Qu’est-ce que le PVIFA ?

L’abréviation vient de l’anglais present value interest factor of an annuity, et elle désigne ce que vaut aujourd’hui une unité monétaire versée à chaque période pendant un nombre donné de périodes, à un taux d’actualisation donné. C’est un coefficient nu, sans aucun montant d’argent dedans : vous le multipliez par votre propre versement pour obtenir une valeur actuelle. À 8 % sur dix périodes annuelles, il vaut 6,71008, ce qui signifie que dix versements annuels d’une unité valent 6,71008 aujourd’hui.

Comment calculer le PVIFA ?

Utilisez [1 − (1 + i)⁻ⁿ] ÷ i, où i est le taux par période et n le nombre de périodes. À 8 % par an pendant dix ans, cela donne [1 − 1,08⁻¹⁰] ÷ 0,08 = 6,7100814…, imprimé 6,71008. Pour une rente mensuelle, divisez d’abord le taux annuel par douze et multipliez les années par douze, puis appliquez la même formule — le taux et le nombre de périodes doivent tous deux être exprimés par période.

Pourquoi le coefficient de début de période est-il plus grand ?

Parce que chaque versement arrive une période plus tôt et n’est donc actualisé qu’une fois de moins. La relation est exacte : le coefficient de début de période est le coefficient ordinaire multiplié par (1 + i). À 8 % sur dix ans, cela donne 6,71008 × 1,08 = 7,24689, soit environ 8 % de plus. La page imprime les deux pour que vous n’ayez pas à décider lequel vous voulez avant d’avoir vu les chiffres.

Le réglage par défaut correspond-il à une table publiée ?

Oui, et c’est délibéré. Le réglage par défaut est 8 % sur dix ans avec un versement annuel, ce qui donne 6,71008 — le chiffre de la ligne des 8 %, dixième colonne, d’une table de rente usuelle. Le tableau de référence va de 4 % à 12 % à durée fixe, et les six coefficients 8,1109, 7,72173, 7,36009, 6,71008, 6,14457 et 5,65022 correspondent aux tables publiées au chiffre près, si bien que la page peut servir à en vérifier une.

Que se passe-t-il si le taux d’intérêt est nul ?

Le coefficient dégénère en nombre de périodes, puisque sans actualisation les versements valent simplement leur somme. Dix versements annuels à 0 % donnent un coefficient de 10, et dix ans payés mensuellement donnent 120. Le coefficient de début de période est identique à 0 %, puisque multiplier par (1 + 0) ne change rien. C’est un contrôle utile sur ce que le coefficient signifie : tout ce qui dépasse le nombre de périodes est de l’actualisation.

Le PVIFA est-il la même chose que la valeur actuelle d’une rente ?

Il s’en faut d’une étape. La valeur actuelle est le coefficient multiplié par le versement : le coefficient est donc ce que vous avez lorsque le versement est inconnu, sans importance, ou déjà pris en compte ailleurs. Sur ce site, la page de la valeur actuelle d’une rente imprime le montant et celle-ci imprime le coefficient, à partir des cinq mêmes entrées — à 7 % sur vingt ans en versements mensuels, le coefficient vaut 128,98250649… et un versement de 500 donne une valeur actuelle de 64 491,25.

Calculatrice de facteur d’annuité

Résultat

6,71008

PVIFA (facteur de valeur actuelle d’une rente)

PVIFA, début de chaque période: 7,24689

Le coefficient de valeur actuelle d’une rente — PVIFA en anglais — est la partie du calcul qui n’a rien à voir avec l’argent. Il répond à une seule question : que vaut aujourd’hui une unité monétaire versée à chaque période pendant n périodes, à un taux d’actualisation de i par période ? Multipliez ce coefficient par votre propre versement et vous obtenez la valeur actuelle ; laissez-le sous forme de coefficient et vous tenez un nombre qui a sa place dans une table, ce qui est précisément là où la plupart des gens le rencontrent. Cette page imprime le coefficient seul, parce que c’est ce dont un manuel, un exercice d’examen ou un tableur qui recherche une valeur publiée a réellement besoin — et les valeurs par défaut sont choisies pour que la réponse soit une réponse publiée. À 8 % sur dix ans avec un versement annuel, le coefficient vaut 6,71008, exactement le nombre imprimé à la ligne des 8 % et à la dixième colonne de n’importe quelle table de rente usuelle. Le tableau de référence fait défiler le taux de 4 % à 12 % à durée fixe de dix ans, et les six coefficients correspondent aux tables publiées au chiffre près et non approximativement, si bien que la page peut servir à vérifier l’une d’elles. À côté de chaque coefficient figure la version en début de période, qui est la même suite avec chaque versement ramené au début de sa période : 6,71008 devient 7,24689 à 8 %, soit environ 8 % de plus, et l’écart est une période d’intérêts sur une suite par ailleurs identique.

Dix versements annuels à six taux — le coefficient et sa version en début de période

Taux annuel	PVIFA	PVIFA en début de période
4	8.1109	8.43533
5	7.72173	8.10782
6	7.36009	7.80169
8	6.71008	7.24689
10	6.14457	6.75902
12	5.65022	6.32825

Seul le taux change d’une ligne à l’autre, à durée fixe de dix ans et versement annuel : ce tableau est la dixième colonne de la table de rente publiée, lue de haut en bas. Chaque chiffre correspond aux tables usuelles au chiffre près : 8,1109 à 4 %, 7,72173 à 5 %, 7,36009 à 6 %, 6,71008 à 8 %, 6,14457 à 10 % et 5,65022 à 12 %. La forme à remarquer est que le coefficient baisse quand le taux monte, mais jamais au-dessous d’environ 5,65 à cette durée, parce que huit des dix versements sont encore à portée de l’actualisation — poussez le taux à 50 % et le coefficient s’effondre à 1,96532, ce qui est le même tableau lu à un extrême. La deuxième colonne reprend les dix mêmes versements ramenés au début de chaque période, toujours plus grands d’une période d’intérêts, et le rapport entre les colonnes est ce que le décalage vaut à chaque taux : 4,0 % à 4 % et jusqu’à 2,7 % à 12 %. La ligne des 8 % est le cas par défaut de la calculatrice. Les nombres sont repris tels quels : dans le tableau, le séparateur décimal est le point (8.1109 plutôt que 8,1109), parce que les valeurs viennent du calcul et non d’un texte.

Formule

PVIFA = [1 − (1 + i)⁻ⁿ] ÷ i × (1 + i si les versements sont en début de période) (i = taux annuel ÷ versements par an ; n = années × versements par an)

i: Le taux d’actualisation par période — le taux annuel divisé par le nombre de versements annuels, c’est-à-dire le taux auquel chaque versement est actualisé
n: Le nombre de périodes — les années multipliées par le nombre de versements annuels, et l’exposant qui fait compter moins les versements lointains
PVIFA: Le coefficient de valeur actuelle d’une rente : ce que vaut aujourd’hui une unité monétaire versée chaque période pendant n périodes, sans le moindre montant d’argent dedans
PVIFA en début de période: Le même coefficient lorsque chaque versement arrive au début de sa période plutôt qu’à la fin, ce qui revient au coefficient ordinaire multiplié par un plus le taux périodique

À utiliser lorsqu’il vous faut le coefficient et non un montant : vérifier un chiffre contre une table publiée, résoudre un énoncé où le versement n’est pas donné, préparer un tableur dans lequel le versement sera une entrée séparée, ou comparer comment le coefficient évolue quand le taux et la durée changent sans que l’arithmétique soit masquée par un montant d’argent. Le coefficient est aussi la façon honnête de voir la forme de l’actualisation, parce qu’il l’isole : 6,71008 à 8 % sur dix ans dit que dix unités annuelles valent moins de sept aujourd’hui, et le même coefficient à 50 % vaut 1,96532, ce qui dit qu’à ce taux presque rien au-delà des deux premières années ne survit à l’actualisation. Deux choses valent la peine d’être sues avant d’utiliser une table publiée. Les tables sont presque toujours construites pour des versements en fin de période : si vous évaluez une rente de début de période, c’est la deuxième colonne qu’il vous faut, pas la première. Et le taux périodique et le nombre de périodes doivent correspondre à la fréquence des versements : une rente mensuelle de dix ans compte 120 périodes au taux mensuel, et non 10 périodes au taux annuel, si bien que lire la ligne annuelle surestimerait le coefficient d’un facteur d’environ douze.

Exemples détaillés

8 % sur 10 ans, versement annuel — la cellule du manuel
1. Le taux par période : 8 % ÷ 1 = 8 % par an
2. Le nombre de périodes : 10 × 1 = 10
3. PVIFA : [1 − 1,08⁻¹⁰] ÷ 0,08 = 6,7100814…, imprimé 6,71008
4. Rente de début de période : 6,7100814… × 1,08 = 7,2468879…, imprimé 7,24689
C’est le cas par défaut, et la raison pour laquelle la page part d’un montage annuel sur dix ans plutôt que du montage mensuel sur vingt ans des autres pages de rente. Cherchez 8 % dans n’importe quelle table de rente usuelle et la dixième colonne affiche 6,71008, parce que ce n’est pas une approximation de ce nombre : c’est ce nombre. La colonne de début de période à côté est l’entrée correspondante de la même table, et les 8,0 % d’écart entre les deux valent exactement une période d’intérêts.
7 % sur 20 ans en versements mensuels — 128,98251
1. Le taux par période : 7 % ÷ 12 = 0,5833… % par mois
2. Le nombre de périodes : 20 × 12 = 240
3. PVIFA : [1 − (1,005833…)⁻²⁴⁰] ÷ 0,005833… = 128,98250649…, imprimé 128,98251
Ce sont les mêmes entrées que celles du cas par défaut de la page de la valeur actuelle d’une rente, où un versement de 500 donne 64 491,25. Multipliez 128,98250649… par 500 et vous obtenez exactement ce montant : c’est toute la relation entre les deux pages, l’une imprime le coefficient et l’autre le multiplie par un montant. À noter que multiplier le 128,98251 imprimé par 500 donne 64 491,255, qui s’arrondit à 64 491,26 : le coefficient à cinq décimales est fait pour être lu, pas pour être enchaîné dans d’autres calculs.
5 % sur une seule année, versement annuel — 0,95238, et le coefficient de début de période vaut exactement 1
1. Une période à 5 % : PVIFA = 1 ÷ 1,05 = 0,952380…, imprimé 0,95238
2. Rente de début de période : le versement unique remonte à aujourd’hui, où le coefficient d’actualisation vaut (1,05)⁰ = 1
3. Le coefficient de début de période vaut donc exactement 1, sans le moindre arrondi
La frontière la plus nette de la page. Un versement unique, effectué dans un an, vaut 0,95238 de sa valeur nominale à 5 % ; ramenez ce même versement à aujourd’hui et le coefficient vaut 1, parce que rien n’a eu le temps de l’actualiser. L’écart entre les deux colonnes est ici à son maximum rapporté au coefficient — environ 5 % — et il se resserre à mesure que la durée s’allonge, ce qui est l’inverse de ce que la plupart des gens attendent.

Limites

Le coefficient ne vaut que par le taux et le nombre de périodes qui le sous-tendent, et les deux doivent être exprimés selon la fréquence des versements. Une table publiée est presque toujours annuelle : l’utiliser pour une rente mensuelle impose de convertir le taux et de multiplier les périodes, et s’y tromper est la façon la plus courante de se tromper d’un ordre de grandeur. Le coefficient suppose qu’un même montant est versé à chaque période pendant un nombre connu de périodes, si bien qu’une suite qui croît, qui progresse par paliers ou qui se poursuit pendant une durée incertaine sort de son cadre. Il suppose le taux d’actualisation constant du début à la fin, ce qu’aucun taux réel n’est. Et c’est une valeur actuelle, pas un prix : il ne contient aucune provision pour le risque de crédit, la fiscalité, les frais, ni la possibilité que les versements s’arrêtent. Lorsqu’on vérifie une table officielle, il faut savoir que les chiffres de l’administration américaine sont assemblés autrement. Selon 26 CFR 20.2031-7, la table B donne un coefficient de rente annuelle — 4,6325 à 2,6 % pour une durée de cinq ans — et la table K le multiplie ensuite par un ajustement de fréquence pour les versements effectués à la fin de chaque intervalle, soit 1,0097 pour des versements trimestriels à 2,6 %, si bien que l’exemple chiffré du règlement lui-même obtient 46 774,35 à partir d’une rente de 10 000 par an payée trimestriellement. La présente page atteint la même valeur actuelle par une autre voie, en composant directement le taux nominal, et obtient 46 744,27 — environ 30 de moins, soit 0,06 %. Ni l’une ni l’autre n’est fausse : ce sont deux conventions, et un chiffre qui doit correspondre à une évaluation actuarielle déposée doit utiliser celle du règlement.

Questions fréquentes

Qu’est-ce que le PVIFA ?: L’abréviation vient de l’anglais present value interest factor of an annuity, et elle désigne ce que vaut aujourd’hui une unité monétaire versée à chaque période pendant un nombre donné de périodes, à un taux d’actualisation donné. C’est un coefficient nu, sans aucun montant d’argent dedans : vous le multipliez par votre propre versement pour obtenir une valeur actuelle. À 8 % sur dix périodes annuelles, il vaut 6,71008, ce qui signifie que dix versements annuels d’une unité valent 6,71008 aujourd’hui.
Comment calculer le PVIFA ?: Utilisez [1 − (1 + i)⁻ⁿ] ÷ i, où i est le taux par période et n le nombre de périodes. À 8 % par an pendant dix ans, cela donne [1 − 1,08⁻¹⁰] ÷ 0,08 = 6,7100814…, imprimé 6,71008. Pour une rente mensuelle, divisez d’abord le taux annuel par douze et multipliez les années par douze, puis appliquez la même formule — le taux et le nombre de périodes doivent tous deux être exprimés par période.
Pourquoi le coefficient de début de période est-il plus grand ?: Parce que chaque versement arrive une période plus tôt et n’est donc actualisé qu’une fois de moins. La relation est exacte : le coefficient de début de période est le coefficient ordinaire multiplié par (1 + i). À 8 % sur dix ans, cela donne 6,71008 × 1,08 = 7,24689, soit environ 8 % de plus. La page imprime les deux pour que vous n’ayez pas à décider lequel vous voulez avant d’avoir vu les chiffres.
Le réglage par défaut correspond-il à une table publiée ?: Oui, et c’est délibéré. Le réglage par défaut est 8 % sur dix ans avec un versement annuel, ce qui donne 6,71008 — le chiffre de la ligne des 8 %, dixième colonne, d’une table de rente usuelle. Le tableau de référence va de 4 % à 12 % à durée fixe, et les six coefficients 8,1109, 7,72173, 7,36009, 6,71008, 6,14457 et 5,65022 correspondent aux tables publiées au chiffre près, si bien que la page peut servir à en vérifier une.
Que se passe-t-il si le taux d’intérêt est nul ?: Le coefficient dégénère en nombre de périodes, puisque sans actualisation les versements valent simplement leur somme. Dix versements annuels à 0 % donnent un coefficient de 10, et dix ans payés mensuellement donnent 120. Le coefficient de début de période est identique à 0 %, puisque multiplier par (1 + 0) ne change rien. C’est un contrôle utile sur ce que le coefficient signifie : tout ce qui dépasse le nombre de périodes est de l’actualisation.
Le PVIFA est-il la même chose que la valeur actuelle d’une rente ?: Il s’en faut d’une étape. La valeur actuelle est le coefficient multiplié par le versement : le coefficient est donc ce que vous avez lorsque le versement est inconnu, sans importance, ou déjà pris en compte ailleurs. Sur ce site, la page de la valeur actuelle d’une rente imprime le montant et celle-ci imprime le coefficient, à partir des cinq mêmes entrées — à 7 % sur vingt ans en versements mensuels, le coefficient vaut 128,98250649… et un versement de 500 donne une valeur actuelle de 64 491,25.

Références

26 CFR 20.2031-7(d)(6), Table B — the official annuity factor table for a term certain; at 2.6 percent for a five-year term the annuity factor is 4.6325, and the regulation's worked examples use it — Internal Revenue Service regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
26 CFR 20.2031-7(d)(2)(iv), Table K — adjustment factors for annuities payable at the end of each interval, used to convert an annual annuity factor to a more frequent payment schedule (Table J does the same for payments at the beginning of each interval) — Internal Revenue Service regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
Annuities — Investor.gov glossary, for the stream of fixed-interval payments the factor is pricing — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)

Calculatrices liées

Calculatrice de valeur d’annuitéValeur actuelle d’une suite de versements égaux.Calculatrice de valeur future d’annuitéValeur future d’une suite de versements égaux.Calculatrice de taux périodiqueTaux appliqué à chaque période, à partir du taux annuel.Calculatrice de valeur actuelleValeur actuelle d’un capital futur, actualisée à un taux.