que poserait un panneau découpé à une aire imposée.

Quelle est la formule de l’aire d’un losange ?

Il y en a deux, et l’une ou l’autre suffit. La moitié du produit des diagonales : un losange de 6 dans un sens et de 8 dans l’autre couvre 24 centimètres carrés. Ou le côté au carré multiplié par le sinus d’un angle : un losange de côté 5 à 60 degrés couvre 21,6506. La première est celle qu’on emploie quand on a mesuré les diagonales ; la seconde quand la forme a été spécifiée par son côté et son angle. Elles donnent la même réponse pour la même forme, ce que le tableau de cette page montre directement.

Pourquoi la formule des diagonales comporte-t-elle une moitié ?

Parce que le losange est la moitié du rectangle dont les diagonales sont les côtés. Les deux diagonales se coupent à angle droit et se coupent en leur milieu, ce qui partage le losange en quatre triangles rectangles ; si vous tracez le rectangle qui a les diagonales pour côtés, vous constaterez que le losange en occupe exactement la moitié. Ce rectangle a pour aire le produit des deux diagonales, donc le losange vaut la moitié de ce produit.

Un losange, est-ce la même chose qu’un diamant ?

C’est ce que le mot diamant désigne en général, oui. Une forme de diamant, un diamant dans un jeu de cartes, un carreau en diamant — tout cela est un losange, c’est-à-dire la figure à quatre côtés tous égaux. Le mot losange est celui des mathématiques parce qu’il est précis, et le mot diamant celui du chantier parce qu’il est court, et cette page parle de la même forme dans les deux cas.

Puis-je saisir à la fois les diagonales et un côté avec un angle ?

Oui, du moment qu’ils concordent. Un côté saisi à côté de deux diagonales est une vérification de cohérence plutôt qu’une contradiction, parce que les diagonales déterminent le côté et que la page sait dire si les nombres vont ensemble. Ce que la page ne fera pas, c’est choisir un gagnant : un losange dont les diagonales impliquent un côté de 5 et dont le champ du côté annonce 7 est signalé comme une contradiction plutôt que résolu en silence à partir de l’un des deux, puisque aucun des deux nombres n’est évidemment le digne de confiance.

Quelle est la plus grande aire qu’un losange d’un côté donné puisse avoir ?

Le carré, avec une aire égale au côté au carré. Un losange de côté 5 avec un angle droit couvre 25 centimètres carrés, et tout autre angle donne moins : 21,6506 à 60 degrés, 17,6777 à 45, 12,5 à 30 et 4,3412 à 10. Cela découle de la formule, puisque le sinus de l’angle vaut au plus 1 et l’atteint à 90 degrés. Donc si vous choisissez un angle pour un carreau ou un panneau et que vous voulez la couverture maximale pour une arête donnée, choisissez l’angle droit.

Comment trouver le côté à partir des diagonales ?

Prenez la moitié de chaque diagonale et utilisez ces deux moitiés comme côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle ; le côté du losange est l’hypoténuse. Pour des diagonales de 6 et 8, les moitiés sont 3 et 4, donc le côté vaut 5. Pour 5 et 12, les moitiés sont 2,5 et 6, ce qui donne un côté de 6,5. Cela fonctionne parce que les diagonales d’un losange se coupent à angle droit et se coupent en leur milieu — ce qui est aussi le fait sur lequel la formule de l’aire est bâtie.

• Rhombus — the four-sided figure with equal sides this page computes the area of, including the half-the-product-of-the-diagonals result and the relations between the sides, the diagonals and the angles — Wolfram MathWorld (United States)
• Parallelogram — the wider family a rhombus belongs to, with the base-times-height formula that also applies to a rhombus once the height has been worked out from the side and the angle — Wolfram MathWorld (United States)
• Quadrilateral — the general four-sided figure, and the place to check that the diagonal formula used here is the special case of a rule that holds for every quadrilateral whose diagonals cross at right angles — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——Le cinquième point de la liste annexée à cette notification est le programme de mathématiques de l'enseignement obligatoire (édition 2022) ; l'aire d'un parallélogramme et les propriétés du losange et du carré relèvent du programme de mathématiques de l'enseignement obligatoire, et le texte des programmes ainsi que la répartition par cycle sont ceux de cette annexe — 中华人民共和国教育部